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专题三 三角函数与平面向量的综合应用试题

时间:2011-11-25


三角函数与平面向量的综合应用
要点梳理 1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切的诱导公式常考常 .同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、 新 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强, 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强,对公式的正 逆用、变形应用的技巧、方法要求较高, 用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高,考查公式的灵活运用 及变形能力. 及变形能力.通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考 必考内容,且一直是高考的热点. 必考内容,且一直是高考的热点. 2.研究三角函数的性质,一般要化为 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) .研究三角函数的性质, = + , 的形式,若是奇函数, 的形式,若是奇函数,则可化为 f(x)=±Asin ωx;若是偶函数,则 = ;若是偶函数, 求三角函数的定义域 可化为 f(x)=±Acos ωx.求三角函数的定义域,实际上是利用三角函 = 求三角函数的定义域,
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数图象或三角函数线来确定不等式的解, 数图象或三角函数线来确定不等式的解,求函数的单调区间可以转 的单调区间. 化为求 y=sin x 与 y=cos x 的单调区间. = = 3.解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通 .解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查, 过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值; 过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值;二是与平面向量结 主要是数量积), 合(主要是数量积 ,判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试 主要是数量积 判断三角形形状或结合正、余弦定理求值. 题一般为中档题,客观题、解答题均有可能出现. 题一般为中档题,客观题、解答题均有可能出现. 4.平面向量的线性运算,为证明两线平行提供了重要方法.平面向量 .平面向量的线性运算,为证明两线平行提供了重要方法. 的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向 的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题. 量的坐标运算与三角函数的有机结合,体现了向量应用的广泛性. 量的坐标运算与三角函数的有机结合,体现了向量应用的广泛性. 题型一 三角函数的化简求值问题 ? ? 3 1 1 例1 求?sin2140°-cos2140°?·2sin 10°的值 ? ?

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例 2 已知函数 y=Asin(ωx+φ),x∈R (A>0,ω>0, = + ,∈ , , π |φ|< 2 ), 若该函数图象上的一个最高点坐标为 , ?π ? ? ? π ? ? ? ? ? 6 ,3?,与其相邻的对称中心的坐标是?-12,0? ? ? ? ? (1)求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式; 的解析式; 求函数 = + 的解析式 (2)求函数的最小值, 并写出函数取得最小值时 求函数的最小值, 求函数的最小值 的集合. 自变量 x 的集合.

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例 3
? ? ?cos ?

已知向量 m=
? x 2x ? ,cos 4?. 4 ?

? ? ? ?

? x ? 3sin 4,1? , n = ?

(1)若 m·n=1,求 若 n ,

?2π ? ? ? cos? 3 -x?的值; 的值; ? ?

(2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对 记 = n , , 边分别是 a,b,c,且满足 -c)cos B=bcos C, , , ,且满足(2a- = , 求函数 f(A)的取值范围 的取值范围
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例 4 设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c , , , , ,-4sin β). =(cos β,- ,- . (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; 的值; 若 c 垂直, + 的值 (2)求|b+c|的最大值; 的最大值; 求b 的最大值 (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b. 若 = ,求证:

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? ? ? π? π ? ? ? + ,-1? 训练 1 已知 0<α<4,a=?tan?α+4?,- ?,b=(cos α,2),且 a·b , , b ? ? ? ? 2cos2α+sin 2(α+π) + + 的值. =m.求 求 的值. cos α-sin α - 1 1 2 山东)已知函数 训练 2 (2010·山东 已知函数 f(x)=2sin 2xsin φ+cos xcos φ-2 山东 = + - ?π ? ?π 1? ? ? sin?2+φ?(0<φ<π),其图象过点?6,2?. , ? ? ? ? ? ? (1)求 φ 的值; 求 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 将函数 = 的图象上各点的横坐标缩短到原来的2 ? π? ? 不变, 的图象, 不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在?0,4 ?上的最大值 = 的图象 在 , ? ? ?
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和最小值. 和最小值. 训练 3 已知角 A,B,C 是△ABC 三边 a,b,c 所对的角,m= , , , , 所对的角, ? ? A A? A A? 1 ? ? ? ? = , n ?-cos 2 ,sin 2 ?,n=?cos 2 ,sin 2 ?,a=2 3,且 m·n=2. ? ? ? ? (1)若△ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值; 若 = , + 的值; (2)求 b+c 的取值范围. 求 + 的取值范围. 设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,- , , , , ,- 4sin β). . (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; 的值; 若 c 垂直, + 的值 的最大值; (2)求|b+c|的最大值; 求b 的最大值 (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b. 若 = ,求证:

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第一步:将向量间的关系转化成三角函数式. 第一步:将向量间的关系转化成三角函数式. 第二步:化简三角函数式. 第二步:化简三角函数式. 第三步: 第三步 : 求三角函数式的值或分析三角函数式的性 质. 第四步:明确结论. 第四步:明确结论. 第五步:反思回顾.查看关键点, 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点和规范解答
失误与防范 1.对于三角函数的化简求值问题,一要熟练应用公式化简,二要注意 .对于三角函数的化简求值问题,一要熟练应用公式化简, 角的范围. 角的范围.
2.平面向量与三角函数问题,一般是通过向量运算,将其转化为三角函数式,要注意转化的准确性和灵活性.

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