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2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教B版配套作业 第2章 第9讲 函数模型及其应用

时间:2015-05-05

第9讲

函数模型及其应用

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函数模型是 x y A.一次函数模型 C.指数函数模型 解析 4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27 ( )

B.幂函数模型 D.对数函数模型

根据已知数据可知,自变量每增加 1 函数值增加 2,因此函数值的增量

是均匀的,故为一次函数模型. 答案 A

2.(2015· 合肥调研)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速 度越来越快,后 3 年年产量保持不变,则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时 间 t(年)的函数关系图象正确的是 ( )

解析

前 3 年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有 A,C 图象

符合要求,而后 3 年年产量保持不变,故选 A. 答案 A

3.(2014· 北京东城期末)某企业投入 100 万元购入一套设备,该设备每年的运转费 用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元, 由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.为使该设备年平均 费用最低,该企业需要更新设备的年数为 A.10 B.11 C.13
-1-

( D.21

)

解析

设该企业需要更新设备的年数为 x,设备年平均费用为 y,则 x 年后的设

备 维 护 费 用 为 2 + 4 + ? + 2x = x(x + 1) , 所 以 x 年 的 平 均 费 用 为 y = 100+0.5x+x(x+1) 100 100 = x + + 1.5 ,由均值不等式得 y = x + x x x +1.5≥ 100 100 2 x· x +1.5=21.5,当且仅当 x= x ,即 x=10 时取等号,所以选 A. 答案 A

4.(2014· 孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快 实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时 间 T 内完成预测的运输任务 Q0, 各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如 图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 ( )

解析

由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应

逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选 B. 答案 B

5. 某电信公司推出两种手机收费方式: A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出 电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图, 当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费相差 ( A.10 元 解析 B.20 元 C.30 元 40 D. 3 元 )

设 A 种方式对应的函数解析式为 s=k1t+20,

B 种方式对应的函数解析式为 s=k2t, 1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=5, 1 t=150 时,150k2-150k1-20=150×5-20=10. 答案 A

-2-

二、填空题 6.(2014· 辽宁六校联考)A、B 两只船分别从在东西方向 上相距 145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西 行驶. B 从乙地自北向南行驶, A 的速度是 40 km h,B 的速度是 16 km 间的距离最短. 解析 设经过 x h,A,B 相距为 y km, h,经过________小时,AB

29 25 则 y= (145-40x)2+(16x)2(0≤x≤ 8 ), 求得函数的最小值时 x 的值为 8 . 答案 25 8

7.(2015· 长春模拟)一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢 慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt(cm3),经过 8 min 后发现容 器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八 分之一. 解析 1 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae-8b=2a,

1 ∴e-8b= ,容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 2 1 1 即 y=ae-bt=8a,e-bt=8=(e-8b)3=e-24b, 则 t=24,所以再经过 16 min. 答案 16

8.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内 接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为________m. 解析 设内接矩形另一边长为 y,则由相似三角形性质可

x 40-y 得40= 40 ,解得 y=40-x,所以面积 S=x(40-x)= -x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),当 x=20 时,Smax=400. 答案 20

-3-

三、解答题 9.(2014· 郑州模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总 x2 成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= 5 -48x+8 000,已知此生产线年产量最大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最 大利润?最大利润是多少? 解 y (1)每吨平均成本为x(万元).

y x 8 000 x 8 000 则x=5+ x -48≥2 5· x -48=32, x 8 000 当且仅当5= x ,即 x=200 时取等号. ∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元. (2)设年获得总利润为 R(x)万元. x2 则 R(x)=40x-y=40x- 5 +48x-8 000 x2 =- 5 +88x-8 000 1 =-5(x-220)2+1 680(0≤x≤210). ∵R(x)在[0,210]上是增函数,∴x=210 时, 1 R(x)有最大值为-5(210-220)2+1 680=1 660. ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元. 10.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企 业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没 有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润 中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费 的开支 3 600 元后, 逐步偿还转让费(不计息). 在 甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与 销售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并

-4-

求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 解 设该店月利润余额为 L 元,

则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000, -2P+50 ? ? 由销量图易得 Q=? 3 - P+40 ? ? 2 代入①式得 (-2P+50)(P-14)×100-5 600 (14≤P≤20), ? ? L=?? 3 ? ?- P+40?(P-14)×100-5 600(20<P≤26), ? ?? 2 ? (1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元; 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= 3 元,此时 P= 3 元. 故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元. (2)设可在 n 年后脱贫, 依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20. 即最早可望在 20 年后脱贫. (14≤P≤20), (20<P≤26),

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密, 有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理为: 发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为 y

1 =kx3,如“4”通过加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“256” ,则解密后得 到的明文是 1 A.2 解析 1 B.4 C.2 1 D.8 ( )

由题目可知加密密钥 y=kx3 是一个幂函数型,由已知可得,当 x=4 时,

2 1 1 1 1 1 y=2,即 2=k×43,解得 k=43=32.故 y=32x3,显然令 y=256,则256=32x3, 1 1 即 x3=8,解得 x=2.
-5-

答案

A

12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料, 如图, 为 降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩 形铁片(如图中阴影部分)备用, 当截取的矩形面积最 大时,矩形两边长 x,y 应为 A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 解析 ( )

B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

24-y x 5 由三角形相似得 = .得 x= (24-y), 4 24-8 20

5 ∴S=xy=-4(y-12)2+180, ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 答案 A

13.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此外每生产 1 件该产品 还需要增加投资 1 万元,年产量为 x(x∈N*)件.当 x≤ 20 时,年销售总收入为 (33x-x2)万元;当 x>20 时,年销售总收入为 260 万元.记该工厂生产并销售 这种产品所得的年利润为 y 万元, 则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为________, 该工厂的年产量为________件时, 所得年利润最大(年利润=年销售总收入-年 总投资). 解析 当 0<x≤20 时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当 x>20 时,

y=260-100-x=160-x.
2 ?-x +32x-100,0<x≤20, ? 故 y= (x∈N*). ?160-x,x>20

当 0<x≤20 时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16 时,ymax=156. 而当 x>20 时,160-x<140,故 x=16 时取得最大年利润. 答案
2 ?-x +32x-100,0<x≤20, y=? (x∈N*) 16 ?160-x,x>20

14.已知某物体的温度 θ(单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律:θ=m· 2t +21-t(t≥0,并且 m>0). (1)如果 m=2,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏度;

-6-

(2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围. 1? ? (1)若 m=2,则 θ=2· 2t+21-t=2?2t+2t?, ? ? 1 5 1 5 当 θ=5 时,2t+2t=2,令 2t=x≥1,则 x+x=2, 1 即 2x2-5x+2=0,解得 x=2 或 x=2(舍去), 解 此时 t=1.所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即 θ≥2 恒成立. 2 ?1 1 ? 亦 m· 2t+2t≥2 恒成立,亦即 m≥2?2t-22t?恒成立. ? ? 1 令2t=x,则 0<x≤1,∴m≥2(x-x2), 1 1 由于 x-x2≤4,∴m≥2. ?1 ? 因此,当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范围是?2,+∞?. ? ?

-7-


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