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上海市各地区2010年高考数学最新联考试题分类大汇编(2)函数

时间:2012-03-16


上海市各 年高考数学最新联考试题分类大 上海市各地区 2010 年高考数学最新联考试题分类大汇编 部分:函数 第 2 部分 函数
一、选择题: 选择题: 17. 上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科) 月高考模拟考试理科) 若函数 f ( x)( x ∈ R ) 为奇函数, 且存在反函数 f ?1 ( x) ( (与 f ( x) 不同) F ( x) = ,

2 f ( x) ? 2 f 2 f ( x) + 2 f

?1 ?1

( x) ( x)

,则下列关于函数 F ( x) 的奇偶性的说 法中正确的是( A ) . B. F ( x) 是偶函数非奇函数 D. F ( x) 既非奇函数又非偶函数

A. F ( x) 是奇函数非偶函数 C. F ( x) 既是奇函数又是偶函数

18、 上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研文科) ( 2010 月高三质量调研文 如图,函数 y = f (x ) 的图像是中心在原点,焦点在 x 轴 上的椭圆的两段弧,则不等式 f ( x ) < f ( ? x ) + x 的解集 ----------------( ) 为

(A) ? x | ?2 ≤ x < ? )

? ?

? 2 2 ,或 < x ≤ 2? 2 2 ?

{ } (C) {x | ? 2 < x < 0,或 2 < x ≤ 2 } ) (D) {x | ? 2 < x < 2 ,且x ≠ 0 } )
(B) x | ?2 ≤ x < ? 2 ,或 2 < x ≤ 2 ) 18. 上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科)在直角坐标平面内,点 A(5, 0) 对于某个正实数 k,总存 ( 月高考模拟理科) 在 函 数 y = ax 2 ( a > 0) , 使 ∠QOA = 2∠POA , 这 里 P (1, f (1)) 、 Q ( k , f ( k )) , 则 k 的 取 值 范 围 是………………( A ) A. ( 2 , + ∞) . B. (3 , + ∞) . C. [ 4 , + ∞ ) . D. [8 , + ∞) .

18、 上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟理科 ( 年高三第二次模拟理科)如果函数 f ( x) =| lg | 2 x ? 1 || 在定义域的某个子区间 (k ? 1, k + 1) 上不存在反函数,则 k 的取值范围是 ( D )

1 A.[? ,2) 2

3 B.(1, ] 2

C.[?1,2)

1 3 D.(?1,? ] ∪ [ ,2) 2 2 x 2 + 1 在同一坐

18、 上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟文科)函数 y = m | x | 与 y = ( 高三第二次模拟文科 标系的图像有公共点的充要条件是( D )学科 A、 m >

2

B、 m ≥

2

C、 m ≥ 1

D、 m > 1 学科网

18. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科)若函数 f ( x ) = x 3 ? ax ( a > 0 )的零点都在区间 年高三第二次模拟考试理科) [-10,10] 上 , 则 使 得 方 程 f ( x ) = 1000 有 正 整 数 解 的 实 数 a 的 取 值 个 数 为 ( C ) A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.
1

18.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)若函数 f ( x) = ( k ? 1) a ? a (上海市松江区 2010 月高考模拟理科)
x

?x

(a > 0, a ≠ 1) 在 R 上既是奇

函数,又是减函数,则 g ( x ) = log a ( x + k ) 的图像是( A )

16. 上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科)下列函数中,与函数 y = ( 月高三第二次模拟理科) --------------------------------------( A . f ( x ) = log 2 x A )

1 有相同定义域的是 x

B. f ( x ) =

1 x

C. f ( x ) =| x |

D. f ( x ) = 2 x

18. 上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科)如图,在直角坐标平面内有一个边长为 a 、中心 在原点 高考预测理科 理科) (上海市浦东新区 y L O的 N 正六边形 ABCDEF , AB // Ox . 直线 L : y = kx + t (k为常数) E D 与正六边形交于 M、N 两点,记 ?OMN 的面积为 S ,则函数 S = f (t ) 的奇偶性为 ( A ) F A.偶函数 B.奇函数 O C x C.不是奇函数,也不是偶函数 D.奇偶性与 k 有关 M 二、填空题: 填空题: A B

4. 上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科 ) 若函数 f ( x) = log 2 x ,则方程 f ?1 ( x) = 21? 2 x 的解 ( 月高考模拟考试理科) 1 x= . 3 4 . 上 海 市 卢 湾 区 2010 年 4 月 高 考 模 拟 考 试 文 科 ) 若 函数 f ( x) = 2 x , 则 方程 f (3 x) = 21? 2 x 的 解 ( 1 x= . 5 3、 上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科)函数 y = log a ( x ? 1) + 2 (a > 0, a ≠ 1) 的图像恒过一 2010 月高三质量调研理科) ( 定点是_____。 (2,2) 年高三第二次模拟理科)若函数 f ( x ) = a x ( a > 0, a ≠ 1) 的反函数的图像过点 2、 上海市长宁 区 2010 年高三第二次模拟理科 (

(2,?1) ,则 a = _______

1 2

14. 上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科) ( 月高考模拟考试理科) 若不等式 x 2 + 2 2 xy ≤ a( x 2 + y 2 ) 对于一切正数 x 、y 恒成立,则实数 a 的最小值为 2 .

