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乌鲁木齐地区2017年高三年级第二次诊断性测验(理科)

时间:2017-03-24

乌鲁木齐地区 2017 年高三年级第二次诊断性测验

? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ? 1 ? 2sin 2 A ? 1 ? 2sin 2 B ? 1 ? 2sin 2C ? cos 2A ? cos 2B ? cos 2C ,故选 C.
10 . 选 C .【 解 析 】 ∵ cos A ? ?

理科数学试题参考答案及评分标准
选择题答案:DDCA DABA CCBB 1.选 D.【解析】∵ M ? ?1, 2? , N ? ? ?2,2? ,∴ M ? N ? ? 1? .故选 D.

10 3 10 5 ∴ sin A ? , sin C ? sin ? A ? B ? ? , 由 10 10 5

?1 ? 2i ?? 2 ? i ? ? 4 ? 3 i ? 4 3? 2.选 D.【解析】 z ? ,在复平面上对应的点为 ? ,? ? ,故选 D. ? 2 ? i ?? 2 ? i ? 5 5 ? 5 5?
3.选 C.【解析】∵ f ?2? ? 4 ,即 a 2 ? 4, a ? ?2 ,又∵ a 是底数,∴ a ? ?2 舍去,∴ a ? 2 , ∴ f ?? 2? ? log2 8 ? 3 ,故选 C. 4.选 A.【解析】执行程序框图,第一次循环 S ? 4, k ? 2 ,第二次循环 S ? 11, k ? 3 ,第三次循环

AB BC 1 1 2 ? , BC ? 1,得 AB ? ,∴ S ?ABC ? AB ? BC ? sin B ? ,设 BC 边上的高为 h , sin C sin A 2 6 3 S?ABC ? 1 1 1 BC ? h ? ,∴ h ? ,故选 C.11.选 B. 【解析】不妨取右焦点,根据题意 P 点坐标 2 6 3
2

2 3c ? ?c? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? c 3c ? 2 ? ? ? ? ? 1 ,即 c ? 3c ? 4 ,得 e2 ? 4 ? 2 3 , ? ,代入双曲线方程得 2 ? 为? , ?2 2 ? a b2 a2 c2 ? a2 ? ?

S ? 26, k ? 4 ,结束循环,所以判断框内应填 k ? 3 ? ,故选 A.
5.选 D.【解析】根据线面,面面平行垂直的性质,只有 D 正确,故选 D. 6.选 A.【解析】由 ?a ? 3b? ? ?2a ? b? 得 ?a ? 3b?? ?2a ? b? ? 0 ,即 8 ? 5a ? b ? 3 ? 0 ,∴ a ? b ? ?1 ,

又 e ? 1 ,∴ e ? 3 ? 1 ,故选 B.12.选 B. 【解析】由已知 y ? f ?x ? 的图象关于点 ?0,0? 中心对称, 即 f ?x ? 是奇函数,
2 2 2 2 2 2 ∴ f s ? 2s ? f 2b ? b ? 0 ? f s ? 2s ? f b ? 2b ? s ? 2s ? b ? 2b

?

?

?

?

?

?

?

?

2? a ?b 1 ∴ cos a, b ? .故选 A. ? ? ,所以 a 与 b 的夹角为 3 a b 2
7.选 B. 【解析】由题意可知,该几何体由底面边长为 2 ,高为 2 的正三棱柱,和底面边长为 1 ,高为 1

? 0 ? s ?1 ? 1? s ? 2 或? , ? s ?1 ? b ?1 ,又 0 ? s ? 2 ,∴ ? ? s ? b ? 2 ? s ?2 ? s ? b ? s
建立 sOb 坐标系如图,设 s ? b ? z ,则 b ? s ? z , 可知直线 b ? s ? z 过点 ?2,0? 时, z 取得最大值 2 ,在过点 ? 0, 2 ? 时,

1 1 3 9 3 的两个正三棱柱组成, V ? ? 2 ? 3 ? 2 ? ?1? ,故选 B. ?1 ? 2 2 2 4
8.选 A. 【解析】把函数 y ? sin ?x ? ? ? 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

z 取得最小值 ?2 , ?2 ? z ? 2 ,故选 B.
1 (纵坐标不变) ,得到 2
13. 填2 . 【解析】 Tr ?1 ? C7r ax3

? ?

7?r

y ? sin?2 x ? ? ? ,再向右平移
?

? 2? ? ? 个单位,得到 y ? sin ? 2 x ? ? ? ? 的图象关于 y 轴对称,所以 3 3 ? ?

