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吉林省吉林市普通中学2017届高三毕业班第二次调研测试数学(文)试题 Word版含答案

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吉林省普通中学 2016-2017 学年度高中毕业班第二次调研测 试 数学(文科)
第Ⅰ卷(选择是 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ?1 ,2 ,3 ,4? ,集合 B ? ?3 ,4 ,5 ,6? ,则集合 A ? B 真子集的个数为 ( A.1 2.已知复数 z ? A.第一象限 ) B.2 C.3 ) D.第四象限 D.4

2?i ,则复数 z 在复平面内对应的点在( 1? i

B.第二象限

C.第三象限 )

3.命题“ ?m ? ? 0 ,1? , x ? A. ?m ? ? 0 ,1? ,x ?
1 ? 2m x

1 ? 2m ”的否定形式是( x

B. ?m ? ? 0 ,1? ,x ?
1 ? 2m x

1 ? 2m x 1 ? 2m x

C. ?m ? ? ?? ,0 ? ? ? 0 , ? ? ? ,x ?

D. ?m ? ? 0 ,1? ,x ?

4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为(



A. ?10

B.6

C.14

D.18 )

5.抛物线 x 2 ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为( A.5 B.4 C. 15 D. 10

1

?x ? 0 ? 6.若 x ,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最小值是( ?2 x ? y ? 3 ?



A.0

B. ?3

C.

3 2

D.3 )

2 2 2 2 7. ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, 满足 a4 , 则该数列的前 10 项和 S10 ?( ? a5 ? a6 ? a7

A. ?10
2 2

B. ?5

C.0

D.5

8.双曲线

x y ? ? 1? a ? 0 ,b ? 0 ? 的一条渐近线与圆 x ? 3 a 2 b2
) B. 5 C. 3

?

?

2

? ? y ? 1? ? 1 相切,则此双曲
2

线的离心率为( A.2

D. 2

9.若将函数 f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向右平移 ? 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则? 的 最小正值是( A. ) B.

?
8

?
4

C.

3? 8

D.

3? 4

10.某几何体的三视图如下图,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球面的表面积 为( )

A. 4?

B.

28? 3

C.

44? 3

D. 20?

??? ? ??? ? ??? ? 11.在等腰直角 △ ABC 中, AC ? BC , D 在 AB 边上且满足: CD ? tCA ? ?1 ? t ? CB ,若
?ACD ? 60? ,则 t 的值为(

) C.
3? 2 2

A.

3 ?1 2

B. 3 ? 1

D.

3 ?1 2
x f '? x? ? 0 , 3

12.设函数 f ' ? x ? 是奇函数 f ? x ?? x ? R ? 的导函数,f ? ?2 ? ? 0 , 当 x ? 0 时,f ? x ? ? 则使得 f ? x ? ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. ? ?? , ? 2 ? ? ? 0 ,2 ?
2

) B. ? ?2 ,0 ? ? ? 2 , ? ? ?

C. ? ?? , ? 2 ? ? ? ?2 ,2 ?

D. ? 0 ,2 ? ? ? 2 , ? ? ?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
?21? x ,x ? 1 ? f x ? 13.设函数 ? ? ? ,则 f ? ? f ? ?1? ? ?? ? ?1 ? log 2 x ,x ? 1


? ? ? ? ? ? ? 14.已知 a ? 2 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 45? ,且 ? b ? a 与 a 垂直,则实数 ? ?



15.给出下列命题: ①若函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ,则函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称; ②点 ? 2 ,1? 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点为 ? 0 ,3? ;
? ?a ? 可以估计和观测变量的取值和变化趋势; ③通过回归方程 ? y ? bx

④正弦函数是奇函数, f ? x ? ? sin x 2 ? 1 是正弦函数,所以 f ? x ? ? sin x 2 ? 1 是奇函数,上 述推理错误的原因是大前提不正确. 其中真命题的序号是 .
n n

?

?

?

?

16.设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若 2an ? ? ?1? ? an ? 2n ? ? ?1? ? 2n n ? N * ,则
S10 ?

