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2018届高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题七 概率与统计刺 第1讲 统计与统计案例 文_图文

时间:

第1讲统计与统计案例

考情分析

总纲目录
考点一 抽样方法 考点二 用样本估计总体(高频考点) 考点三 回归分析 考点四 独立性检测

考点一 抽样方法
1.简单随机抽样的特点是从总体中逐个抽取.适用范围:总体中的个 体数较少.
2.系统抽样的特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分 中抽取.适用范围:总体中的个体数较多.
3.分层抽样的特点是将总体分成几层,分层进行抽取.适用范围:总体由 差异明显的几部分组成.

典型例题
(1)(2017陕西西安六校联考)某班对八校联考成绩进行分析,利用随 机数表抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号,然后从随 机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体的编号是?( ) (注:下面摘取了随机数表的第8行和第9行) 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行) 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第9行) A.07 B.25 C.42 D.52

(2)(2017江苏,3,5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法 从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取
件. 答案 (1)D (2)18
解析 (1)依题意得,依次选出的个体的编号分别是12,34,29,56,07,52,…, 因此选出的第6个个体的编号是52,选D.
(2)应从丙种型号的产品中抽取60×?=18(件30)0.
200?400?300?100

方法归纳 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种,这三种抽样 方法各自适用不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一个个体被抽 到的概率都是相等的,都等于样本容量与总体个体数的比值.

跟踪集训

1.(2017江西南昌第一次模拟)某校为了解学生学习的情况,采用分层抽 样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n人中抽取81人进行问卷 调查,已知高二被抽取的人数为30,那么n=?( ) A.860 B.720

C.1 020 答案 D 故选D.

D.1 040
根据分层抽样方法,得81×?=301,2可00得n=1 040.
1 000?1 200?n

2.已知某商场新进3 000袋奶粉,为检测是否达标,现采用系统抽样的方

法从中抽取150袋进行检测,将3 000袋奶粉按1,2,…,3 000随机编号,若第

一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为

.

答案 1 211
解析 由题意知抽样间隔k=?3 0 =0 020,因为第一组抽出的号码是11,则
150
第六十一组抽出的号码为11+60×20=1 211.

考点二 用样本估计总体(高频考点)
命题点 1.用样本的频率分布估计总体分布; 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征.

1.频率分布直方图的两个结论
(1)小长方形的面积=组距×?频组 率距=频率.
(2)各小长方形的面积之和等于1.

2.统计中的四个数字特征 (1)众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据. (2)中位数:样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数据.如果数据 的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数. (3)平均数:样本数据的算术平均数,即
?x =?1 (x1+x2+…+xn).
n
(4)方差与标准差
方差:s2=?1 [(x1-x ?)2+(x2-x ?)2+…+(xn-x ?)2].
n
? 标准差:s= 1 n[.(x1?x)2?(x2?x)2?? ?(xn?x)2]

典型例题
某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查 了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分 的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
?

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80)

频数

2

8

14

[80,90) 10

[90,100] 6

(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比 较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出 结论即可);
?

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:

满意度评分 满意度等级

低于70分 不满意

70分到89分 满意

不低于90分 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

解析 (1)
?
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满 意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满

意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散. (2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6, P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

方法归纳 (1)关于平均数、方差的计算 样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式,要特别注意区 分方差与标准差,不能混淆,标准差是方差的算术平方根. (2)求解频率分布直方图中相关数据的两个注意点
①小长方形的面积表示频率,其纵轴是?频 率,而不是频率.
组距
②各组数据频率之比等于对应小长方形的高度之比.

跟踪集训

1.(2017课标全国Ⅰ,2,5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作

试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是?( )

A.x1,x2,…,xn的平均数 C.x1,x2,…,xn的最大值

B.x1,x2,…,xn的标准差 D.x1,x2,…,xn的中位数

答案 B 统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或

标准差.故选B.

2.(2017湖北武汉武昌调研)我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问 题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生 活用水定额管理制度,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),月用 水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全 市居民用水量的分布情况,通过抽样,获得了某年100位居民的月均用水 量(单位:吨),将数据按照[0,0.5],(0.5,1],…,(4,4.5]分成9组,制成了如图所 示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值; (2)已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数, 并说明理由; (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x 的值,并说明理由.

解析 (1)由(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a =0.30. (2)由频率分布直方图知,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率 为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12. 则估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12= 96 000. (3)∵前6组的频率之和是(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88> 0.85, 前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85, ∴2.5<x≤3, 由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9. 因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.

考点三 回归分析

1.线性回归方程

n

? 方程?y^ =b^?x+a^ ?称为线性回归方程,其中b^ ?=i??

