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福建省厦门六中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(Word版含解析)

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2014-2015 学年福建省厦门六中高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本学科王大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选 项中,只有一项符合题目要求. 1. (5 分)设集合 A={m∈Z|﹣3<m<2},B={n∈N|﹣1<n≤3},则 A∩B=() A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 2. (5 分)集合 A={x|0≤x≤4},集合 B={y|0≤y≤2},下列不表示从 A 到 B 的函数是() A.f:x→y= x B.f:x→y= x C.f:x→y= x D.f:x→y=

3. (5 分)已知点 A.
0.3

在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式为() B.
7

C.f(x)=x

2

D.f(x)=x

﹣2

4. (5 分)设 a=7 ,b=log70.3,c=0.3 ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 5. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) 6. (5 分)函数 y= A.(﹣∞, ) B.(﹣∞,1]
2 x

D.(1,2)

的定义域为() C.( ,1]

D.( ,1)

7. (5 分)如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 取值范 围是() A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 8. (5 分)函数 A.(﹣∞,1) (1,+∞) 的值域是() B.(﹣∞,1)∪(1,+∞) C. (0,1) D.

9. (5 分)若函数 f(x)=logax 在区间[a,3a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为() A.
2

B.

C. 0 或

D.



10. (5 分)函数 y=x ﹣2x+3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是() A.[1,∞) B.[0,2] C.(﹣∞,2] D.[1,2]
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11. (5 分)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2

﹣x+1

在同一直角坐标系下的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,若 f(log2x) >f(1) ,则 x 的取值范围是() A.(2,+∞) +∞) B.( ,2) C.(0, )∪(2,+∞) D. (0, 1) ∪ (2,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上. 13. (4 分)已知函数 f(x)= ,则 f[f( )]的值是.

14. (4 分)函数 f(x)=loga(x﹣2)+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是. 15. (4 分)设奇函数 f(x)的定义域为[﹣5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则 不等式 f(x)≤0 的解集为.

16. (4 分)若函数 f(x)同时满足:①对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(﹣x)=0; ②对于定义域上的任意 x1,x2,当 x1≠x2 时,恒有 f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中: ,则称函数

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(1)f(x)= (2)f(x)=x (3)f(x)=
2

(4)f(x)=



能被称为“理想函数”的有(填相应的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)计算下列各式 (1) (x>0,y>0) (结果用指数表示)

(2)log84+log26﹣log23+log36?log69﹣lg100+



18. (12 分)已知集合 A={x|a﹣1≤x≤2a+3},B={x|﹣2≤x≤4},全集 U=R (Ⅰ)当 a=2 时,求 A∪B 和(?RA)∩B; (Ⅱ)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 ,

(1)用函数单调性定义证明:f(x)在(﹣1,+∞)是增函数; (2)试求 在区间[1,2]上的最大值与最小值.

20. (12 分)已知函数 f(x)=loga(1+x)﹣loga(1﹣x) (a>0,a≠1) . (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (Ⅲ)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 21. (12 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收 益与投资额成正比, 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) .

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(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收 益,其最大收益为多少万元? 22. (14 分)设 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|+2x. (1)若 a=2,求函数 f(x)在区间[0,3]上的最大值; (2)若 a>2,写出函数 f(x)的单调区间(不必证明) ; (3)若存在 a∈[3,6],使得关于 x 的方程 f(x)=t+2a 有三个不相等的实数解,求实数 t 的取值范围.

2014-2015 学年福建省厦门六中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本学科王大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选 项中,只有一项符合题目要求. 1. (5 分)设集合 A={m∈Z|﹣3<m<2},B={n∈N|﹣1<n≤3},则 A∩B=() A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1, 2} D.{﹣1,0,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出集合 A,集合 B,然后求解交集即可. 解答: 解:集合 A={m∈Z|﹣3<m<2}={﹣2,﹣1,0,1}, B={n∈N|﹣1<n≤3}={0,1,2,3}, 所以 A∩B={0,1}. 故选 A. 点评: 本题考查集合的交集的求法,考查计算能力. 2. (5 分)集合 A={x|0≤x≤4},集合 B={y|0≤y≤2},下列不表示从 A 到 B 的函数是() A.f:x→y= x B.f:x→y= x C.f:x→y= x D.f:x→y=

考点: 函数的概念及其构成要素. 专题: 分析法.