?

?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
?? ? 17.已知函数 f ? x ? ? M sin ?? x ? ? ? ? M ? 0 , ? ? ? 的部分图象如图所示. 2? ?

(1)求函数 f ? x ? 的解+析式;
? A? (2) 在 △ ABC 中, 角 A ,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c , 若 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C , 求f? ? ?2?

的取值范围. 18.已知 ?an ? 是公比不等于 1 的等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a3 ? 3 , S3 ? 9 .
3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 2
3 a2 n ? 3

,若 cn ?

4 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . bn bn ?1

19.某车间 20 名工人年龄数据如下表: 年龄(岁) 工人数(人) 19 1 24 3 26 3 30 5 34 4 35 3 40 1 合计 20

(1)求这 20 名工人年龄的众数与平均数; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3)从年龄在 24 和 26 的工人中随机抽取 2 人,求这 2 人均是 24 岁的概率. 20.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,E ,F 分别为 PC ,BD 的中点,平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 PA ? PD ?
2 AD . 2

(1)求证: EF ∥ 平面 PAD ; (2)求三棱锥 C ? PBD 的体积. 21.已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 离心率为 ,左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,左顶点为 A , 2 a b 2

AF1 ? 2 ? 1 .

(1)求椭圆的方程;
????? ???? ? (2)若直线 l 经过 F2 与椭圆交于 M ,N 两点,求 F1 M ? F1 N 的取值范围.

22.设函数 f ? x ? ? ? x ? b ? ln x , 已知曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1 ,f ?1? ? 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂 直. (1)求 b 的值;

? f ? x? ? ? a ? ? a ? 0? , (2) 若函数 g ? x ? ? e x ? 且 g ? x ? 在区间 ? 0 , ? ? ? 上是单调函数, 求实数 a ? x ?1 ?
的取值范围.
4

吉林省普通中学 2016-2017 学年度高中毕业班第二次调研测试 数学(文科)参考答案与评分标准 一、选择题
1-5:CDDBA 6-10:BCACB 11、12:AB

二、填空题
13. ?1 14. 2 15.②③ 16.
2728 3

三、解答题
17.解: (1)由图象知 A ? 1 , T ? 4(
5? ? ? ) ? ? ,? ? 2 , 12 6

? ? ? ?? ? 将点 ( ,1) 代入解+析式得 sin ? ? ? ? ? 1 ,因为 ? ? ,所以 ? ? , 6 2 6 ?3 ? ?? ? 所以 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? . 6? ?
(2)由 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C 得: ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C , 所以 2sin A cos B ? sin ? B ? C ? , 2sin A cos B ? sin A , 因为 A ? ? 0 ,? ? ,所以 sin A ? 0 ,所以 cos B ?

1 ? 2? ,B ? , A?C ? , 2 3 3

?? ? ? ?1 2? ? ? 5? ? A? ? ? ? , ? A? ? ,所以 sin ? A ? ? ? ? , f ? ? ? sin ? A ? ? , 0 ? A ? 1? , 6? 6? ?2 3 6 6 6 ?2? ? ? ? ? A? ?1 ? 所以 f ? ? ? ? , 1? . ? 2? ?2 ?
18.解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ,

?a1q 2 ? 3 2 ? ? 1 ?a1q ? 3 ,所以 ? ,解得 a1 ? 12 , q ? ? . q ? 1 , ? a1 ?1 ? q 3 ? 2 2 ?9 ? ? ?a1 ?1 ? q ? q ? ? 9 ? 1? q
? 1? an ? 12 ? ? ? ? ? 2?
n ?1

(2) a2 n ? 3
cn ?

? 1? ? 12 ? ? ? ? ? 2?

2n? 2

3 ?1? ? 3 ? ? ? , bn ? log 2 ? log 2 22 n ? 2n , a2 n ? 3 ?2?

2n

4 1 1 1 , ? ? ? bn bn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 ? 1 n ? 1? ?1 1? ?1 . c1 ? c2 ? c3 ? … ? cn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? 1? n ?1 n ?1 ? 2? ? 2 3? ? n n ?1?