1 n

?

x

i
x

y
2 i

i

?,?n x=y?-a^??y ,(?b^ ,?x )称x 为y 2
? nx

样本点的中心.

i?1

2.样本n数据的相关系数r

r=?

?(xi ? x)( yi ? y)
i?1

,

n

n

?(xi ? x)2 ?( yi ? y)2

i?1

i?1

反映样本数据的相关程度,|r|越大,相关性越强.典型例题

(2017课标全国Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过 程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸 (单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:

抽取次序 1

2

3

4

5

6

7

8

零件尺寸 9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

抽取次序 9

10

零件尺寸 10.26

9.91

11

12

13

10.13

10.02

9.22

14

15

16

10.04

10.05

9.95

? ? 经计算得?x = 1 16

16
??xi=9.97,s=
i? 1

1 16

16
?(xi
i?1

?

x)2

=?≈0.212,?

16
?(i ? 8.5)2
i ?1

≈18.439,??1 6 (xi-x ?)(i-8.5)=-2.78,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…, i? 1

16.

(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的

零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以

认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);

(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(?x -3s,?x +3s)之外的零件,就认 为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生

产过程进行检查.

(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查? (ii)在(?x -3s,x?+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产 线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01) 附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数

n

? r= i??1(.xi ? x)( yi ? y)

n

n

?(xi ? x)2 ?( yi ? y)2

?0≈.0i0?018.09.

i?1

解析 (1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=

16

??(xi ? x)(i ?8.5) i?1

16

16

?(xi ? x)2 ?(i ? 8.5)2

i?1

i?1

=?≈-0?.21.788.

0.212? 16?18.439

由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进

行而系统地变大或变小.

(2)(i)由于?x =9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺
寸在(?x -3s,x?+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.
(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为?1 ×(16×9.97-9.22)=
15
10.02,

这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
??1 6 x ?i2 =16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
i? 1
剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为
?1 ×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
15
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为?0≈.000.809.

方法归纳

1.求线性回归方程的步骤

(1)计算?x ,?y ;

(2)计算?? n xiyi?,n?x i2 ?;

i? 1

i? 1

n

n

? ? (3)计算?b^ =i??1(

xi
n

?x
=

)(

yi

? y) ? xiyi
;?=?i ?-1n??;

?

(4)写出线性回i??1归( x i方? x程) 2?y^ =b^ ?i?x? 1+a^ x?i2 ?.

n n

x x

2

y

^
a

^
y bx

注意 样本点的中心(?x ,?y )必在回归直线上.

2.相关系数r 当r>0时,表明两个变量正相关; 当r<0时,表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接 近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时, 认为两个变量有很强的线性相关性.跟踪集训

(2016课标全国Ⅲ,18,12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化 处理量(单位:亿吨)的折线图.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加 以说明; (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾 无害化处理量.

附注:

参考数据:?? 7 yi=9.32,? 7?tiyi=40.17,??7 ( y=i 0?.5y )52,?≈2.6476.

i? 1

i? 1

i ?1

n

? 参考公式:相关系数r=

?(ti ? t)( yi ? y)
, i?1

n

n

?(ti ? t)2 ?( yi ? y)2

回归方程?y^ =a^ ?+b^ ?t中斜i?率1 和截i距?1 最小二乘估计公式分别为:

n

? ^ ? ( ti ? t ) ( y i ? y ) ^

^

?b =i ?1 n ,?=?-??.a y b t

? (ti ? t)2
i?1

7
解析 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得?t =4,??(tit -?)2=28, i? 1

?7 ?

(=y0i .?55y,)

2

i ?1

?? 7 (ti-t ?)(yiy-?)?=7 ?tity?i7-??yi=40.17-4×9.32=2.89,

i? 1

i? 1

i? 1

r≈?≈20..8999.

0.55?2?2.646

因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而

可以用线性回归模型拟合y与t的关系.

7

? (2)由?y =?9 . 3 ≈2 1.331及(1)得?=b^

?
i?1

(

t

i=??t ) (≈y i 0?.1y0) ,

2

.8 9

7

7
? (ti ? t)2

28

?a^ =y ?b-^ ?t ?=1.331-0.10×4≈0.93. i?1

所以y关于t的回归方程为?y^ =0.93+0.10t.
^
将2016年对应的t=9代入回归方程得:?y =0.93+0.10×9=1.83.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨.