7 21? r 7 ? 1 ? r 7?r 常数项 x 的次数为 0 , 即 21 ? r ? 0, r ? 6 , ? ? ? C7 a x 2 , 2 ? x?

r

x?2 y 6 7 ?6 ? 4, 所以 C7 【解析】 ∵ 4 ? 2 x ? 4 y ? 2 2 x ? 4 y ? 2 2 x?2 y ∴ 2 a ? 14 ,∴ a ? 2 .14.填 2 .

2? ? ? ? ? ? ? k? , k ? Z , ? 可以取 ,故选 A. 3 2 6 9.选 C. 【解析】在 ?ABC 中 A ? B ? C ? a ? b ? c ? sinA ? sinB ? sinC

即 x ? 2 y ? 2 ,所以 x ? 2 y 的最大值是 2 .

乌鲁木齐地区 2017 年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案 第 1 页(共 4 页)

15.填

12 . 【解析】如图,延长 AB 交抛物线的准线于 G ,过 A , B 5

NO ? 1, OM ? 3, NE ? 2 ,∴ OE ? 3, EM ? 2 3 ,

两点作准线的垂线,垂足为 C , E ,准线交 x 轴于 D .根据题意

GB EB

?

GA CA

即 ,

GB GB ? 5 ? ,得 2 3

∴ ?ENM 是直角三角形,∴ NE ? ME ∴ ME ? 面ADE ?6 分

GB ? 10 ,又

GB EB

?

GF DF

,即

12 12 10 12 ,得 DF ? ,∴ p ? . ? 5 5 2 DF

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,根据题意得,

16.填 1 ? e .【解析】由题意得 b ? ln ? x ?1? ? ax ?1 ,对一切 x ? ?1 都成立.
1 ? a ,当 a ? 0 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 在 ?? 1,??? 上单 x ?1 1 1 x ? ? 1时,f ??x ? ? 0, 调递增,不成立.当 a ? 0 时, ? 1 ? x ? ? 1时, f ?? x ? ? 0, a a
令 f ?x ? ? ln?x ? 1? ? ax ? 1,则 f ?? x ? ?

A ? 2, ?1, 0 ? , B ? 2,3, 0 ? , D ? ?2, ?1, 0 ? , E 0, 0, 3 , M ? 0,3, 0 ?
设平面 BAE 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,由 AB ? ? 0, 4, 0 ? , AE ? ?2,1, 3

?

?

??? ?

??? ?

?

?

? ?4 y ? 0 ,取 z ? 2 ,得 n1 ? ? ? ??2 x ? y ? 3 z ? 0

?

3, 0, 2

?

1 ?1 ? ?1 ? ∴ f ?x ?max ? f ? ? 1? ? ln ? a? ? 1? ? 1 ? a ? ln a ? 2 , 故 a ? 0 时 , b ? a ? ln a ? 2 , a ?a ? ?a ?
b ln a 2 ln a 2 1 ? ln a ? 1? ? ,令 h?a ? ? 1 ? ? ,则 h??a ? ? , a a a a a a2 h??a ? ? 0 , 当0 ? a ? 时, h??a ? ? 0, ∴ h??a ?min ? h? ? ? 1 ? e ln 当 a ? 时,
值是 1 ? e .三、解答题 17.(12 分) (Ⅰ)由已知: a2n?1 ? a1 ? 2?n ?1? ? 2n ?1, a2n ? a2 ? 3
n?1

由(Ⅰ)知 ME ? 0, ?3, 3 为平面 ADE 的法向量

????

?

?

???? ???? n1 ? ME 7 ∴ cos n1 , ME ? ???? ? 7 n1 ? ME
∴二面角 B ? AE ? D 的余弦值为 19. (12 分) (Ⅰ)若进货量定为 13 (件) ,则“进货量不超过市场需求量”是指“销售量不小于13 (件) ”

1 e

1 e

?1? ?e?

b 1 ∴ 的最小 ? 2e ? 1 ? e , a e

7 . 7

?12 分

? 2?3

n?1

∴ a3 ? a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 3a9 ? a6 ? a12 ? 3? 9 ? 2 ? 32 ? 2 ? 35 ? ?477

?6 分
2 n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 0 ,∴ ?an ?单调递增, S2n ? a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ? a2 ? a4 ? ? ? a2n ? n ? 3 ?1

38 ? 0.5 ; 52 25 ? 0.5 ; 同理,若进货量为 14 (件) ,则“进货量不超过市场需求量”的概率为: 52 ∴“进货量不超过市场需求量”的概率大于 0.5 ,进货量的最大值是 13 ?4 分 14 Y (Ⅱ)进货量定为 (件) ,设“平均来说今年每周的利润”为
相应有 13 ? 13 ? 8 ? 4 ? 38 (周) , “进货量不超过市场需求量”的概率为: 若售出 10 件:则利润 y ? 10? 3 ? 4 ? ?? 1? ? 26 ;