19.解: (1)由题意可知,这 20 名工人年龄的众数是 30,
5

这 20 名工人年龄的平均数为:
x? 1 ?19 ? 3 ? 28 ? 3 ? 29 ? 5 ? 30 ? 4 ? 31 ? 3 ? 32 ? 40 ? ? 30 . 20

(2)这 20 名工人年龄的茎叶图如图所示:

(3)记年龄为 24 岁的三个人为 A1 ,A2 ,A3 ;年龄为 26 岁的三个人为 B1 ,B2 ,B3 ,则从 这 6 人中随机抽取 2 人的所有可能为:

? A1 ,A2 ? ,? A1 ,A3 ? ,? A2

,A3 ? ,? A1 ,B1? ,? A1 ,B2 ? ,

? A1 ,B3 ? ,? A2

,B1? ,? A2 ,B2 ? ,? A2 ,B3 ? ,? A3 ,B1? , ,B3 ? 共 15 种.

? A3 ,B2 ? ,? A3 ,B3 ? ,?B1 ,B2 ? ,?B1 ,B3 ? ,?B2

满足题意的有 ? A1 ,A2 ? ,? A1 ,A3 ? ,? A2 ,A3 ? 3 种, 故所求的概率为 P ?
3 1 ? . 15 5

20.(1)证明:连接 AC ,则 F 是 AC 的中点, E 为 PC 的中点, 故在 △CPA 中, EF ∥ PA , 且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD , ∴ EF ∥ 平面 PAD . (2)取 AD 的中点 M ,连接 PM , ∵ PA ? PD , ∴ PM ? AD , 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , ∴ PM ? 平面 ABCD ,
1 1 1 1 2 ∴ VC ? PBD ? VP ? BCD ? S△ BCD ? PM ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? . 3 3 2 2 3

21.解: (1)设 F1 ? ?c ,0 ? , F2 ? c ,0 ? ,

6

?c 2 ? ? ? ?a ? 2 ∴ ?a ,? . 2 ?c ? 1 ?a ? c ? 2 ? 1 ? ?
∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,∴

x2 ? y2 ? 1 . 2

(2)当直线 l 斜率存在时,设 M ? x1 ,y1 ? , N ? x2 ,y2 ? ,直线 l 为: y ? k ? x ? 1? ,代入

x2 ? y2 ? 1 , 2
得:

x2 2 ? k 2 ? x ? 1? ? 1 ,整理得: ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,由题意 ? ? 0 . 2

4k 2 2k 2 ? 2 x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ????? ???? ? 所以 F1 M ? F2 N ? ? x1 ? 1 ,y1 ? ? ? x2 ? 1 ,y2 ? ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?
所以 x1 ? x2 ?

? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? ?1 ? k 2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? k 2 ? ?1 ? k 2 ?
7 9 9 2k 2 ? 1? ? 7k 2 ? 1 2 ? 7 2? ? 2 , ? 2 ? 2k ? 1 2k 2 ? 1 2 2k 2 ? 1 ????? ???? ? ? 7? 因为 1 ? 2k 2 ? 1 ,所以 F1 M ? F2 N ? ? ?1 , ? . 2? ?

2k 2 ? 2 4k 2 2 ? 1 ? k ?1? k2 ? ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

?x ? 1 ? ? 2? 2? 2 ? 1, 1 ,? 当直线 l 斜率不存在时: ? x 2 ,y?? ,∴ M ? ,N? ? ?, 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? y ?1 ? ? ? ?2

????? ???? ? ? 2? ? 2? 7 2 , ? 2 , ? 所以 F1 M ? F2 N ? ? ? ? ?? , ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2
????? ???? ? ? 7? 综上: F1 M ? F2 N ? ? ?1 , ? . 2? ?