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分析: 根据函数的定义,当 x 取 4 时,根据对应法则检验对应的函数值是否在集合 B 中 即可. 解答: 解:当 x=4 时,根据对应法则 f:x→y= x,得 y=2∈B; 根据对应法则 f:x→y= x,得 y= 根据对应法则 f:x→y= x,得 y= ; ;

根据对应法则 f:x→y= ,得 y=2∈B. 根据函数的概念可知选项 C 中对应法则不能构成 A 到 B 的函数. 故选 C. 点评: 本题主要考查了函数的概念及判断.

3. (5 分)已知点 A. B.

在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式为() C.f(x)=x
2

D.f(x)=x

﹣2

考点: 函数解析式的求解及常用方法;幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 设出幂函数的解析式,利用点在函数的图象上,即可求出函数的解析式. 解答: 解:设幂函数为:y=x ,因为点
a

在幂函数 f(x)的图象上,

所以 3

,解得 a=﹣2,
﹣2

函数的解析式为:f(x)=x . 故选 D. 点评: 本题考查函数的解析式的求法,幂函数的解析式的求法,考查计算能力. 4. (5 分)设 a=7 ,b=log70.3,c=0.3 ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数和对数函数的性质求解. 0.3 0 解答: 解:∵a=7 >7 =1, b=log70.3<log71=0, 7 0 0<c=0.3 <0.3 =1, ∴b<c<a. 故选:B. 点评: 本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对 数函数的性质的合理运用.
0.3 7

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5. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)

x

D.(1,2)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将选项中各区间两端点值代入 f(x) ,满足 f(a)?f(b)<0(a,b 为区间两端点) 的为答案. 解答: 解:因为 f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,所以零点在区间(0,1)上, 故选 C. 点评: 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用, 属于容易题. 函数零点附近函数值 的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解. 6. (5 分)函数 y= A.(﹣∞, ) B.(﹣∞,1] 的定义域为() C.( ,1]

D.( ,1)

考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 直接根据真数大于 0 以及根号内大于等于 0 列出关于 x 的不等式组, 解之即可得到 答案.

解答: 解:由题得:

?

?

?( ,

1]. 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的定义域及其求法. 当函数是由解析式给出时, 其定义域是使解 析式有意义的自变量的取值集合. 7. (5 分)如果函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 取值范 围是() A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(﹣∞,4]上是减函数”,知 对称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果. 2 2 解答: 解:∵f(x)=x +2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1) +2﹣(a﹣1)2 其对称轴为:x=1﹣a 2 ∵函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数 ∴1﹣a≥4 ∴a≤﹣3 故选 A
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2

点评: 本题主要考查二次函数的单调性,解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向, 这是研究二次函数单调性和最值的关键. 8. (5 分)函数 A.(﹣∞,1) (1,+∞) 的值域是() B.(﹣∞,1)∪(1,+∞) C. (0,1) D.

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 通过指数函数的值域,求出函数的分母的范围,然后求出函数的值域. 解答: 解:因为 3 >0,所以 3 +1>1, 所以 .
x x

故选 C. 点评: 本题考查指数函数的值域的求法,考查基本知识的灵活运用. 9. (5 分)若函数 f(x)=logax 在区间[a,3a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为() A. B. C. 0 或 D. 或

考点: 对数函数的值域与最值. 专题: 计算题. 分析: 讨论 a 与 1 的大小,从而得到函数的单调性,根据在区间[a,3a]上的最大值是最小 值的 3 倍建立等式关系,解之即可求出 a 的值. 解答: 解:当 a>1 时,函数 f(x)=logax 在区间[a,3a]上是单调递增函数 ∴ 解得 a=

当 0<a<1 时,函数 f(x)=logax 在区间[a,3a]上是单调递减函数 ∴ 解得 a=

∴a=



故选 D. 点评: 本题主要考查了对数函数的值域与最值,以及函数的单调性,属于中档题. 10. (5 分)函数 y=x ﹣2x+3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是() A.[1,∞) B.[0,2] C.(﹣∞,2] D.[1,2] 考点: 函数的图象;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题.
2