12、 上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科)不等式 | x |≥ a ( x + 1) 对任意的实数 x 都成立,则实数 ( 2010 月高三质量调研理科)

a 的取值范围是______。 [- 1,0]
3、 上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研文科)函数 y = log a ( x ? 1) + 2 (a > 0, a ≠ 1) 的图像恒过一 ( 2010 月高三质量调研文 定点是_________。 (2,2)
2

11、 上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科)P 是函数 y = x + ( 2010 月高三质量调研理科) 轴的距离与 P 到 y = x 的距离之积是________。

1 上的图像上任意一点,则 P 到 y x

2 2

4. 上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科) . ( 月高考模拟理科) 幂函数 y = f ( x) 的图像过点 A(4, , 2) 则函数 y = f ( x) 的 反函数 f ?1 ( x) = (要求写明定义域) y = .

x 2 ( x  0)

14. 上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科)已知函数 y = f (x) 的定义域和值域都是 [ ?1 , 1] (其图 . ( 月高考模拟理科) 像 如 下 图 所 示 ), 函 数 g ( x) = sin x, x ∈ [ ?π , π ] . 定 义 : 当 f ( x1 ) = 0( x1 ∈ [ ?1,1]) 且

g ( x 2 ) = x1 ( x 2 ∈ [?π , π ])
时 , 称 x 2 是 方 程 f ( g ( x)) = 0 的 一 个 实 数 根 . 则 方 程 f ( g ( x)) = 0 的 所 有 不 同 实 数 根 的 个 数 是

.8

[来源:学科网 ZXXK]

5、 上海市长宁区 2010 年高 (

三 第 二 次 模 拟 理 科 ) 函 数

x ?1 2 图像的顶点是 (b, c) ,且 a, b, c, d 成等比数列,则 ad = _______ 14 ? x x+3 13、 上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟理科 年高三第二次模拟理科)根据统计资料,在 A 小镇当某件讯息发布后, t 小时之 ( 内听到该讯息的人口是全镇人 口的 100(1 ? 2 ? kt ) ﹪,其中 k 是某个大于 0 的常数,今有某讯息,假设 在发布后 3 小时之内已经 有 70﹪的人口听到该讯息。又设最快要 T 小时后,有 99﹪的人口已听到该讯 息,则 T = ___________ 小时。 (保留一位小数)11.5 f ( x) =

? 2 ? x ? 1( x ≤ 0), 14、 上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟文科) 2010 高三第二次模拟文科 已知函数 f ( x) = ? 若方程 f ( x ) = x + a ( ? f ( x ? 1)( x > 0). 有且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 _________ (?∞,1)
2. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科)设函数 f ( x ) 的图像关于原点对称,且存在反函数 年高三第二次模拟考试理科)

f ?1 ( x) . 若已知 f (4) = 2 ,则 f ?1 (?2) =

. -4

3. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科)函数 y = 年高三第二次模拟考试理科 模拟考试理科)

log 1 ( 3 x ? 2 ) 的定义域是
3

.

?2 ? ? ,1? ?3 ?
3

2.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)方程 lg x + lg( x + 3) =1 的解是 x = (上海市松江区 2010 月高考模拟理科) 3.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)设函数 f ( x) = ? (上海市松江区 2010 月高考模拟理科)

▲ .2

? x 2 + 1 ( x ≥ 0) ?1 ,那么 f (10) = 2 x ( x < 0) ?

▲ .3

12.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均 (上海市松江区 2010 月高考模拟理科) 消耗费用=年均成本费+年均维修费) .设某种汽车的购车的总费用为 50000 元;使用中每年的保险费、养 路费及汽油费合计为 6000 元;前 x 年的总维修费 y 满足 y = ax 2 + bx ,已知第一年的维修费为 1000 元, 前二年总维修费为 3000 元.则这种汽车的最佳使用年限为 ▲ .10 13.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)设函数 F ( x ) 和 f ( x ) 都在区间 D 上有定义,若对 D 的任意 月高考模拟理科) (上海市松江区 2010

F (u ) ? F (v) ≤ f (q ) 成立,则称 F ( x) 是 u?v f ( x) 在区间 D 上的甲函数, f ( x) 是 F ( x) 在区间 D 上的乙函数.已知 F ( x) = x 2 ? 3 x, x ∈ R ,那么 F ( x) 的乙函数 f ( x ) = ▲ . 2 x ? 3
子区间 [u , v ] ,总有 [u , v ] 上的实数 p 和 q ,使得不等式 f ( p ) ≤ 6 . 上 海 市 徐 汇 区 2010 年 4 月 高 三 第 二 次 模 拟 理 科 ) 函 数 f ( x ) = ( ________________. f
?1

2 x ? 4( x ≥ 4) 的 反 函 数 为

( x) =

1 2 x + 2( x ≥ 2) 2

14. ( 上 海 市 徐 汇 区 2010 年 4 月 高 三 第 二 次 模 拟 理 科 ) 设 [ x ] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如

[1.5] = 1, [ ?1.5] = ?2 .若函数 f ( x ) =
为________________. {?1, 0}

ax 1? ? 1? ? a > 0, a ≠ 1) ,则 g ( x ) = ? f ( x ) ? ? + ? f ( ? x ) ? ? 的值域 x ( 1+ a 2? ? 2? ?

