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高中数学 2.3幂函数课件 新人教A版必修1 (2)_图文

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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂函数 1.掌握幂函数的概念、图象和性质.(重点) 1 2.熟悉 α=1,2,3,2,-1 时的五类幂函数的图象、性质及 其特点.(易混点) 3.能利用幂函数的性质来解决实际问题.(难点) 1.幂函数的概念 y=xα 叫做幂函数,其中__ 一般地,函数_______ x 是自变量,__ α是 常数. 2.幂函数的图象与性质 幂函数 y =x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x -1 图象 幂函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y =x R R 奇 增 (1,1), (0,0) y=x2 R [0,+∞) 偶 y=x3 R R 奇 增 y=x2 1 y=x -1 [0,+∞) (-∞, 0)∪(0, +∞) [0,+∞) (-∞, 0)∪(0, +∞) 非奇非偶 增 奇 增 x∈[0, +∞)___ 减 x∈(-∞,0]__ (1,1),(0,0) 减 x∈(0,+∞)____ 减 x∈(-∞,0)____ (1,1) 定点 (1,1), (0,0) (1,1), (0,0) 1.想一想 (1)幂函数y=xα与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)有何区别? 提示:幂函数 y= xα的底数为自变量,指数是常数,而指数 函数正好相反,指数函数 y = ax 中,底数是常数,指数是自变 量. (2)幂函数的图象能过第四象限吗? 提示:对幂函数 y =xα 而言,当x>0 时,必有y>0,故幂函数 图象不过第四象限. 2.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).( ×) (2)幂函数y=xα的定义域、奇偶性、单调性,因函数式中α 的不同而各异.( )√ (3)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个 象限.(×) 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数. (2)底数是自变量,自变量的系数为1. (3)幂xα的系数为1. (4)只有1项. 2.幂函数y=xα在第一象限的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点). (3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸). (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点). (5)指数小于0,在第一象限为双曲线型. 3.幂函数的性质归纳 (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都 过点(1,1). (2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞) 上是增函数. (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在 第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼 近y 轴正半轴;当 x 趋于+∞ 时,图象在x 轴上方无限地逼近 x 轴 正半轴. 幂函数的概念 函数 f(x) = (m2 - m - 5)xm - 1 是幂函数,且当 x∈(0 ,+ ∞ ) 时,f(x)是增函数,试确定m的值. 根据幂函 由单调性 思路点拨: ―→ 列方程 ―→ 数的定义 确定出m 解:根据幂函数的定义得m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2, 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要 求.故m=3. 【互动探究】 在本例中其他条件不变,只改为“f(x)是减 函数”,又如何确定m的值? 解:根据幂函数的定义得 m2-m-5=1,解得m=3或m= - 2 ,当 m = 3 时, f(x) = x2 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数,不符合题 意. 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数. 故m=-2. 1.幂函数的判断方法 (1) 幂函数同指数函数、对数函数一样,是一种 “ 形式定 义”的函数,也说是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才 是幂函数. (2)如果函数解析式以根式的形式给出,则要注意把根式化 为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行 判断. 2.求幂函数解析式的依据及常用方法 (1)依据. 若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具 备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件. (2)常用方法. 设幂函数解析式为f(x)=xα,根据条件求出α. 1.函数 f(x)=(m -m-1)x 2 m2+m-3 是幂函数,且当 x∈(0,+ ∞)时,f(x)是增函数,求 f(x)的解析式. 解:根据幂函数的定义得 m2-m-1=1.解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,f(x)=x3 在(0,+∞) 上是增函数; 当 m=-1 时,f(x)=x 3 在(0,+∞)上是减函数,不符合要 - 求.故 f(x)=x3. 幂函数的图象与性质 已知点( 2,2)在幂函数 ? 1? f(x)的图象上,点?-2,4?在幂函 ? ? 数 g(x)的图象上,问当 x 为何值时, (1)f(x)>g(x); (2)f(x)=g(x); (3)f(x)<g(x). 思路点拨:本题中给出的两个点分别在幂函数的图象上, 由幂函数的定义,可用待定系数法先确定两幂函数的解析式, 然后根据两幂函数图象的特点再分别确定x的取值. 解:设 f(x)=xα,由题意得,2=( 2)α?α=2, ∴f(x)=x2. 同理可求, g(x)=x 2, 在同一坐标系内作出 y=f(x)与 y=g(x) - 的图象,如图, 由图象可知:(1)当 x>1 或 x<-1 时, f(x)>g(x); (2)当 x=± 1 时,f(x)=g(x); (3)当-1<x<0 或 0<x<1 时,f(x)<g(x). 1.作幂函数图象的原则和方法 (1)原则:作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性等. (2)方法:首先作出幂函数在第一象限内

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