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全国高中数学联赛(河北)赛区竞赛试卷

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河北省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准 说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道解 答题。 一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的 括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( D ) 4 2 A. 2 sin ? B. ?2sin ? C. ?2 cos ? D. 2 cos ? 5? 3? , ] ,所以 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? = cos? ? sin ? ? cos? ? sin ? 解答:因为 ? ? [ 4 2 ? 2 cos ? 。正确答案为 D。 1. 已知 ? ? [ 2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( C ) A. 2 B. 2 2 C. ?2 D. ?2 2 解答:由题意得 2 ? a2 ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。 3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的( B ) A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 D. 非充分且非必要条件 解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。 4. 过椭圆 x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 2 B. C ) A. 2 6 3 4 6 3 C. 4 2 3 D. 4 3 3 解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得 3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? 5. 函数 f ( x) ? ? 4 4 2 ? AB ? 2( x1 ? x2 )2 ? 。正确答案为 C。 3 3 A ) ?1 ? 5? x x ? 5 ?1 x?0 ,则该函数为( x?0 A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数 B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 用心 爱心 专心 -1- 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 2 2 2 3 正视图 1 侧视图 1 2 俯视图(圆和正方形) D. 4+ ? 5? A. 4+ 2 3? B. 4+ 2 ? C. 4+ 2 解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 体积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ? ? 2 ? 4? 5? 。正确答案为 A。 2 ? ) ,所以该几何体的 2 7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依 次记为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( B ) A.64 B.32 C.16 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。 D.8 8. 在 平 面 区 域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上 恒 有 ax ? 2by ? 2 , 则 动 点 ? ? P (a, b) 所形成平面区域的面积为( A A. 4 B.8 C. 16 D. 32 ) 解答:平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 的四个边界点(—1,—1) , (—1, 1) , (1,—1) , (1,1)满足 ax ? 2by ? 2 ,即有 ? ? a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2 由此计算动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ? ? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( C ) 6 ? 2? C. ? , 1? ?2 ? A. ? , 1? ?1 ?2 ? ? B ? , 1? ?2 ? ?1 ? ?1 ? D. ? , 1? ?1 ?2 ? ? 用心 爱心 专心 -2- 解答:问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ? ?? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点,所以 m 的 6 ? 2? 取值范围为 ? , 1? 。正确答案为 C。 10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( C ) A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1 D. 1 ? x ? 3 ?1 ?2 ? ? 解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x2 ? 4 x ? 4) 由 f (?1) ? x2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 函数 f ( x) ? 2sin 解答:最小正周期为 4 ? 。 x ? 3 cos x 的最小正周期为______4 ? ____。 2 12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =___

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