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分析: 根据抛物线的图象及性质我们可知函数最小值为 2, 然后利用抛物线图象关于对称 轴对称的性质判定即可. 解答: 解:由题意可知抛物线的对称轴为 x=1,开口向上 ∴0 在对称轴的左侧 ∵对称轴的左侧图象为单调递减 ∴在对称轴左侧 x=0 时有最大值 3 ∵[0,m]上有最大值 3,最小值 2,当 x=1 时,y=2 ∴m 的取值范围必须大于或等于 1 ∵抛物线的图象关于 x=1 对称 ∴m 必须≤2 故选 D. 点评: 本题考查了抛物线的图象和性质,做题时一定要记清抛物线的性质和图象. 11. (5 分)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2
﹣x+1

在同一直角坐标系下的图象大致是()

A.

B.

C. 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 数形结合.

D.

分析: 根据函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2 解析式,分析他们与同底的指数函数、 对数函数的图象之间的关系, (即如何变换得到) ,分析其经过的特殊点,即可用排除法得到 答案. 解答: 解:∵f(x)=1+log2x 的图象是由 y=log2x 的图象上移 1 而得, ∴其图象必过点(1,1) . 故排除 A、B, 又∵g(x)=2 =2 的图象是由 y=2 的图象右移 1 而得 故其图象也必过(1,1)点,及(0,2)点, 故排除 D 故选 C 点评: 本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题,属于容易题. 12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,若 f(log2x) >f(1) ,则 x 的取值范围是() A.(2,+∞) +∞)
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﹣x+1 ﹣(x﹣1) ﹣x

﹣x+1

B.( ,2)

C.(0, )∪(2,+∞) D. (0, 1) ∪ (2,

考点: 对数函数的单调性与特殊点;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意根据 f(log2x)>f(1) ,则 log2x>1 ①,或 log2x<﹣1 ②.分别求得①、 ②的解集,再取并集,即得所求. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数, 若 f(log2x)>f(1) ,则 log2x>1 ①,或 log2x<﹣1 ②. 解①求得 x>2,解②求得 0<x< , 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用, 解对数不等式, 体现了转化的数学思 想,属于基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上. 13. (4 分)已知函数 f(x)= ,则 f[f( )]的值是 .

考点: 对数的运算性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先计算 解答: 解: =
﹣1

=

,即可得出. =﹣1,

∴f[f( )]=f(﹣1)=3 = . 故答案为: . 点评: 本题考查了分段函数的定义、对数与指数的运算法则,属于基础题. 14. (4 分)函数 f(x)=loga(x﹣2)+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是 (3,1) . 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数函对数 y=logax 的图象恒过(1,0)及函数的图象的平移即可求解. 解答: 解:由于对数函对数 y=logax 的图象恒过(1,0) , 而 y=1+loga(x﹣2)的图象可由数函数 y=logax 的图象向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个 单位, ∴y=1+loga(x﹣2)的图象经过定点(3,1) , 故答案为: (3,1) . 点评: 本题主要考查了对数函数的图象的性质及函数的图象的平移的简单应用, 属于基础 试题
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15. (4 分)设奇函数 f(x)的定义域为[﹣5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则 不等式 f(x)≤0 的解集为[﹣2,0]∪[2,5].

考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数关于原点对称的性质即可得到结论. 解答: 解:由图象可知:当 x>0 时,f(x)≤0 解得 2≤x≤5,f(x)≥0 解得 0≤x≤2; 当 x<0 时,﹣x>0, 因为 f(x)为奇函数, 所以 f(x)≤0, 即﹣f(﹣x)≤0?f(﹣x)≥0?0≤﹣x≤2, 解得﹣2≤x≤0. 综上,不等式 f(x)≤0 的解集为{x|﹣2≤x≤0,或 2≤x≤5}. 故答案为:[﹣2,0]∪[2,5]. 点评: 本题主要考查不等式的求解,根据奇函数的对称性是解决本题的关键. 16. (4 分)若函数 f(x)同时满足:①对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(﹣x)=0; ②对于定义域上的任意 x1,x2,当 x1≠x2 时,恒有 f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中: (1)f(x)= (2)f(x)=x (3)f(x)=
2

