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国庆假期作业二

时间:2017-12-23


灌南高级中学国庆假期作业一
一、填空题:
1.不等式

1 ? 1 的解集为______. x

2.已知在数列 ?an ?中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 3 ,则 a5 等于______. 3.在 1 和 81 之间插入 3 个实数,使它们与这两个数组成等比数列,则这个等比数列的公差是 ____. 4.二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ? c( x ? R) 的部分对应值如下表:

则关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集为_______. 5.若一个直角三角形的三边长恰好组成一个公差为 2 的等差数列, 则该三角形的面积是____. 6.若等差数列 ?an ?的第 1,3,11项恰好为等比数列 ?bn ?的第 3,4,5 项,则数列 ?bn ?的公比是 ____.

? x ? y ? 2 ? 0, y ?1 ? 7.设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 z ? 的取值范围是_____. x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
8.在等差数列 ?an ?中,首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a17 ,则 k ? _____. 9.已知两个等差数列 ?an ?, 它们的前 n 项和分别是 S n , Tn , 若 ?bn ?,
2

S n 2n ? 3 a , 则 7 ? ___. ? Tn 3n ? 1 b7

10.关于 x 的不等式 ax ? ax ? 3 ? 0 的解集是 ? ,则 a 的取值范围是______. 11.已知关于 x 的不等式 2 x ?

2 ? 7 在 x ? (a,??) 上恒成立,则实数 a 的最小值为____. x?a

?x ? y ?1 ? 0 ? 12. 在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示的平面区域内的 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
面积等于 2,则 a 的值为________ 13.数列 ?an ?满足

a a1 a2 a3 ? ? ? ? ? ? ? n ? 3n ?1 ,则数列 ?an ?的通项公式是_____. 1 3 5 2n ? 1

14.设 f (i, k ) ? i ? 2( k ?1) (i ? N ? , k ? N ? ) ,如 f (2,3) ? 2 ? 2(3?1) ? 8 .对于正整数 m, n ,当

m ? 2, n ? 2 时, 设 g (i, n) ? f (20 , n) ? f (21 , n) ? ? ? ? ? f (2i , n) , S (m, n) ? ? (?1)i g (i, n) ,
i ?1

m

则 S (4,6) ? _____.

二、解答题
15.(本小题满分 14 分)设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 24, a6 ? 18 . (1)求数列 ?an ?的通项公式及前 n 项和 Sn 的表达式; (2)当 n 为何值时, Sn 最大,并求 Sn 的最大值.

16.(本小题满分 14 分) 解关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0(a 为常数).
2

17.(本小题满分 14 分)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 3 1≤x≤10),每小时可获得的利润是 100(5x+1-x )元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大 利润.

18.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx? m ?1 . (1)当 x ? [2,4] 时, f ( x) ? ?1 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2) 是否存在整数 a, b(a ? b) , 使得关于 x 的不等式 a ? f ( x) ? b 的解集为 x a ? x ? b ? 若存在,求出 a , b 的值;若不存在,请说明理由.

?

?

19.(本小题满分 16 分)已知数列 ?an ?中, a1 ? 2, a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足

Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1 ,其中 n ? 2, n ? N ? .
(1)求证:数列 ?an ?为等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn ? an ? 2?n , Tn 为数列 ?bn ?的前 n 项和. ①求 Tn 的表达式; ②求使 Tn ? 2 的 n 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ?满足 a1 ? x, a2 ? 3x, Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ? 2, n ? N ? ) , Sn 是数列

?an ?的前 n 项的和.
(1)若数列 ?an ?为等差数列. ①求数列的通项 an ; ②若数列 ?bn ?满足 bn ? 2 n , 数列 ?cn ?满足 cn ? t 2bn?2 ? tbn?1 ? bn , 试比较数列 ?bn ?前
a

n 项和 Bn 与 ?cn ?前 n 项和 Cn 的大小;
(2)若对任意 n ? N ? , an ? an?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.

