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株洲市2015届高三第一次统测理科数学试题

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6.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各 图中的( )

株洲市 2015 届高三年级教学质量统一检测(一)

数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. [来

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第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求.
2 1.设集合 A ? { x x ? 4 ? 0} , B ? { x 2 ? } ,则 A

俯视图

俯视图

俯视图

俯视图

A.

B.

C.

D.

x

1 4

B?(



7 .函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如图所示,

A. x x ? 2

?

?

B.

? x x ? ?2?

C.

? x x ? ?2 或x ? 2?
)

? 1? D. ? x x ? ? 2? ?

若 AB ? BC ? AB ,则 ? 等于(
2

)

2.复数 (

2i 2 ) (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( 1? i
B. ? 1 C. 1

? A. 6
8.

? B. 4

? C. 3

? D. 12
1? x 是奇函数,则下列命 1? x
D. p1 ? ?p 2

A. ? i

给 出 下 列 两 个 命 题 : 命 题 p1 : “ a ? 0 , b ? 0 ” 是 “ 函 数

D. 0

3.已知样本数据 3,4,5, x, y 的平均数是 5,标准差是 2 , 则 xy ? ( A. 42 C. 36 ) B. 40 D. 30 )

y ? x 2 ? ax ? b 为偶函数”的必要不充分条件;命题 p 2 :函数 y ? ln
开始

题是真命题的是(

) B. p1 ? ?p 2
2 2

s= 0,n= 1 n≤ 2015?
是 否

A. p1 ? p 2
2

C. p1 ? p 2

9.若双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的左、右顶点分别为 A、B,点 P 是第一象限内双曲线上的点。 若直线 PA、PB 的倾斜角分别为 α、β,且 ? ? m? (m ? 1) ,那么 α 的值是(
输出 s

4.阅读下面程序框图,则输出结果 s 的值为(

1 A. 2
C. ? 3

3 B. 2
D. 0 ) D. ?

s = s + sin

n?



3
结束

A.

?
2m ? 1

B.

? 2m
2 k 2

C.

?
2m ? 1

D.

? 2m ? 2

n = n +1
10.已知关于 x 的方程 x ? k ?

x 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数

5.已知非零向量 a, b , a ? b ? a ? b ,则 cos ? a, a ? b ? =(

k 的取值范围是(

) B. 0 ? k ?

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

3 2

A. 0 ? k ? 1

2

C. 1 ? k ? 2

D. k ? 1

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第Ⅱ 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,11,12,13 为选做题,14,15,16 为必做题,共 25 分.请将答案填在答题卷上) (一)选做题(请考生在第 11、12、13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前 2 题给分) 11.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=720,⊙O 过 A、B 两点且 与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连结 BD,若 BC= 5 ? 1 , 则 AC=
O? A

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.(本小题满分 12 分) 设 ? ? R , f ( x) ? cos x(? sin x ? cos x) ? cos (
2

?

? ?? ? x) 满足 f ? ? ? ? f ? 0 ? . 2 ? 3?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且
D

.
B

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f ( x) 在 ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

?0, B ? 上的值域.

12.关于 x 的不等式 2014 ? x ? 2015 ? x ? d 有解时,d 的取值范围是

C

.

? 2 x? t? 2 ? 2 13.已知直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程: ? (t 为参数) ,以直角坐标系 ? 2 ?y ? t ? ? 2
的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则以极点为圆心与直线 l 相切的 圆的极坐标方程为 (二)必做题(14 至 16 题) 。 18. (本小题满分 12 分) 如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 2 , AC ? 4 . DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折 起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求平面 A1 BE 与平面 A1 BC 所成二面角的大小. A D C D E B 图1 E B 图2 C A1

? y ?1 x ? 4y ? 5 ? 14. 已知实数 x、y 满足 ? y ? 2 x ? 1 ,则目标函数 z ? 的最大值 x ? 1 ?x? y?4 ?
与最小值的和是
6



a ? ? 2 15. ? x2 ? 右图阴影部分是由曲线 y = x ? 展开式的中间项系数为 20, 2x ? ?
和圆 x + y = a 及 x 轴围成的封闭图形, 则封闭图形的面积 S= 16.已知函数 f ( x) = x ln k - k ln x 的图像不经过第四象限,则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? k 的值域为
2 2

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19. (本小题满分 12 分) 某公司举办一次募捐爱心演出,有 1000 人参加,每人一张门票,每张 100 元。在演出过程 中穿插抽奖活动,第一轮抽奖从这 1000 张票根中随机抽取 10 张,其持有者获得价值 1000 元的奖品,并参加第二轮抽奖活动。第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产 生两个实数 x , y ( x, y ?[0, 4] ) ,若满足 y ?

21. (本小题满分 13 分)

x2 y2 ? ? 1 (b > 0) 如图,焦点在 x 轴的椭圆 C: ,点 G(2,0) ,点 P 在椭圆上, 8 b2
且 PG⊥x 轴,连接 OP 交直线 x = 4 于点 M,连接 MG 交椭圆于 A、B.

8 x ,电脑显示“中奖”,则抽奖者再次获得特 5

(Ⅰ)若 G 为椭圆右焦点,求|OM|; (Ⅱ)记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求 k1 ? k 2 的取值范围.

等奖奖金;否则电脑显示“谢谢”,则不中特等奖奖金。 (Ⅰ)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率; (Ⅱ)设特等奖奖金为 a 元,求小李参加此次活动收益的期望,若该公司在此次活动中收益的 期望值是至少获利 70000 元,求 a 的最大值。

y

M
P

B
O G
4
x

A

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? ( ) ( n ? N ) ,记 T2 n 为 {an } 的前 2 n 项的和.
n *

22. (本小题满分 13 分)

1 2

已知函数

f ( x) ? ( x 2 ? 2 x) ? ln x ? ax 2 ? 2 .
? ?1 时,求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;

(1)设 bn ? a2n ,证明:数列 {bn } 是等比数列; (2)不等式: 64 ? T2n ? a2n ? 3(1 ? ka2n ) 对于一切 n ? N 恒成立,求实数 k 的最大值.
*

(Ⅰ)当 a

(Ⅱ)设函数 g ( x) ?

f ( x) ? x ? 2 ,

(ⅰ)若函数 g ( x ) 有且仅有一个零点时,求 a 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,若 e
?2

? x ? e , g ( x) ? m ,求 m 的取值范围.

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