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高中数学必修5(北师版)第二章解三角形2.2(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

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高中数学必修5(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 解三角形 2.2 三角形中的几何计算

一、知识清单
判断三角形形状 三角形的面积

二、知识讲解
1.判断三角形形状 描述: 利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理进行边角互化,从而找到三角形元素之间的关系,进而 判断三角形形状. 例题: 设 △ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,若 b cos C + c cos B = a sin A,则 ) △ABC 的形状为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解:A 由正弦定理可得 sin B cos C + sin C cos B = sin A sin A,所以 sin(B + C ) = sin 2 A,即 sin A = sin 2 A .又 sin A ≠ 0,所以 sin A = 1,所以 A = 90? . 在 △ABC 中,a2 ? tan B = b 2 ? tan A,判断三角形 ABC 的形状. 解:由正弦定理得

a = 2R sin A, b = 2R sin B,
由题意可得

(2R sin A)2


sin B sin A = (2R sin B)2 ? , cos B cos A

sin A cos A = sin B cos B,
所以 sin 2A = sin 2B,所以

2A = 2B或2A + 2B = π.
所以

A = B 或A + B =
所以 △ABC 是等腰三角形或直角三角形.

π . 2

在 △ABC 中,(a + b + c)(a + b ? c) = 3ab 且 2 cos A sin B = sin C,试判断此三角形的形 状.

解:(方法一)(利用边的关系判断)由正弦定理,得

sin C c = , sin B b
因为 2 cos A sin B = sin C,所以

cos A =
由余弦定理得

sin C c = . 2 sin B 2b

cos A =
所以

b 2 + c 2 ? a2 , 2bc

c b 2 + c 2 ? a2 = , 2bc 2b
所以

a = b.
因为(a + b + c)(a + b ? c) = 3ab,所以

(a + b)2 ? c 2 = 3ab,
又因为 a = b,所以 4b 2 ? c 2 = 3b 2 ,所以 b 2 = c 2 ,所以

b = c,
所以△ABC 为等边三角形. (方法二)(利用角的关系判断)因为 A + B + C = π ,所以

sin C = sin(A + B).
因为 2 cos A sin B = sin C,所以

2 cos A sin B = sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B,
所以

sin A cos B ? cos A sin B = 0,
即 sin(A ? B) = 0,又因为 0 ? < A < 180 ? ,0 ? < B < 180 ? ,所以 ?180 ? < A ? B < 180 ? ,所以

A ? B = 0? ,
所以 A = B,又因为 (a + b + c)(a + b ? c) = 3ab,所以

(a + b)2 ? c 2 = 3ab
所以 a2 + b 2 ? c 2 = ab.因为 c 2 = a2 + b 2 ? 2ab cos C ,所以

cos C =

1 a2 + b 2 ? c 2 = , 2ab 2

因为 0 ? < C < 180 ? ,所以 C = 60? ,又 A = B,所以 △ABC 为等边三角形.

2.三角形的面积 描述:

1 1 1 aha = bhb = chc (ha 、hb 、hc 分别表示 a 、b 、c 上的高) 2 2 2 1 1 1 S △ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2 a+b+c ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (海伦公式) ? S △ABC = √p(p ? a)(p ? b)(p ? c),其中 p = 2 S △ABC =

例题: 在 △ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且 ∠B = 30? ,c = 2√3 ,b = 2 ,求 △ABC 的面积 S . 解:由正弦定理得

sin C =
又因为

c sin B √3 = , b 2

c > b,
所以

∠C = 60? 或 ∠C = 120 ? .
当 ∠C = 60? 时,∠A = 90? ,所以

S=
当 ∠C = 120 ? 时,∠A = 30? ,所以

1 bc sin A = 2√3 ; 2 1 bc sin A = √3 . 2

S=
所以 △ABC 的面积为 2√3 或 √3 .

在 △ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 tan A = 3,cos C = (1)求角 B 的大小; (2)若 c = 4 ,求 △ABC 的面积 . 解:(1)因为 cos C = 导公式可得

√5 . 5

2√5 √5 ,所以 sin C = ,tan C = 2 .因为 A + B + C = π ,由诱 5 5 tan B = ? tan(A + C ),

所以

tan B = ? tan(A + C ) = ?
且 0 < B < π ,所以 B = (2)由正弦定理得

tan A + tan C 3+2 =? = 1, 1?3×2 1 ? tan A tan C

π . 4 b c = , sin B sin C



b=
由 tan A = 3 得,sin A =

? 3√? 10 ,所以 △ABC 的面积 10 S △ABC =

c sin B ?. = √? 10 sin C

1 bc sin A = 6. 2

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