1 .( 上 海 市 徐 汇 区 2010 年 4 月 高 三 第 二 次 模 拟 文 科 ) 函 数 y = ( ________________. ( ?∞, ?2 ) U [1, +∞)

x ?1 的定义域是 x+2

12. 上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科)设函数 f ( x ) = 2lg ( 2 x ? 1) ,则 f ( 月高三第二次模拟理科) 【 B 】 A.0 B.1 C.10 D.不存在

?1

(0) 的值为

13. 上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科) (上海市浦东新区 高考预测理科 设函数 y = f (x) 由方程 x | x | + y | y |= 1 确定, 理科) 下列结论 正 确的是(1) (2) (3) (4).(请将你认为正确的序号都填上) (1) f (x) 是 R 上的单调递减函数; (2)对于任意 x ∈ R , f ( x) + x > 0 恒成立; (3)对于任意 a ∈ R ,关于 x 的方程 f ( x) = a 都有解;
[来源:Zxxk.Com]

(4) f ( x) 存在反函数 f 三、解答题

?1

( x) ,且对于任意 x ∈ R ,总有 f ( x) = f

?1

( x) 成立.

4

21. 上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科) 本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 ( 月高考模拟考试理科) 个小题, ( 8 分,第 2 小题满分 8 分.[来源 学科网 来源:学科网 来源 学科网] 如图,反比例函数 y = f ( x) ( x > 0 )的图像过点 A(1, 4) 和 B (4,1) ,点 P ( x, y ) 为该函数图像上一动点, 过 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足为 C 、 D .记四边形 OCPD ( O 为
y

坐标原点)与三角形 OAB 的公共部分面积为 S . (1)求 S 关于 x 的表达式;[来源:学科网 ZXXK] (2)求 S 的最大值及此时 x 的值.
D
[来源:Z|xx|k.Com]

A

P
C

B
x

21. 本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题 ( 个小题, 满分 8 分. 解: (1)由题设,得 f ( x) =

O

4 ( x > 0 )(2 分) , x 15 x2 2 30 当 x ≤ 1 时, S = x 2 ,当 1 < x < 4 时, S = 4 ? ? ,当 x ≥ 4 时, S = 2 , 8 8 x2 x

?15 2 x ≤ 1, ?8 x , ? x2 2 ? 故 S = ?4 ? ? , 1 < x < 4, (8 分) 8 x2 ? ? 30 x ≥ 4. ? x2 , ? 15 2 15 x 为单调递增函数, S ≤ , (10 分) 8 8 30 15 当 x ≥ 4 时, S = 2 为单调递减函数, S ≤ , (12 分) x 8 x2 2 15 S 当 1 < x < 4 时, = 4 ? ? 2 在区间 (1, 2) 上单调递增, 在区间 (2,4) 上单调递减, 证明略) 得 < S ≤ 3 , ( , 8 x 8 故 S 的最大值为 3 ,此时 x = 2 . (16 分) 20、 2010 月高三质量调研理科) 20、 上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科) 本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) ( (
(2)易知当 x ≤ 1 时, S = 已知函数 f ( x ) =

2? x ; x +1

(1)证明:函数 f ( x ) 在 (?1, +∞ ) 上为减函数; (2)是否存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) = 3 0 成立,若存在求出 x0 ;若不存在,请说明理由。
x

20.解: . (1)任取 x1 , x2 ∈ (?1, +∞) ,且 x1 < x2 ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) = (1 分)

2 ? x1 2 ? x2 3 x2 ? 3 x1 ? = >0 x1 + 1 x2 + 1 ( x1 + 1)( x2 + 1)

(4 分)

5

∴函数 f ( x ) 在 (?1, +∞ ) 上为减函数 (2)不存在 (1 分)
x

(1 分)

假设存 在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) = 3 0 成立, (1 分) 则Q x0 < 0,∴ 0 < 3 0 < 1
x

(1 分)

即 0 < f ( x0 ) < 1

[来源:学科网 ZXXK]

∴0<

2 ? x0 <1 x0 + 1

(1 分)[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

[来源:学科网 ZXXK]

? ?1 < x0 < 2 ? ?1 < x0 < 2 ? ? => ? ? ?2 x0 + 1 1 ? x +1 < 0 ? x0 < ?1或x0 > 2 ? ? 0
=> 1 < x0 < 2 2
(2 分)

与 x0 < 0 矛盾,

(1 分)[来源:学科网]
x

所以不存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) = 3 0 成立。 (1 分)

另: f ( x ) = ? 1 +

3 ,由 x0 < 0 得: f ( x0 ) < ?1 或 f ( x0 ) > 2 但 0 < 3 x0 < 1 ,所以不存在。 x +1

22、 ( 2010 月高三质量调研文 22、 上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研文科) (本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,
第(3)小题 6 分)

已知函数 f ( x ) =

2? x ; x +1

(1)求出函数 f ( x ) 的对称中心; (2)证明:函数 f ( x ) 在 (?1, +∞ ) 上为减函数; (3)是否存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) = 3 x 0 成立,若存在求出 x0 ;若不存在,请说明理由。 22.解: . (1)Q f ( x ) =

2 ? x ? x ?1 + 3 3 = = ?1 + x +1 x +1 x +1

(2 分)

∴ 函数 f ( x) 的对称中心为(-1,-1)
(2)任取 x1 , x2 ∈ (?1, +∞) ,且 x1 < x2 ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) = (1 分)

(2 分)

2 ? x1 2 ? x2 3 x2 ? 3 x1 ? = >0 x1 + 1 x2 + 1 ( x1 + 1)( x2 + 1)

(4 分)

6

∴函数 f ( x ) 在 (?1, +∞ ) 上为减函数 (3)不存在 (1 分)
x

(1 分)