22.解: (1)曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1 ,f ?1? ? 处的切线斜率为 2,所以 f ' ?1? ? 2 , 又 f ' ? x ? ? ln x ?
b ? 1 ,即 ln1 ? b ? 1 ? 2 ,所以 b ? 1 . x

? f ? x? ? ? a ? ? e x ln x ? ae x , (2)由(1)知, g ? x ? ? e x ? ? x ?1 ?
?1 ? 所以 g ' ? x ? ? ? ? a ? ln x ? e x ? x ? 0 ? , ?x ?

若 g ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上为单调递减函数,则 g ' ? x ? ? 0 在 ? 0 , ? ? ? 上恒成立,

7



1 1 ? a ? ln x ? 0 ,所以 a ? ? ln x , x x 1 1 1 x ?1 ? ln x ? x ? 0 ? ,则 h ' ? x ? ? ? 2 ? ? 2 , x x x x

令 h ? x? ?

由 h ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 , h ' ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , 故函数 h ? x ? 在 ? 0 ,1? 上是减函数,在 ?1 ,+? ? 上是增函数, 则
1 ? ln x→? , h ? x ? 无最大值, g ' ? x ? ? 0 在 ? 0 , ? ? ? 上不恒成立, x

故 g ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 不可能是单调减函数, 若 g ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上为单调递增函数,则 g ' ? x ? ? 0 在 ? 0 , ? ? ? 上恒成立, 即
1 1 1 ? a ? ln x ? 0 ,所以 a ? ? ln x ,由前面推理知, h ? x ? ? ? ln x 的最小值为 1, x x x

∴ a ? 1 ,故 a 的取值范围是 ? ?? ,1? .

8

9

10

11

12

13

14

15

吉林市普通中学 2016—2017 学年度高中毕业班第二次调研测试 数 学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求。 1 C 2 D 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 A 9 C 10 B 11 A 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. -1 ; 14.

2 ;

15. ② ③ ;

16.

2728 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (1)由图象知 A=1, T ? 4(
将点 (

5? ? ? ) ? ? ,? ? 2 12 6

--------------------------------------------3 分

?
6

,1) 代入解+析式得 sin(

?
3

? ? ) ? 1, 因为 | ? |?

?
2

,所以 ? ?

?
6

所以 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

)

--------------------------------------------------------------------------5 分

(2)由 (2a ? c )cos B

? b cos C 得: (2sin A ? sin C )cos B ? sin B cos C

所以 2sin A cos B ? sin( B ? C ), 2sin A cos B ? sin A 因为 A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? 0 ,所以 cos B ?

1 ? 2? -------------------------------8 分 ,B ? , A?C ? 2 3 3

A ? 2? ? ? 5? ? 1 ,所以 sin( A ? ) ? ( ,1] f ( ) ? sin( A ? ),0 ? A ? , ? A? ? 2 6 3 6 6 6 6 2
所以 f (

A 1 ) ? ( ,1] 2 2

------------------------------------------------------------------------10 分

18. (本小题满分 12 分)
16

? a1q 2 ? 3 ? 解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q, q ? 1 , ? a1 (1 ? q 3 ) ?9 ? ? 1? q
2 ? ? a1q ? 3 以? , 2 ? ? a1 (1 ? q ? q ) ? 9

------------------------------------------------3 分

解得 a1 ? 12, q ? ?

1 2

1 an ? 12 ? ( ? )n?1 2

-------------------------------------------5 分

(Ⅱ) a2 n ? 3 ? 12 ? ( ? )2 n ? 2 ? 3 ? ( )2 n , bn ? log 2

1 2

1 2

3 a2 n ? 3

? log 2 22 n ? 2n

------8 分

cn ?