,则称函数

(4)f(x)=



能被称为“理想函数”的有(4) (填相应的序号) . 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 证明题;新定义. 分析: 先理解已知两条性质反映的函数性质,①f(x)为奇函数,②f(x)为定义域上 的单调减函数,由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可
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解答: 解:依题意,性质①反映函数 f(x)为定义域上的奇函数,性质②反映函数 f(x) 为定义域上的单调减函数, (1)f(x)= 为定义域上的奇函数,但不是定义域上的单调减函数,其单调区间为(﹣∞,

0) , (0,+∞) ,故排除(1) ; 2 (2)f(x)=x 为定义域上的偶函数,排除(2) ; (3)f(x)= =1﹣ ,定义域为 R,由于 y=2 +1 在 R 上为增函数,故函数 f(x)
x

为 R 上的增函数,排除(3) ; (4)f(x)= 故(4)为理想函数 故答案为 (4) 的图象如图:显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,

点评: 本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质, 对新定义函数的理解能力, 奇函数的 定义,函数单调性的定义,基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法,复合函数及分段 函数的单调性和奇偶性的判断方法 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)计算下列各式 (1) (x>0,y>0) (结果用指数表示)

(2)log84+log26﹣log23+log36?log69﹣lg100+



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则、对数的换底公式即可得出.

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解答: 解: (1)原式=

=

=

. (x>0,y>0) .

(2)原式= =

+

﹣2+

=2. 点评: 本题考查了指数幂与对数的运算法则、对数的换底公式,属于基础题. 18. (12 分)已知集合 A={x|a﹣1≤x≤2a+3},B={x|﹣2≤x≤4},全集 U=R (Ⅰ)当 a=2 时,求 A∪B 和(?RA)∩B; (Ⅱ)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (Ⅰ)把 a=2 代入 A 确定出 A,求出 A∪B 和(?RA)∩B 即可; (Ⅱ)由 A 与 B 的交集为 A,得到 A 为 B 的子集,分 A 为空集与 A 不为空集两种情况求 出 a 的范围即可. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=2 时,A={x|1<x<5}, 则 A∪B={x|﹣2<x<5},?RA={x|x≤﹣1 或 x≥5}, (?RA)∩B={x|﹣2≤x<﹣1}; (Ⅱ)∵A∩B=A,∴A?B, ①若 A=?,则 a﹣1≥2a+3,解得 a≤﹣4;

②若 A≠?,由 A?B,得到



解得:﹣1≤a≤ , 综上:a 的取值范围是(﹣∞,﹣4]∪[﹣1, ]. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19. (12 分)已知函数



(1)用函数单调性定义证明:f(x)在(﹣1,+∞)是增函数; (2)试求 在区间[1,2]上的最大值与最小值.

考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用.
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分析: (1)任取 x1,x2∈(﹣1,+∞) ,且 x1<x2,讨论 f(x1)﹣f(x2)的符号,进而 根据函数单调性的定义可得答案. (2)令 t=2 ,则 t∈[2,4],根据(1)的定义,分析出函数 进而可得函数的最值. 解答: 解: (1)任取 x1,x2∈(﹣1,+∞) ,且 x1<x2, 则
x

在[2,4]的单调性,

∵x1,x2∈(﹣1,+∞) ,且 x1<x2, ∴x1+1>0,x2+1>0,x1﹣x2<0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2) ∴f(x)为(﹣1,+∞)上的增函数. x (2)令 t=2 ,则 t∈[2,4], 由(1)可知 则 . 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质, 函数单调性的证明与应用, 其中熟练掌握 定义法证明函数单调性的方法和步骤是解答的关键. 20. (12 分)已知函数 f(x)=loga(1+x)﹣loga(1﹣x) (a>0,a≠1) . (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (Ⅲ)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 考点: 函数单调性的性质;函数的定义域及其求法;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由 ,求得 x 的范围,可得函数的定义域. , 在[2,4]上为增函数,