假设存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) = 3 0 成立, 则Q x0 < 0,∴ 0 < 3 0 < 1
x

(1 分)

即 0 < f ( x0 ) < 1

∴0<

2 ? x0 <1 x0 + 1
=>

[来源:学科网 ZXXK]

? ?1 < x0 < 2 ? ?1 < x0 < 2 ? ? => ? ? ?2 x0 + 1 1 ? x +1 < 0 ? x0 < ?1或x0 > 2 ? ? 0
与 x0 < 0 矛盾, (1 分)
x

1 < x0 < 2 2

(2 分)

所以不存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) = 3 0 成立。 (1 分) 另: f ( x ) = ?1 +

3 x ,由 x0 < 0 得: f ( x 0 ) < ?1 或 f ( x0 ) > 2 但 0 < 3 0 < 1 ,所以不存在。 x +1

21. 上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 . ( 月高考模拟理科) 本题满分 本题共有 个小题, 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x ) =

bx ? 5 ( x ≠ ?a , a 、 b 是常数,且 ab ≠ ?5 ) ,对定义域内任意 x ( x ≠ ?a 、 x+a

x ≠ ?a ? 3 且 x ≠ a + 3 ) ,恒有 f (3 + x) + f (3 - x) = 4 成立.
(1)求函数 y = f ( x) 的解析式,并写出函数的定义域; (2)求 x 的取值范围,使得 f ( x ) ∈ [0 , 2) U ( 2 , 4] .

21.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分. . 本题满分 本题共有 个小题,

(1)

∵ f ( x) =

bx ? 5 ab + 5 =b? (ab ≠ ?5),f (3 + x) + f (3 ? x) = 4 , x+a x+a

∴ b?

ab + 5 ab + 5 2a + 6 +b? = 4, (2b ? 4) ? (ab + 5) 即 = 0 对使等式有 3+ a + x 3+ a ? x (3 + a + x)(3 + a ? x)
………………………………4 分 …………………………………6 分
2x ? 5 定义域为 (?∞,3) ∪ (3, +∞) . , x?3

意义的任意 x 恒成立.

? 2 a + 6 = 0 ? a = ?3 ∴? . , ? ?2b ? 4 = 0 ?b = 2
于是,所求函数为 f ( x) =

………8 分
7

2x ? 5 1 = 2+ ( x ≠ 3) , f ( x) 稳[0, (2, , 2) 4] x?3 x?3 1 1 ∴ 0 ≤ f ( x) < 2或 2 < f ( x) ≤ 4 ,即 0 ? 2 < 2或2 < 2 +  4 .……10 分 x- 3 x- 3 1 5 1 7 解不等式 0 ? 2 < 2,得x   ;解不等式 2 < 2 + 34,得x .……14 分 x- 3 2 x- 3 2 5 7 ∴当 x ? ( ト, ] [ , +  ) 时, f ( x) 稳[0, (2, . 2) 4] ………16 分 2 2 (说明:也可以借助函数单调性、图像求解)

(2) ∵ f ( x) =

19. 上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟文科)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 . ( 月高考模拟文 本题满分 本题共有 个小题, 分,第 2 小题满分 7 分. 已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx 对任意 x ∈ R 均有 f ( x ? 4) = f ( 2 ? x ) 成立,且函数的图像过点

3 A (1, ) . 2
(1)求函数 y = f ( x ) 的解析式; (2)若不等式 f ( x ? t ) ≤ x 的解集为 [4,m] ,求实数 t、m 的值.

19、(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 本题满分 个小题, 3 4) = f (2 - x) 成立,且图像过点 A(1, ) , 2



(1) Q f ( x) = ax 2 + bx对任意x ? R恒有f ( x

ì a ( x - 4) 2 + b( x - 4) = a (2 - x) 2 + b(2 - x), ? ? \ ? í ? a+ b = 3. ? ? 2 ?

……………………2 分

化简 a ( x - 4) 2 + b( x - 4) = a (2 - x) 2 + b(2 - x),得(2b - 4a)x + (12a - 6b) = 0 .…3 分
ì 2b - 4a = 0 ? 此一元一次方程对 x ? R 都成立,于是, ? ,即 b = 2a . í ? 12a - 6b = 0 ? ?

ì 1 ? ? ?a= 2. 进一步可得 í ? ?b= 1 ? ? \ 所求函数解析式为f ( x) = (2)

……………………………………………………6 分

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1 2 x + x. 2

………………7 分

Q f ( x - t )  x的解集为[4,m] ,
\ 1 ( x - t ) 2 + x - t ? x,即x 2 2 2tx + t 2 - 2t  0的解集是[4,m],且m > 4. …… 9 分

8

\ 4、m是方程x 2 - 2tx + t 2 - 2t = 0的两根 .

…… ……………10 分

ì 4 + m = 2t 祆 = 12 m m= 0 ? 镲 于是, ? ,解此方程组,得 镲 或 (舍去) . í 眄 2 ? 4m = t - 2t 镲= 8 t t= 2 镲 铑 ? ?
ì m = 12 ? ∴? . í ? ?t= 8 ?
21. 上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟文科)本题满分 16 分. . ( 月高考模拟文 已知 a ∈ R ,函数 f ( x ) = x +

……… 13 分

…………………14 分

a ( x ∈ [0 , + ∞) ,求函数 f (x ) 的最小值. x +1

21.本题满分 16 分. .
解 设 x1、x2是[0, + ? )内任意两个实数,且x1
f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1 + a a - x2 x1 + 1 x2 + 1 a ( x2 - x1 ) ( x1 + 1)( x2 + 1) [来源:Zxxk.Com] a ). ( x1 + 1)( x2 + 1)
x2 ,则

= ( x1 - x2 ) +

= ( x1 - x2 )(1(i)当 a < 1 时,

……………………4 分

1-

x x + x1 + x2 + 1- a a a = 1 2 > 0, 1 - x2 )(1(x ) < 0, ( x1 + 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 + 1) …7 分 即f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0.