4 1 1 1 ? ? ? bn bn?1 n( n ? 1) n n ? 1

-------------------------------------------------------10 分

1 1 1 1 1 1 n c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 n n?1 n?1 n?1
19. (本小题满分 12 分) 解 (Ⅰ) 由题意可知,这 20 名工人年龄的众数是 30, 这 20 名工人年龄的平均数为 1

-----12 分

--------------------------------2 分

x =20(19+3×28+3×29+5×30+4×31+3×32+40)=30,------------------------------4 分
(Ⅱ) 这 20 名工人年龄的茎叶图如图所示:

------------------------------------------7 分

(Ⅲ) 记年龄为 24 岁的三个人为 A1,A2,A3;年龄为 26 岁的三个人为 B1,B2,B3 则从这 6 人中随机抽取 2 人的所有可能为 {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2}, {A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B,3},{A3,B1}, {A3,B2},{A,3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3}共 15 种。 满足题意的有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}3 种, 故所求的概率为 P= ---------------------- 9 分

------------------------------------- 11 分

3 1 ? 15 5

-----------------------------------------------------------12 分

17

20. (本小题满分 12 分)

--------------------------------------------3 分

--------------------------------------------6 分

--------------------------------------------8 分

-------------------------------------------10 分

1 1 1 2 ? ?2?2? ?2 ? 3 2 2 3
--------------------------------------------12 分

18

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 设 F1 ( ? c , 0), F2 ( c , 0)

?c 2 ?a ? 2 ? ? ? ?? a ,? 2 ?c ? 1 ?a ? c ? 2 ? 1 ? ?

-----------------------------------------------------------------2 分

? b2 ? a 2 ? c 2 ? 1,?
(Ⅱ)

x2 ? y2 ? 1 2

-------------------------------------------------------------4 分

当直线 l 斜率存在时:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,直线 l 为: y ? k ( x -1) ,代入 得:

x2 ? y2 ? 1 2

x2 ? k 2 ( x -1) 2 ? 1, 整理得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,由题意 ? ? 0 2

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? , --------------------------------------7 分 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ????? ???? ? 所以 F1 M ?F2 N ? ( x1 ? 1, y1 )?( x2 ? 1, y2 ) ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
所以 x1 ? x2 ?

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ? (1 ? k 2 )
7 9 9 (2k 2 ? 1) ? 7k 2 ? 1 2 7 2? ? 2 ? 2 ? 2k ? 1 2k 2 ? 1 2 2k 2 ? 1

2k 2 ? 2 4k 2 2 ? (1 ? k ) ?1? k2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

-----------------------------------------9 分

????? ???? ? 7 因为 1 ? 2k 2 ? 1 ,所以 F1 M ?F2 N ? [ ?1, ) ------------------------------------------------------10 分 2

?x ? 1 2 2 2 ? ,y?? ,? M (1, ), N (1, ? ) 当直线 l 斜率不存在时: ? x 2 2 2 2 2 ? y ?1 ? ?2
????? ???? ? 2 2 7 所以 F1 M ?F2 N ? (2, )?(2, ? )? 2 2 2 ????? ???? ? 7 综上: F1 M ?F2 N ? [ ?1, ] 2

------------------------------------------------------11 分 ----------------------------------------12 分

19

22. (本小题满分 12 分) 解 (1)由题意知,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2,所以 f′(1)=2, -------2 分 又 f′(x)=ln x+

b +1,即 ln 1+b+1=2,所以 b=1. x

---------------------------------4 分

(2) 由(1)知 g(x)= e x (

f ( x) ? a ) = exln x-aex x ?1
(x>0), ----------------------------------------------------6 分

1 所以 g′(x)=(x -a+ln x)ex

若 g(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,则 g′(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立, 1 1 即 x -a+ln x≤0,所以 a≥x +ln x. 1 令 h(x)=x +ln x(x>0), -----------------------------------------------------8 分

1 1 x-1 则 h′(x)=-x2+x = x2

由 h′(x)>0,得 x>1,h′(x)<0,得 0<x<1, 故函数 h(x)在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数, 1 则 x +ln x→∞,h(x)无最大值, g′(x)≤0 在(0,+∞)上不恒成立, 故 g(x)在(0,+∞)不可能是单调减函数. ------------------------------------------------------10 分

若 g(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,则 g′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, 1 1 1 即 x -a+ln x≥0,所以 a≤x +ln x,由前面推理知,h(x)=x +ln x 的最小值为 1, ∴a≤1,故 a 的取值范围是(-∞,1]. -------------------------------------------------------12 分

20


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