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高中数学 2.3幂函数课件 新人教A版必修1 (2)

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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂函数 1.掌握幂函数的概念、图象和性质.(重点) 1 2.熟悉 α=1,2,3,2,-1 时的五类幂函数的图象、性质及 其特点.(易混点) 3.能利用幂函数的性质来解决实际问题.(难点) 1.幂函数的概念 y=xα 叫做幂函数,其中__ 一般地,函数_______ x 是自变量,__ α是 常数. 2.幂函数的图象与性质 幂函数 y =x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x -1 图象 幂函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y =x R R 奇 增 (1,1), (0,0) y=x2 R [0,+∞) 偶 y=x3 R R 奇 增 y=x2 1 y=x -1 [0,+∞) (-∞, 0)∪(0, +∞) [0,+∞) (-∞, 0)∪(0, +∞) 非奇非偶 增 奇 增 x∈[0, +∞)___ 减 x∈(-∞,0]__ (1,1),(0,0) 减 x∈(0,+∞)____ 减 x∈(-∞,0)____ (1,1) 定点 (1,1), (0,0) (1,1), (0,0) 1.想一想 (1)幂函数y=xα与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)有何区别? 提示:幂函数 y= xα的底数为自变量,指数是常数,而指数 函数正好相反,指数函数 y = ax 中,底数是常数,指数是自变 量. (2)幂函数的图象能过第四象限吗? 提示:对幂函数 y =xα 而言,当x>0 时,必有y>0,故幂函数 图象不过第四象限. 2.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).( ×) (2)幂函数y=xα的定义域、奇偶性、单调性,因函数式中α 的不同而各异.( )√ (3)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个 象限.(×) 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数. (2)底数是自变量,自变量的系数为1. (3)幂xα的系数为1. (4)只有1项. 2.幂函数y=xα在第一象限的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点). (3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸). (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点). (5)指数小于0,在第一象限为双曲线型. 3.幂函数的性质归纳 (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都 过点(1,1). (2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞) 上是增函数. (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在 第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼 近y 轴正半轴;当 x 趋于+∞ 时,图象在x 轴上方无限地逼近 x 轴 正半轴. 幂函数的概念 函数 f(x) = (m2 - m - 5)xm - 1 是幂函数,且当 x∈(0 ,+ ∞ ) 时,f(x)是增函数,试确定m的值. 根据幂函 由单调性 思路点拨: ―→ 列方程 ―→ 数的定义 确定出m 解:根据幂函数的定义得m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2, 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要 求.故m=3. 【互动探究】 在本例中其他条件不变,只改为“f(x)是减 函数”,又如何确定m的值? 解:根据幂函数的定义得 m2-m-5=1,解得m=3或m=

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