因此, f ( x)在[0, +  )上是单调增函数 ,故 ( f ( x)) min = f (0) = a .
(ii) 当 a ? 1 时, f ( x) = x + a a = ( x + 1) + - 1 ? 2 a 1. x+ 1 x+ 1 a ,即x = x+ 1 a - 1( a - 1 ? [0,  )) 时,等号成立.

…………9 分

当且仅当 x + 1 =

……14 分

于是, ( f ( x)) min = f ( a - 1) = 2 a - 1 .

……………………15 分

9

ì a (a < 1) ? 所以, ( f ( x)) min = ? . í ? 2 a - 1(a  1) ? ?

…………16 分

23、 上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟理科 (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分, ( 年高三第二次模拟理科) 第(3)小题 8 分) 在 平 行 四 边 形 OABC 中 , 已 知 过 点 C 的 直 线 与 线 段 OA, OB 分 别 相 交 于 点 M , N 。 若

OM = xOA, ON = yOB 。
(1)求证: x 与 y 的关系为 y = (2)设 f ( x ) =

x ; x +1

x 1 ,定义函数 F ( x) = ? 1(0 < x ≤ 1) ,点列 Pi ( xi , F ( xi ))(i = 1,2, L , n, n ≥ 2) 在 x +1 f ( x) 1 函 数 F ( x) 的 图 像 上 , 且 数 列 {x n } 是 以 首 项 为 1 , 公 比 为 的等比数列, O 为原点,令 2 OP = OP1 + OP2 + L + OPn ,是否存在点 Q(1, m) ,使得 OP ⊥ OQ ?若存在,请求出 Q 点坐标;若不

存在,请说明理由。 (3) 设函数 G ( x) 为 R 上偶函数, x ∈ [0,1] 时 G ( x) = f ( x) , 当 又函数 G ( x) 图象关于直线 x = 1 对称, 当 方程 G ( x) = ax +

1 在 x ∈ [ 2k ,2k + 2](k ∈ N ) 上有两个不同的实数解时,求实数 a 的取值范围。 2
→ → → →

23、解: 、 (1)Q

OM OA

=

OM


=

ON


,…………………………………………2 分

CB

NB

∴x =

y x ,从而 y = 。…………………………………………………4 分 1? y 1+ x x +1 1 1 1 1 ? 1 = ,∴ Pi ( xi , ) ,又 x n = ( ) n ?1 , = 2 n ?1 , x x xi xn 2
…………………………………………………………6 分

(2) F ( x) =

∴ OP = (1 +
→ →



1 1 1 + L + n ?1 ,1 + 2 + L + 2 n ?1 ) = (2 ? n ?1 ,2 n ? 1) 。 2 2 2
…………………………………………………………8 分
→ →

设 OP ⊥ OQ ,则 OP? OQ = 0 。∴ 2 ? 故存在 Q (1,?

1 2
n ?1

+ m(2 n ? 1) = 0 ,Q n ≥ 2,∴ m = ?

1 2 n ?1


1 2 n ?1

) 满足条件。…………………………………………………10 分 x ,又由条件得 x +1 2?x 2? x = ,Q G ( 2 ? x ) = G ( x) , 2 ? x +1 3 ? x

(3)当 x ∈ [0,1] 时, G ( x ) =

G ( 2 ? x ) = G ( x ) ,∴ G ( 2 + x ) = G ( ? x ) = G ( x ) 。
当 x ∈ [1,2] 时, 0 ≤ 2 ? x ≤ 1,∴ G (2 ? x ) =

10

? x (0 ≤ x ≤ 1) ? 2?x ∴ G ( x) = ,从而 G ( x) = ? x + 1 。…………………12 分 2? x 3? x ? (1 ≤ x ≤ 2) ?3 ? x
由 G ( x + 2) = G ( x ) 得

? x ? 2k x ∈ [2k ,2k + 1] ? 。…………… ……………14 分 G ( x ) = ? x ? 2k + 1 x ? 2k ? 2 ? x ∈ [2k + 1,2k + 2] ? x ? 2k ? 3 1 设 y1 = G ( x ), y 2 = ax + ,在同一直角坐标系中作出两函数的图 像,如图 2
当函数 y 2 = ax +

1 1 图像经过点 ( 2k + 2,0) 时, a = ? 。 2 4(k + 1)
…………………………………………………………16 分

由图像可知,当

a ∈ [?

