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高一数学-[原创]数列习题课 精品

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数列、等差数列习题课 1.一个无穷等差数列{an} ,公差为 d,则{an}中有有限个负数的充要条件是 A.a1>0 且 d>0 B.a1>0 且 d<0 C.a1<0 且 d<0 D.a1<0 且 d>0 【解析】由题意知此数列为单调递增数列. 【答案】D 2.一个等差数列的第 6 项是 5,第 3 项与第 8 项的和也是 5,则这个等差数列的第 5 项 为 A.5 B.0 C.10 D. - 5 【解析】由已知 ? ?a 6 ? 5 ?a 3 ? a 8 ? 5 即? ?a1 ? 5d ? 5 ?2a1 ? 9d ? 5 解得:d=5,a1=-20 ∴a5=-20+4×5=0 【答案】B 1. 在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150,则 n 等于 A.9 B.10 C.11 D.12 【解析】由已知 ? ?(n ? 1)a n ? 165 ?na n ? 150 解得 n=10 【答案】B 4.等差数列{an}的首项 a1=-5,它的前 11 项的平均值为 5,若从中抽去一项,余下的 10 项的平均值为 4,6,则抽去的是 A.a6 B.a8 C.a10 D.a11 【解析】已知 S11=55 即 11a1+ 11 ? 10 d =55 2 又 a1=-5,∴d=2 由已知 an=55-46=9 即-5+(n-1)2=9 解得 n=8 【答案】B 5.数列{an}的前 n 项的积为 n2,那么当 n≥2 时,an 的通项公式为 A.an=2n-1 B.an=n2 C.an= (n ? 1) 2 n2 D.an= n2 (n ? 1) 2 【解析】设数列{an}的前 n 项的积Tn=n2,当 n≥2 时,an= Tn n2 . ? Tn?1 (n ? 1) 2 【答案】D 6.若等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1、a2 是关于 x 的方程 x2-a3x+a4=0 的两根,则 {an}的通项公式 an=______. 【解析】由已知得 ?a1 ? a 2 ? a3 ?2a1 ? d ? a1 ? 2d ?? ? ?a1 (a1 ? d ) ? a1 ? 3d ?a1 a 2 ? a 4 ?a ? 2 ?a1 ? 0 ?? 1 或? (舍去) ?d ? 2 ?d ? 0 ∴an=2+2(n-1)=2n. 【答案】2n 7.在等差数列{an}中,已知|a3|=|a9|,d<0,则使它的前 n 项和 Sn 取得最大值的自 然数 n=______. 【解析】由|a3|=|a9|,d<0,知 a3 与 a9 异号, ∴a3=-a9, ∴a1+2d=-a1-8d,得 a1=-5d, an=a1+(n-1)d=(n-6)d≤0,得 n≥6, ∴此数列第 6 项及以后各项为负,故所求的 n 为 5 或 6. 【答案】5 或 6 8.求和:12-22+32-42+52-……+992-1002=______. 【解析】两项结合用平方差公式 原式=-(1+2)-(3+4)-(5+6)-……-(99+100)=- 【答案】-5050 9.在数列{an}中,已知 a1=1,an+1= 100 (1 ? 100 ) =-5050 2 2a n (n∈N*), an ? 2 求证: { 1 }为等差数列,并求{an}的通项公式. an 【证明】 由已知条件 an+1= 2a n ,得 an ? 2 1 a n ?1 ∴{ = an ? 2 1 1 1 ,即 ? ? 2a n an?1 an1 2 1 1 }是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 an ∴ 1 1 1 n ?1 ? ? (n ? 1) ? a n a1 2 2 2 . n ?1 即 an= 10.已知在正整数数列{an}中,前 n 项和 Sn 满足:Sn= (1)求证{an}是等差数列 1 (an+2)2 8 1 an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2 1 (1)【证明】 由 Sn= (an+2)2 8 1 当 n≥2 时,Sn-1= (an-1+2)2 8 1 1 ①-②得 an= (an+2)2- (an-1+2)2 8 8 (2)若 bn= 整理得 an2-an-12=4(an+an-1) 又 an>0 ∴an-an-1=4. 即数列{an}构成等差数列,公差为 4. (2)【解】 由 Sn= ① ② 1 1 (an+2)2 知 a1= (a1+2)2 8 8 即(a1-2)2=0 ∴a1=2 an=a1+(n-1)d=4n-2 则 bn= 令? 1 an-30=2n-31 2 ?bn ? 0 29 31 得 ?n? 2 ?bn ?1 ? 0 2 又 n∈N* ∴n=15,此时{bn}的前 n 项和取得最小值. 15 ? 4 ·2=-225. 2 1 1 1 ? ? …+ 11.已知数列{an}的通项公式是 an= ,试问{an}是否为单调数列, n ?1 n ? 2 2n 其最小值为 S15=15b1+ 为什么? 【解】 an+1-an=[ 1 1 1 1 1 1 ? ? +…+ ]-( +…+ ) n ?1 n ? 2 2n (n ? 1) ? 1 (n ? 1) ? 2 2(n ? 1) =( 1 1 1 1 1 1 ? ? +…+ )-( +…+ ) n?2 n?3 2n ? 2 n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 ? ? = 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 = 4n ? 3 1 ? (2n ? 1)(2n ? 2) n ? 1 (4n ? 3) ? (4n ? 2) 1 >0 ? (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 2) = 即 an+1>an,n∈N* ∴数列{an}为递增数列.

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