S12 ? 62 ? 36 ?1 ? 764; S13 ? S12 ? a13 ? 777; S14 ? 72 ? 37 ?1 ? 2235
则当 n ? 13 时, Sn ? 2017, n ? 14 时, Sn ? 2017,∴ n 的最小值为 14 18. (12 分) (Ⅰ)取 AD 的中点 N ,连结 NM , NE ,则 AD ? NM , AD ? NE , ∴ AD ? 平面 NME ,∴ AD ? ME ,过 E 点,作 EO ? NM 于 O ,根据题意得, ?12 分

售出 11 件:则利润 y ? 11? 3 ? 3 ? ??1? ? 30 售出 12 件:则利润 y ? 12? 3 ? 2 ? ?? 1? ? 34

乌鲁木齐地区 2017 年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案 第 2 页(共 4 页)

售出 13 件:则利润 y ? 13? 3 ? 1? ??1? ? 38 售出 14 件:则利润 y ? 14? 3 ? 42 售出 15 件:则利润 y ? 14? 3 ? 1? 2 ? 44 售出 16 件:则利润 y ? 14? 3 ? 2 ? 2 ? 46 则Y 的分布列为:

2 2 ? x0 y0 ? ?1 ? 2 2 a b ? y0 3 ? x2 y2 ? ? 2 2 ? ? 1 ; ?5 分 ;解得 a ? 3, b ? 2 ,所以椭圆方程为 x 0 ?c 3 ? 3 2 ? 4 3 2 ? ?x 0 ? c ?2 ? y 0 ? 3 ? ? a2 ?b 2 ? c 2 ?

Y P

26 1 26

30 1 13

34 2 13

38 1 4

42 1 4

44 2 13

46 1 13
?8 分

(Ⅱ)依题意直线 l 不垂直于 x 轴,由对称性,不妨设 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ? k ? 0? , 则直线 AB 的方程为 y ? ?

1 x ?m , k

26 ? 2 ? 30 ? 4 ? 34 ? 8 ? 38 ?13 ? 42 ?13 ? 44 ? 8 ? 46 ? 4 2020 E ?Y ? ? ? 52 52
概率分布,我们只需考虑进货量为 13,14 这两种情况, 当进货量为 13 时,利润为 Y ? ,类似(Ⅱ) ,可得出 Y ? 的分布列为:

(Ⅲ)依照经验可知,只有进货量和市场需求越接近的时候,利润的期望值才越大,根据市场需求量的

1 ? y ?? x?m ? 3 ? 6m ? k ? 联立 ? 2 ,得 ? 2 ? 2 ?x 2 ? x ? 3m 2 ? 6 ? 0 2 k k ? ? ?x ? y ?1 ? 2 ?3
易知 ? ? 0 ,得

3 36m2 3? ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? ? m2 ? 2 ? ? 0 ,即 m 2 ? 2 ? 2 ? 0 ?①, 2 k k k ? ? x1 ? x2 3mk 1 2k 2 m ? 2 , yc ? ? xc ? m ? 2 2k ? 3 k 2k 2 ? 3

Y?
P

27 1 26

31 1 13

35 2 13

39 1 4

41 1 4

43 2 13

45 1 13

设 AB 的中点为 C ,则 xc ?

E ?Y ? ? ?

27 ? 2 ? 31? 4 ? 35 ? 8 ? 39 ?13 ? 41?13 ? 43 ? 8 ? 45 ? 4 2022 ? 52 52
?12 分

3 2k 2 m ? 3km ? 点 C 在直线 l 上,∴ ?k? 2 ? 1? ,得 m ? ?2k ? ?②, 2 k 2k ? 3 ? 2k ? 3 ?
此时 m ? 2 ?
2

由于 E ?Y ?? ? E ?Y ? ,∴今年的周进货量定为 13 件比较合适. 20. (12 分) (Ⅰ)设 M 点坐标为 ?x 0 , y 0 ? 根据题意得

3 6 ? 4k 2 ? 2 ? 4 ? 0 与①式矛盾,故 k ? 0 不成立 2 k k 当直线 l 的斜率 k ? 0 时,

设 A? x0 , y0 ? ,则 B ? x0 , ? y0 ? , AB ? 2 y0 ,点 O 到 AB 的距离为 x0 , ∴ S ?AOB ?