1 ,0) 时, y1 与 y 2 的图像在 x ∈ [2k ,2k + 2](k ∈ N ) 有两个不同交点,因此 4(k + 1)

方程 G ( x) = ax +

1 在 x ∈ [ 2k ,2k + 2] 上有两个不同的解。 2

…………………………………………………………18 分 22、 上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟文科) 本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分, 高三第二次模拟文科 ( ( 第(2)小题 6 分) 在 平 行 四 边 形 OABC 中 , 已 知 过 点 C 的 直 线 与 线 段 OA, OB 分 别 相 交 于 点 M , N 。 若

OM = xOA, ON = yOB 。
(1)求证: x 与 y 的关系为 y = (2)设 f ( x ) =

x ; x +1

x ,定义在 R 上的偶函数 F ( x ) ,当 x ∈ [0,1] 时 F ( x ) = f ( x ) ,且函数 F ( x ) 图象关于 x +1 直线 x = 1 对称,求证: F ( x + 2) = F ( x ) , 并求 x ∈ [2k ,2k + 1](k ∈ N ) 时的解析式; (3)在(2)的条件下,不等式 F ( x ) < ? x + a 在 x ∈ [2k ,2k + 1](k ∈ N ) 上恒成立,求实数 a 的取值范围。
→ → →

22、解: 、 (1)Q

OM


=

OM


=

ON


,…………………………………………2 分

OA
∴x =

CB

NB

y x ,从而 y = 。…………………………………………………4 分 1? y 1+ x x 。Q F ( x ) 图像关于直线 x = 1 对称,∴ F ( 2 ? x ) = F ( x ) , x +1

(2)当 x ∈ [0,1] 时, F ( x ) =

…………………… ……………………………………5 分

∴ F ( x + 2) = F (? x) ,又 F ( x) 为偶函数,∴ F ( x + 2) = F ( x) 。
…………………………………………………………7 分
11

设 x ∈ [ 2k ,2k + 1] ,则 x ? 2k ∈ [0,1] ,………………………………………8 分

∴ F ( x ? 2k ) =

x ? 2k x ? 2k ,即 F ( x ) = 。 x ? 2k + 1 x ? 2k + 1
…………………… ……………………………………10 分

x ? 2k < ? x + a ,…………………………………………12 分 x ? 2k + 1 1 ∴a > 1+ x ? 对 x ∈ [2k ,2k + 1](k ∈ N ) 恒 成 立 , 因 此 x ? 2k + 1 1 a > (1 + x ? ) max 。…………………………………………………………14 分[来源:学_科_网] x ? 2k + 1 1 3 Q1 + x ? 在 x ∈ [ 2k ,2k + 1] 上单调递增,∴ x = 2k + 1 时其最大值为 2k + , x ? 2k + 1 2 3 3 ∴ a > 2k + ,即 a ∈ (2k + ,+∞) (k ∈ N ) 。……………………………………16 分 2 2
(3)不等式为 19、 上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟文科) 本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 高三第二次模拟文科 ( ( 8 分) 设函数 f ( x) = ax 2 + (b ? 2) x + 3( a ≠ 0) ,若不等式 f ( x) > 0 的解集为 (?1,3) 。 (1)求 a, b 的值; (2)若函数 f (x) 在 x ∈ [m,1] 上的最小值为 1,求实数 m 的值。

b?2 ? ?? 1 + 3 = ? a 19、解: (1)由条件得 ? ,…………………………………………4 分 、 3 ? ? 1× 3 = a ?
解得: a = ?1, b = 4 。 …………………………………………………………6 分

(2) f ( x) = ? x 2 + 2 x + 3 ,………………………………………………………8 分 对称轴方程为 x = 1 ,∴ f (x) 在 x ∈ [m,1] 上单调 递增,………………………10 分

∴x = m
f ( x) min = ? m 2 + 2m + 3 = 1 ,
………………………………12 分


开始 输入 b, n

Q ………………………………14 解得 m = 1 ± 3 。 m < 1,∴ m = 1 ? 3 。
21. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科)(本题满分 14 分, 年高三第二次模拟考试理科) 小题 8 分,第 2 小题 6 分) 一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下,每天销售量为 b 件. 查后得到如下规律: 若对产品进行电视广告的宣传, 每天的销售量 S(件) 告每天的播放量 n (次)的关系可用如图所示的程序框图来体现. (1)试写出该产品每天的销 售量 S (件)关于电视广告每天的播放量 n

分 其中第 1

i ← 0, S ← b

i ← i +1
b S ←S+ i 2

经市场调 与电视广

i=n

输出 S 结束
第 21 题图



(次)的

12

函数关系式; (2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加 90% ,则每天电视广告的播放量至少 需多少次? 21. 解: 设电视广告播放量为每天 i 次时, (1) 该产品的销售量为 Si( 0 ≤ i ≤ n ,i ∈ N ) .[来源:Zxxk.Com]
*

i = 0, ?b, ? 由题意, Si = ? , b Si ?1 + i ,1 ≤ i ≤ n, i ∈ N* ? ? 2
于是当 i = n 时, S n = b + ?

b ?b b + 2 +L + n 2 ?2 2

1 ? ? ? = b?2 ? n 2 ? ?

? * ( ? , n ∈ N ). ?

所以,该产品每天销售量 S (件)与电视广告播放量 n (次/天)的函数关系式为

1 ? ? S = b ? 2 ? n ? , n ∈ N* . 2 ? ?
(2)由题意,有 b ? 2 ?

? ?

1 2n

? n * ? ≥ 1.9b ? 2 ≥ 10 ? n ≥ 4 .( n ∈ N ) ?