假期作业一参考答案
1. (??,0) ? (1,??) 7. [ , ] 13. an ? ? 2. ? 61 9. 3. 20 11. 4. [?3,2] 5. 24 6.1 或 4

5 5 8 2

8. 137

29 38

10. [0,12] 14. 640

3 2

12. 3

9(n ? 1), ? n ?2(2n ? 1) ? 3 (n ? 2)

15.解: (1)设等差数列 ?an ?的公差为 d ,则 ?

?a1 ? 2d ? 24, ?a1 ? 28, 解得 ? ? d ? ?2, ? a1 ? 5d ? 18,

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 28 ? 2(n ?1) ? 30 ? 2n ,

(a1 ? an )n (28 ? 30 ? 2n)n ? ? ?n 2 ? 29 n . 2 2 29 2 29 2 2 ) ?( ) , (2) S n ? ?n ? 29 n ? ?(n ? 2 2 Sn ?
又因为 n ? N ,所以当 n ? 14 或 15 时, Sn 最大,最大值为 210 . 16.解:当 a ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 ,原不等式的解集为 ( ,?? ) ;
?

1 2

原不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ? ? 或x ? ?; a a ? ?

当 ? 1 ? a ? 0 时, x1 ? x2 , 原不等式的解集为 ? x

? ?1 ? 1 ? a ? ? ?1 ? 1 ? a ? ?x? ?. a a ? ? ? ?

17.解:解 (1)根据题意,得 3 200(5x+1- )≥3 000, x 3 整理得 5x-14- ≥0, x 即 5x2-14x-3≥0,

又 1≤x≤10,可解得 3≤x≤10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,x 的取值范围是[3,10]. (2)设利润为 y 元,则 900 3 y= · 100(5x+1- ) x x 1 3 =9×104(5+ - 2) x x 1 1 61 =9×104[-3( - )2+ ], x 6 12 故当 x=6 时,ymax=457 500 元. 即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大,最大利润为 457 500 元. 18.解: (1) f ( x) ? x ? m x ? m ? 1 ? ( x ?
2

m 2 m2 ) ? m ?1 ? , 2 4

在区间 ( ?? , ①

m m ] 上是减函数,在区间 [ ,?? ) 上是增函数. 2 2

m ? 2 ,即 m ? 4 , f ( x) 在 [2,4] 上为增函数, f ( x) 的最小值为 3 ? m ,则 2

3 ? m ? ?1, m ? 4 ;
②2 ?

m m2 ? 4 ,即 4 ? m ? 8 , f ( x) 在 [2,4] 上的最小值为 (m ? 1) ? , 2 4

则 (m ? 1) ?

m2 ? ?1,0 ? m ? 4 ,∴此时无解; 4

m ? 4 ,即 m ? 8 , f ( x) 在 [2,4] 上为减函数, f ( x) 的最小值为 ? 3m ? 15 , 2 16 则 ? 3m ? 15 ? ?1, m ? ,∴此时无解. 3
③ 综上,实数 m 的取值范围是 (??,4] . (2)假设存在适合题意的整数 a , b ,则必有 a ? f ( x) min , 这时 a ? f ( x) ? b 的解集为 [a, b] ? ?
2

? f (b) ? b, ?a ? b ? m.

2 由 f (b) ? b 得 b ? mb? m ? 1 ? b ,即 b ? b ? 1 ? m(b ? 1) ,

因 b ? 1 时此式不成立,故 m ?

b2 ? b ?1 1 ?b? . b ?1 b ?1
1 ? Z ,只可能 b ? 1 ? ?1 . b ?1

∵ a, b ? Z ,? m ? a ? b ? Z ,故

当 b ? 1 ? ?1 时, b ? 0, m ? 1, a ? 1 ,不符合 a ? b ; 当 b ? 1 ? 1 时, b ? 2, m ? 1, a ? ?1 ? f ( x) min ,符合题意. 综上知,存在 a ? ?1, b ? 2 适合题意. 19.解: (1)由已知, (Sn?1 ? Sn ) ? (Sn ? Sn?1 ) ? 1(n ? 2, n ? N ? ) ,即

an?1 ? an ? 1(n ? 2, n ? N ? ) ,
a2 ? a1 ? 1 ,∴数列 ?an ?是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列,∴ an ? n ? 1 .
(2)∵ an ? n ? 1 ,∴ bn ? (n ? 1) ?

