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第30届全国中学生物理竞赛决赛理论

时间:2014-09-17


第 30 届全国中学生物理竞赛决赛理论 一、 (15 分)一质量为 m 的小球在距水平地面 h 高处以水平速度 2gh 抛出,空气阻力不计.小球每次落地反 弹时水平速度不变, 竖直速度大小按同样的比率减小. 若自第一次反弹开始小球的运动轨迹与其在地面的投影之 2 间所包围的面积总和为 8h /81,求小球在各次与地面碰撞过程中所受到的总冲量, 提示:小球每次做斜抛运动(从水平地面射出又落至地面)的轨迹与其在地面的投影之间所包围的面积等于 其最大高度和水平射程乘积的 2/3. 二、(15 分)质量均为 m 的小球 1 和 2 由一质量可忽略、长度为 L 的刚性轻杆连 接,竖直地靠在墙角,小球 1 在杆的上端,如图所示。假设墙和地面都是光滑的, 初始时给小球 2 一个微小的向右初速度,问在系统运动过程中,当杆与竖直墙面 之间的夹角等于何值时,小球 1 开始离开竖直墙面? 三、 (25 分)太空中有一飞行器靠其自身动力维持在地球赤道的正上方L=α Re 处,相对于赤道上的一地面物资供应站保持静止.这里,Re 为地球的半径, α 为常数,α >α m,而 α m=

? ?
GM e
2 2 ?e Re

1

3

?1

Me 和ω e分别为地球的质量和自转角速度,G 为引力常数.设想从供应站到飞行器有一根用于运送物资的 刚性、管壁匀质、质量为 mp的竖直输送管,输送管下端固定在地面上,并设法保持输送管与地面始终垂直.推 送物资时,把物资放进输送管下端内的平底托盘上,沿管壁向上推进,并保持托盘运行速度不致过大.忽略托盘 与管壁之间的摩擦力,考虑地球的自转,但不考虑地球的公转.设某次所推送物资和托盘的总质量为m. 1.在把物资从供应站送到飞行器的过程中,地球引力和惯性离心力做的功分别是多少? 2.在把物资从供应站送到飞行器的过程中,外推力至少需要做多少正功? 3.当飞行器离地面的高度(记为 Lo)为多少时,在把物资送到飞行器的过程中,地球引力和惯性离心力所做 功的和为零? 4.如果通过适当控制飞行器的动力,使飞行器在不输送物资时对输送管的作用力恒为零,在不输送物资的情 况下, 计算当飞行器离地面的高度为L= α Re (α >α m) 时, 地面供应站对输送管的作用力; 并对 L>L0、 L=Lo、 α mRe<L<L0 三种情形, 分别给出供应站对输送管作用力的 大小和方向. 四、 (20 分)一电路包含内阻为 RE,一电动势为 E 的直 流电源和 N 个阻值均为 R 的相同电阻,有 N+1 个半径为 r 的相同导体球通过细长导线与电路连接起来, 为消除导体球 之间的互相影响,每个导体球的外边都用内半径为 r0(>r)的 同心接地导体薄球壳包围起来, 球壳上有小缺口容许细长导 线进入但与其绝缘,如图所示.把导体球按照从左向右的顺 序依次编号为 1 到 N+1.所有导体球起初不带电,开关闭合并达到稳定状态后,导体球上所带的总电量为 Q.问导 体球的半径是多少?已知静电力常量为 k. 五、 (20 分)如图,处于超导态、半径为 ro、质量为 m、自感为L的超导细圆 环处在竖直放置的柱形磁棒上方,其对称轴与磁棒的对称轴重合.圆环附近的 磁场具有柱对称性,磁感应强度 B 可用一个竖直分量 Bz=Bo(l-2az)和一个径向 分量 Br=Boα r 近似地描述,这里 Bo、α 为大于零的常量,z、r 分别为竖直和径 向位置坐标.在 t=0 时刻,环心的坐标为 z=0,r=0环上电流为I0(规定圆环 中电流的正向与 z 轴正向满足右手规则) . 此时把圆环释放, 圆环开始向下运动, 其对称轴仍然保持竖直.处于超导态的超导细圆环具有这样的性质:穿过超导 细圆环的磁通量保持不变.
1

1.圆环作何种运动?给出环心韵 z 坐标与时间的依赖关系. 2.求 t 时刻圆环中电流 I 的表达式. 六(15分)、一厚度为 t 的璃金属盘悬吊在温度为 300.0K 的空气中,其上表面受太阳直射,温度为 360.0K, 下表面的温度为 340.0K.空气的温度保持不变,单位时间内金属盘每个表面散失到空气中的能量与此表面和空 气的温度差以及此表面的面积成正比,忽略金属盘侧面的能量损失.若金属盘的厚度变为原来的 2 倍,求金属盘 上、下表面的温度. 七、 (15 分)亚毫米细丝直径的双光束干涉测量装置如图(a)所示,其中 M1、M2、M3为全反射镜,相机为 CCD (电荷耦合装置)相机.来自钒酸铱自倍频激光器的激光束被分束器分成两束,一束经全反镜 M1反射后从上侧 入射到细丝上;另一 束经全反镜 M 3 和 M 2 相继反射后从下 侧入射到细丝上, 图 (b) 给 出 了 两 条 反 射光线产生干涉的 光路,其中 θ l 、 θ 2 分别为上、下两侧 的入射角,D 为细丝 轴线到观察屏(即 相机感光片>的距离, P 为两条反射线在 观察屏上的交点,已 建立这样的直角坐 标系:坐标原点 O 位 于细丝的轴线上, x 轴(未画出)沿细 丝 轴线、 指向纸面内, y 轴与入射到细丝上的光线平行(y 轴的正向向上),z 轴指向观察屏并与其垂直.已知光波长为λ ,屏上千涉条纹 的间距为 a.由于 D 远大于细丝直径和观察屏的尺寸,可假设投射到屏上的只有非常接近平行于 z 轴的细光束. 1.由于细丝到观察屏的距离远大于观察屏的尺寸,因而上、下两侧的入射光只有 450 入射角附近的细光 束经 细丝反射到屏上,上、下两侧的反射光束分别形成两个虚像,试求这两个虚像的位置.(注:当 x~0 时,sinx~x, cosx~l) 2.求细丝的直径 d. 八、 (15 分) 相对于站立在地面的李同学, 张同学以相对论速率 v 向右运动, 王同学以同样的速率v向左运动. 当 张同学和王同学相遇时,三位同学各自把自己时钟的读数调整到零,当张同学和王同学之间的距离为L时(在地 面参考系中观察) ,张同学拍一下手已知张同学和王同学之间的相对速率为 vr ?
2 ?c 1? ? 2

其中β =v/c,c 为真空中

的光速。 1.求张同学拍手时其随身携带的时钟的读数. 2.从王同学自身静止的参考系看,在张同学拍手这一事件发生的时刻,王同学也拍一下手,从张同学自 身静 止的参考系看,在王同学拍手这一事件发生的时刻,张同学第二次拍一下手.从王同学自身静止 的参考系看, 在张同学第二次拍手这一事件发生的时刻,王同学第二次拍一下手.照此继续下去.求当张同学第 n 次拍手时地 面参考系中张、王同学之间的距离. 3.从李同学自身静止的参考系看,张同学和王同学依次拍手的时刻为多少?并指出这些时刻的顺序.

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