考点四 独立性检验
1.2×2列联表 设两个变量A,B,每一个变量都可以取两个值,变量A:A1,A2,变量B:B1,B2,则 2×2列联表如下:

B1

B2

总计

A1

a

b

a+b

A2

c

d

c+d

总计

a+c

b+d

a+b+c+d

2.K2的计算公式
K2=?(其中n(and=?a+bcb)+2c+d). (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
3.两个分类变量A和B是否有关系的判断方法 (1)当K2≤2.706时,没有充分的证据判定变量A,B有关联,可以认为变量A, B没有关联; (2)当K2>2.706时,有90%的把握判定变量A,B有关联; (3)当K2>3.841时,有95%的把握判定变量A,B有关联; (4)当K2>6.635时,有99%的把握判定变量A,B有关联; (5)当K2>10.828时,有99.9%的把握判定变量A,B有关联.

典型例题
(2017课标全国Ⅱ,19,12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖 方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产 量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
?

?
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与 养殖方法有关;

箱产量<50 kg

箱产量≥50 kg

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行 比较.

? 附:

,

? K2= . n(ad?bc)2 (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

解析 (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62. 因此,事件A的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表:

旧养殖法 新养殖法

箱产量<50 kg 62 34

箱产量≥50 kg 38 66

K2=?200≈?(1652.? 70665.?34?38)2
100?100?96?104
由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数) 在50 kg到55 kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到 50 kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集 中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法 优于旧养殖法.

方法归纳
独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表;
(2)根据公式K2=?计算n(Ka2d的?值bc); 2 (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
(3)查表比较K2与临界值的大小关系,作统计判断.

跟踪集训

(2017甘肃张掖第一次诊断)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的 劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对 “延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年 龄在15~65的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图和支 持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:

年龄

[15,25)

支持“延迟 15 退休”的人 数

[25,35) 5

[35,45) 15

[45,55) 28

[55,65] 17

?
(1)由以上统计数据填2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为以45岁 为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;

45岁以下

45岁以上

合计

支持

不支持

合计

(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方 法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人,求至少有1人是45岁 以上的概率. 附:

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

? K2= . n(ad?bc)2 (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

解析 (1)

支持 不支持 合计

45岁以下 35 15 50

45岁以上 45 5 50

合计 80 20 100

因为K2=?100=??(35=?65.2?54>53?.1854)12, 2 5
50?50?80?20 4
所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄 政策”的支持度有差异. (2)从不支持“延迟退休”的人中,45岁以下应抽6人,45岁以上应抽2人. 记45岁以下的6人为1,2,3,4,5,6;45岁以上的2人为A,B, 则有1→2,3,4,5,6,A,B, 2→3,4,5,6,A,B, 3→4,5,6,A,B, 4→5,6,A,B, 5→6,A,B, 6→A,B,
13
A→B, 故所求概率为?2 8 .

随堂检测
1.(2017山东,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某 日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等, 则x和y的值分别为?( )
?
A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7

答案 A 由茎叶图,可得甲组数据的中位数为65,从而乙组数据的中 位数也是65,所以y=5. 由乙组数据59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为66,
故甲组数据的平均值也为66,从而有?56=?6662,? 解6得5?x7=43? . 70?x
5
故选A.

2.(2017福建福州综合质量检测)在检测一批相同规格共500 kg航空用耐 热垫片的品质时,随机抽取了280片,检测到有5片非优质品,则这批航空 用耐热垫片中非优质品约为?( ) A.2.8 kg B.8.9 kg C.10 kg D.28 kg
答案 B 由题意,可知抽到非优质品的概率为?2 58 0,所以这批航空用 耐热垫片中非优质品约为500×?5 =?1 2 ≈5 8.9 kg,故选B.
280 14

3.(2017甘肃兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售 额y(单位:万元)之间的部分对应数据如下表:

x

2

4

5

6

8

y

30

40

50

m

70

根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出x与y的线性回归方程为?y^

=6.5x+17.5,则表中m的值为?( )

A.45 B.50 C.55 D.60

答案 D ?x =?2?=45?,?55=??6?=838+?y ,3因0?为40回?归550?m?70

m 5

直线必过样本点的中心???? 5, 3,将8 ?此m5 点??? 代入?=6.5y^ x+17.5,解得m=60.
故选D.

4.(2017安徽合肥质量检测)某同学在高三学年的五次阶段性考试中,数

学成绩依次为110,114,121,119,126,则这组数据的方差是

.

答案 30.8

解析 五次阶段性考试的平均成绩?x =?110=? 11 11 84 ,所?1以21?119?126
5
这组数据的方差s2=?1 ×[(110-118)2+(114-118)2+(121-118)2+(119-118)2+
5
(126-118)2]=30.8.


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