1 , 2n

1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? (n ? 1) ? n ,① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? n ? n ? (n ? 1) ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ①-②得: Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? n ?1 , 2 2 2 2 2 n?3 n?3 n?3 ∴ Tn ? 3 ? n 代入不等式得 3 ? n ? 2 ,即 n ? 1 ? 0 , 2 2 2 n?3 n?2 设 f ( n) ? n ? 1 ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? ? n ?1 ? 0 , 2 2
∴ f ( n) 在 N ? 上单调递减, ∵ f (1) ? 1 ? 0, f (2) ?

1 1 ? 0, f (3) ? ? ? 0 , 4 4

∴当 n ? 1, n ? 2 时, f (n) ? 0 ,当 n ? 3 时, f (n) ? 0 , 所以 n 的取值范围为 n ? 3 ,且 n ? N . 20.解: (1)①因为 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? 2(n ? 2, n ? N ) ,所以 S3 ? S2 ? S1 ? 14 ,
2 ?
?

即 a3 ? 2a2 ? 3a1 ? 14 ,又 a1 ? x, a2 ? 3x, 所以 a3 ? 14 ? 9 x , 又因为数列 ?an ?为等差数列,所以 2a2 ? a1 ? a3 ,即 6 x ? x ? (14 ? 9 x) ,解得 x ? 1 , 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1(n ? N ) .
?

②因为 an ? 2n ?1(n ? N ? ) ,所以 bn ? 2

an

? 22n?1 ? 0 ,其前 n 项和 Bn ? 0 ,

又因为 cn ? t 2bn?2 ? tbn?1 ? bn ? (16t 2 ? 4t ?1)bn , 所以其前 n 项和 Cn ? (16t 2 ? 4t ?1) Bn ,所以 Cn ? Bn ? 2(8t 2 ? 2t ?1) Bn , 当t ? ?

1 1 1 1 1 1 或 t ? 时, Cn ? Bn ;当 t ? ? 或 t ? 时, Cn ? Bn ;当 ? ? t ? 时, 4 2 4 2 4 2

Cn ? Bn .
(2)由 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ? 2, n ? N ? ) 知

Sn?2 ? Sn?1 ? Sn ? 3(n ?1)2 ? 2(n ? N ? ) ,
两式作差,得 an?2 ? an?1 ? an ? 6n ? 3(n ? 2, n ? N ? ) , 所以 an?3 ? an?2 ? an?1 ? 6(n ? 1) ? 3(n ? N ? ) ,作差得 an?3 ? an ? 6(n ? 2, n ? N ? ) , 所以当 n ? 1 时, an ? a1 ? x ; 当 n ? 3k ? 1 时, an ? a3k ?1 ? a2 ? (k ?1) ? 6 ? 3x ? 6k ? 6 ? 2n ? 3x ? 4 ; 当 n ? 3k 时, an ? a3k ? a3 ? (k ?1) ? 6 ? 14 ? 9x ? 6k ? 6 ? 2n ? 9 x ? 8 ; 当 n ? 3k ? 1 时, an ? a3k ?1 ? a4 ? (k ?1) ? 6 ? 1 ? 6x ? 6k ? 6 ? 2n ? 6x ? 7 ; 因为对任意 n ? N , an ? an?1 恒成立,所以 a1 ? a2 且 a3k ?1 ? a3k ? a3k ?1 ? a3k ?2 ,
?

x ? 3x, ? ?6k ? 3x ? 6 ? 6k ? 9 x ? 8, 13 7 13 7 ? ? x ? ,故实数 x 的取值范围为 ( , ) . 所以 ? 解得 15 6 15 6 ?6k ? 9 x ? 8 ? 6k ? 6 x ? 5, ? ? 6 k ? 6 x ? 5 ? 6 k ? 3 x,


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