1 ? 2y 0 ? x 0 ? x 0 y 0 , 2

2 2 2 2 6 6 x0 y0 x0 y0 6 x 0 y 0 ,∴ x 0 y 0 ? 又 , ? ?2 ? ? x 0 y 0 ,∴1 ? 3 2 3 2 3 2 3

乌鲁木齐地区 2017 年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案 第 3 页(共 4 页)

x2 y2 1 6 当且仅当 0 ? 0 ? 取等号,∴ S ?AOB 的最大值为 3 2 2 2
21. (12 分) (Ⅰ) f ? ? x ? ? ? ax ? a ?1? ex ? ? a ?1? , ∴ f ??0? ? 0 ,又∵ f ?0? ? 0 , ∴ y ? f ?x ? 在 ?0, f ?0?? 处的切线方程为 y ? 0 . (Ⅱ)(1)当 a ? 0 时,∵ x ? 0 ,∴ e ? 1 , ax ? a ? 1 ? 0
x

?12 分

(Ⅰ)由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 可得圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos ? ?
2

1 ? 0 ?5 分 2

?4 分

? ? x ? 2 cos ? ? ? M (Ⅱ)点 的直角坐标为 ? 2cos? , 2sin ? ? ,∴直线 l 的参数方程为 ? ? x ? 2sin ? ? ? ?
直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,把直线参数方程代入圆 C 方程得

2 t 2 ( 为参数) , t 2 t 2

∴ f ??x? ? ?ax ? a ? 1?e x ? ?a ? 1? ? ?ax ? a ? 1? ? ?a ? 1? ? ax ? 0 , ∴ f ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增,∴ f ?x ? ? f ?0? ? 0 ,符合题意 (2)当 a ? ?

t 2 ? 2 ? 2cos? ? 2sin? ? 1? t ?

9 ? 4cos? ? 0 , 2

? 5? 3? 2 ?9 ? ?? ? ? ? 2 ? 2cos ? ? 2sin ? ? 1? ? 4 ? ? 4cos ? ? ? 0 ,解得: 0 ? ? ? , 4 4 2 ?2 ?
根据直线参数方程的几何意义得 MA ? MB ? t1 ? t2 ?

1 1 x 时, f ?? ? x ? ? ? ax ? 2a ?1? e , ∵ a ? ? ,∴ 2a ? 1 ? 0 , 2 2

而 x ? 0 ,∴ ax ? 0 , ∴ ax ? 2a ? 1 ? 0 ,∴ ?ax ? 2a ? 1?e x ? 0 ,∴ f ???x ? ? 0 , 则 f ?? x ? 在 x ? ?0,??? 时单调递减,∴ f ??x ? ? f ??0? ? 0 , ∴ f ?x ? 在 x ? ?0,??? 时单调递减,此时 f ?x ? ? f ?0? ? 0 ,不符合题意. (3)当 ?
x

9 ? 4cos? , 2
?10 分

∴ MA ? MB 的取值范围是 ? , ? 2 2 ? ? ? , ? 2 2 ? .
2 23. (10 分) (Ⅰ) f ? x ? ? g ? x ? ? x ? 4 ? 2 x ? 1 ? x ? 4 x ? 5 ? 0 , 2 2

?1 9 ?2 2

? ?9 9 ? ?2 2

? ?

1 1 ? a ? 0 时,取 x ? ? ? 0 ,此时,有 ax ? 1 ? 0 , 2 a
x

∴不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集为 ? ??, ?5? ? ?1, ???

?5 分

∵ e ? x ? 1 ?x ? 0? ,∴ ?ax ? 1?e ? ?ax ? 1??x ? 1 ? 而 ?ax ? 1??x ? 1 ?? ax2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? ?a ? 1?x ? 1
x x

?① ?②

由①②得 ?ax ? 1?e ? ?a ? 1?x ? 1 , 即 f ?x? ? ?ax ? 1?e ? ?a ? 1?x ?1 ? 0 ,此时不符合题意. 综上,若 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 , a 的取值范围是 ?0,??? . ?12 分

? ?4 x ? 7, x ? 4 ? 1 ? (Ⅱ)令 H ? x ? ? 2 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 x ? 4 ? 2 x ? 1 ? ?9, ? ? x ? 4 , G ? x ? ? ax , 2 ? 1 ? ?4 x ? 7, x ? ? ? ? 2
在同一坐标系下作出 H ? x ? , G ? x ? 的图象,根据题意 2 f ? x? ? g ? x? ? ax 对一切实数均成立,即

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,并将所选的题号下的“○”涂黑.如果多做,则按所做的 第一题记分,满分 10 分. 22.(10 分)

H ? x ? 的图象恒在 G ? x ? 图象的上方,∴ ?4 ? a ?
以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分

9 . 4

?10 分

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