所以,要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加 90% ,则每天广告的播放量至少需 4 次. 23.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 18 分,第(1)题 5 分,第(2)题 8 分,第(3) 月高考模拟理科) (上海市松江区 2010 题 5 分) 设函数 y = f (x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,如果存在函数 x = g (t ) ,使得函数 y = f ( g (t )) 的值域仍 然是 B ,那么,称函数 x = g (t ) 是函数 y = f (x ) 的一个等值域变换, (1)判断下列 x = g (t ) 是不是 y = f (x ) 的一个等值域变换?说明你的理由;

( A) f ( x) = 2 x + b, x ∈ R , x = t 2 ? 2t + 3, t ∈ R ;

[来源:学,科,网]

( B ) f ( x) = x 2 ? x + 1, x ∈ R , x = g (t ) = 2t , t ∈ R ;
(2)设 f ( x ) = log 2 x 的值域 B = [1, 3] ,已知 x = g (t ) = 函数 f ( g (t )) 的定义域为 R ,求实数 m, n 的值; (3)设函数 y = f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,函数 g (t ) 的定义域为 D1 ,值域为 B1 ,写出 x = g (t ) 是

mt 2 ? 3t + n 是 y = f ( x ) 的一个 等值域变换,且 t2 +1

y = f ( x) 的一个等值域变换的充分非必要条件(不必证明) ,并举例说明条件的不必要性.
解 :( 1 ) ( A) : 函 数 f ( x ) = 2 x + b, x ∈ R 的 值 域 为 R , x = t 2 ? 2t + 3 = (t ? 1) 2 + 2 ≥ 2 ,

y = f ( g (t )) = 2[(t ? 1)2 + 2] + b ≥ 4 + b , 所以, x = g (t ) 不是 f ( x ) 的一个等值域变换; …………2 分 1 3 3 3 ( B ) : f ( x) = x 2 ? x + 1 = ( x ? )2 + ≥ ,即 f ( x) 的值域为 [ , +∞) , 2 4 4 4 3 1 2 3 3 t 当 t ∈ R 时, f ( g (t )) = ( 2 ? ) + ≥ ,即 y = f ( g (t )) 的值域仍为 [ , +∞ ) , 2 4 4 4
13

所以, x = g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换; 即 f ( x ) = log 2 x 定义域为 [2,8] ,

…………5 分

[来源:Zxxk.Com]

(2) f ( x) = log 2 x 的值域为 [1,3] ,由 1 ≤ log 2 x ≤ 3 知 2 ≤ x ≤ 8 , …………6 分 因为 x = g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换,且函数 f ( g (t )) 的定义域为 R , 所以, x = g (t ) =

mt 2 ? 3t + n , t ∈ R 的值域为 [2,8] , t2 +1

…………8 分

2≤

mt 2 ? 3t + n ≤ 8 ? 2(t 2 + 1) ≤ mt 2 ? 3t + n ≤ 8(t 2 + 1) , t2 +1

所以, 恒有 ?

?(m ? 2)t 2 ? 3t + (n ? 2) ≥ 0

2 ? (m ? 8)t ? 3t + (n ? 8) ≤ 0 2<m<8 ? ? 于是 ?? 1 = 9 ? 4( m ? 2)( n ? 2) = 0 , ?? = 9 ? 4(m ? 8)(n ? 8) = 0 ? 2

,且存在 t1 , t2 ∈ R 使两个等号分别成立,………10 分

? 3 3 ? 3 3 ?m = 5 + ?m = 5 ? ? ? 2 或 2 …………13 分 解得 ? ? 3 3 ? 3 3 ?n = 5 ? ? ?n = 5 + 2 2 ? ? (3)设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,值域为 B ,函数 g (t ) 的定义域为 D1 ,值域为 B1 ,则 x = g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换的充分非必要条件是“ D = B1 ” …………15 分[来源:学|科|网 Z|X|X|K] .
[来源:学科网]

条件的不必要性的一个例子是.[来源:学,科,网]

f ( x) = x 2 , D = R , B = [0,+∞) g (t ) = 2 t ? 1 , D1 = R , B1 = (?1,+∞)
此时 D ? B1 ,但 f ( g (t )) = ( 2 t ? 1) 2 的值域仍为 B = [0,+∞ ) , 即 g (t ) = 2 t ? 1 ( x ∈ R ) 是 f ( x ) = x 2 ( x ∈ R ) 的一个等值域变换。…………18 分 (反例不唯一) 21. 上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) 满分 16 分;第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分, 月高三第二次模拟理科) . ( ( ) ) 第三 小题 6 分) 已知函数 f ( x ) =

x?a (a > 0) ax

(1)判断并证明 y = f (x ) 在 x ∈ (0,+∞) 上的单调性;[来源:Zxxk.Com] (2)若存在 x0 ,使 f ( x0 ) = x0 ,则称 x0 为函数 f ( x ) 的不动点,现已知该函数有且仅有一个不动点,求

a 的值,并求出不动点 x0 ;
(3)若 f ( x ) < 2 x 在 x ∈ (0,+∞) 上恒成立 , 求 a 的取值范围. 21.解: : (1) f ( x ) =

[来源:学科网]

1 1 ? a x
14

对任意的 x 1 , x 2∈ (0, +∞)且x 1 > x 2 ------------------------------------------- 1 分

x ?x 1 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = ( ? ) ? ( ? ) = 1 2 -------------------------------- 3 分 a x1 a x2 x1 x 2
∵ x1 >x 2 > 0 ∴ x1 ? x 2 > 0, x 1 x 2 > 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0 ,函数 y = f (x ) 在 x ∈ (0,+∞) 上单调递增。-----------------5 分

x?a ? ax 2 ? x + a = 0 ,-------------------------------------7 分 ax 1 2 令 ? = 1 ? 4a = 0 ? a = (负值舍去)---------------------------------------9 分 2 1 1 2 1 2 2 将 a = 代入 ax ? x + a = 0 得 x ? x + = 0 ? x ? 2 x + 1 = 0 ∴ x0 = 1 ---------10 分 2 2 2 1 1 (3)∵ f ( x ) < 2 x ∴ < 2 x + ----------------------------------------12 分 a x
(2)解:令 x = ∵x >0 ∴ 2x +