(Ⅱ)根据函数的定义域关于原点对称,且 f(﹣x)=﹣f(x) ,可得 f(x)为奇函数. (Ⅲ)由 f(x)>0,可得 loga(1+x)>loga(1﹣x) ,分当 0<a<1 和 a>1 时两种情况, 分别利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集. 解答: 解: (Ⅰ)由函数的解析式可得 ,解不等式组求得﹣1<x<1,故函数

的定义域为(﹣1,1) . (Ⅱ)∵函数的定义域关于原点对称,且 f(﹣x)=loga(1﹣x)﹣loga(1+x)=﹣f(x) , ∴f(x)为奇函数.
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(Ⅲ)∵f(x)>0,∴loga(1+x)>loga(1﹣x) , 当 0<a<1 时,由﹣1<1+x<1﹣x<1,求得﹣1<x<0,故不等式的解集为(﹣1,0) ; 当 a>1 时,由 1>1+x>1﹣x>﹣1,求得 0<x<1,故不等式的解集为( 0,1) . 点评: 本题主要考查求函数的定义域, 函数的奇偶性的判断, 解对数不等式, 属于中档题. 21. (12 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收 益与投资额成正比, 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) .

(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收 益,其最大收益为多少万元? 考点: 函数模型的选择与应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题. 分析: (1)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的 收益与投资额的算术平方根成正比, 结合函数图象, 我们可以利用待定系数法来求两种产品 的收益与投资的函数关系; (2)由(1)的结论,我们设设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 20﹣x 万元.这时 可以构造出一个关于收益 y 的函数,然后利用求函数最大值的方法进行求解. 解答: 解: (1)f(x)=k1x, , (x≥0) (2)设:投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 20﹣x 万元. (0≤x≤20) , , (x≥0) ,



,则

=

=

所以当 t=2,即 x=16 万元时,收益最大,ymax=3 万元. 点评: 函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注 意实际情况对自变量 x 取值范围的限制, 解模时也要实际问题实际考虑. 将实际的最大 (小) 化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一. 22. (14 分)设 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|+2x.
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(1)若 a=2,求函数 f(x)在区间[0,3]上的最大值; (2)若 a>2,写出函数 f(x)的单调区间(不必证明) ; (3)若存在 a∈[3,6],使得关于 x 的方程 f(x)=t+2a 有三个不相等的实数解,求实数 t 的取值范围. 考点: 函数的最值及其几何意义;函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)根据图象可判断最大值. (2)分类讨论;①当 x≥a 时,f(x)=(x﹣
2 2





.②当 x<a 时,f(x)=﹣(x﹣

)﹣

.求解即可.

(3)求解关于 x 的方程 f(x)=t+2a 有三个不相等的实数解,根据单调性分类讨论求解. 解答: (1)当 a=2,x∈[0,3]时,f(x)=x|x﹣2|=

作函数图象, 可知函数 f(x)在区间[0,3]上是增函数. 所以 f(x)在区间[0,3]上的最大值为 f(3)=9. (2)f(x)=

①当 x≥a 时,f(x)=(x﹣ 因为 a>2,所以 .

)﹣

2



所以 f(x)在[a,+∞)上单调递增. ②当 x<a 时,f(x)=﹣(x﹣ 因为 a>2,所以 . )﹣
2



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所以 f(x)在(﹣∞,

]上单调递增,在[

,a]上单调递减. ]和[a,+∞) ,递减区间是[ ,a].

综上所述,函数 f(x)的递增区间是(﹣∞, (3)当 3≤a≤6 时,由(1)知 f(x)在(﹣∞, 在[ ,a]上是减函数,

],[a,+∞)上分别是增函数,

当且仅当 2a<t+2a<

时,方程 f(x)=t+2a 有三个不相等的实数解.

即 0<t<

令,g(a)=

在 a∈[3,6]时是增函数,

故 g(a)max=4. ∴实数 t 的取值范围是(0,4) . 点评: 本题综合考查了函数的单调性,方程的根,函数的零点问题,属于难题.

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