2 1 ≥ 2 2 (等号成立当 x = )--------------------14 分 x 2 2 4



1 1 < (2 x + ) a x

min

=2 2?a>

? 2 ? ∴ a 的取值范围是 ? , +∞ ? ------------------------------------------16 分 ? 4 ? ? ?
16. (上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) 满分 12 分)本题有 2 小题, 第 1 小题 5 分,第 月高三第二次模拟理科 ( 三第二次模拟理科) 小题, 2 小题 7 分. 设 x ∈ R , f ( x) = ( ) | x| . (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数 f (x ) 的大致图像; (2)若不等式 f ( x ) + f ( 2 x ) ≤ k 对于任意的 x ∈ R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 16.(1)

1 2

15

(2) f ( x ) = ( ) , f ( 2 x) = ( )
| x|

1 2

1 2

2| x|

………………………………………1 分[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

对于任意 x ∈ R , 令( )

1 1 ( ) | x| + ( ) 2| x| ≤ k 恒成立. 2 2

1 2

| x|

= t ∈ (0, 1] ,则 y = t 2 + t ( 0 < t ≤ 1 ) ………………………3 分 1 ,则当 t = 1 时, y max = 2 ,………………………………2 分 2

对称轴 t = ?

所以 k ≥ 2 即可. ……………………………………………………………1 分 21. 上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科) (上海市浦东新区 高考预测理科 (本大题满分 16 分)本大题共有 2 个小题,第 1 小题满 理科) 分 8 分,第 2 小题满 8 分. 2010 年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行, 对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数 作了一个模拟预测. 为了方便起见,以 10 分钟为一个计算单位,上午 9 点 10 分作为第一个计算人数的时 间,即 n = 1 ;9 点 20 分作为第二个计算人数的时间,即 n = 2 ;依此类推 LL ,把一天内从上午 9 点到 晚上 24 点分成了 90 个计算单位. [来源:学。科。网] 对第 n 个时刻进入园区的人数 f ( n) 和时间 n ( n ∈ N )满足以下关系(如图 1) :
?

[来源:学科网 ZXXK]

3600 (1 ≤ n ≤ 24) ? n ? 24 ? ? 3600 ? 3 12 (25 ≤ n ≤ 36) ? f (n) = ? ,n∈ N ?? 300n + 21600 (37 ≤ n ≤ 72) ? 0 (73 ≤ n ≤ 90) ?
对第 n 个时刻离开园区的人数 g ( n) 和时间
1

f(n) f (n)
10800 10800

3600 3600 3600 1 1

O 124

36

24

36

72

90 72

n

90 n

n ( n ∈ N ? )满足以下关系(如图 2) :
0 (1 ≤ n ≤ 24) ? ? g(n) = ?500n ?12000 (25≤ n ≤ 72), n ∈ N? ? 5000 (73≤ n ≤ 90) ?

g (n)
24000

(图 1)

12000

(1)试计算在当天下午 3 点整(即 15 点整)
6000 5000

16

O

24

36

72

90 n

图2

时,世博园区内共有多少游客? (2)请求出当天世博园区内游客总人数最多 的时刻.[来源:Z,xx,k.Com] 解: (1)当 0 ≤ n ≤ 24 且 n ∈ N 时, f (n) = 3600 , 当 25 ≤ n ≤ 36 且 n ∈ N 时, f ( n) = 3600 ? 3
? ?

n ? 24 12

……………………………………………2 分

所以 S36 = [ f (1) + f (2) + f (3) + L + f (24) ] + … + [ f ( 25) + f ( 26) + L + f (36)]

? 12 3 12 312 ? 1 ? ? ? = 3600 × 24 + 3600 × ? 12 3 ?1 ? ? ? ? ? = 86400 + 82299.59 = 168700 ;……………………………………………………2 分
另一方面,已经离开的游客总人数是:

(

)

T12 = g (25) + g (26) + L + g (36) = 12 × 500 +

12 × 11 × 500 = 39000 ;…………………2 分 2

所以 S = S36 ? T12 = 168700 ? 39000 = 129700 (人) 故当天下午 3 点整(即 15 点整)时,世博园区内共有 129700 位游客. ……………………2 分 (2)当 f ( n) ? g ( n) ≥ 0 时园内游客人数递增;当 f ( n) ? g ( n) < 0 时园内游客人数递减. (i)当 1 ≤ n ≤ 24 时,园区人数越来越多,人数不是最多的时间;……………………………………2 分 (ii)当 25 ≤ n ≤ 36 时,令 500n ? 12000 ≤ 3600 ,得出 n ≤ 31 , 即当 25 ≤ n ≤ 31 时,进入园区人数多于离开人数,总人数越来越多;……………………………2 分 当 32 ≤ n ≤ 36 时, 3600 ? 3
n ? 24 12

> 500n ? 12000 ,进入园区人数多于离开人数,总人数越来越

多;………………………………………………………………………………………………………………………2 分 (iii)当 37 ≤ n ≤ 72 时, 令 ?300n + 21600 = 500n ? 12000 时, n = 42 , 即在下午 4 点整时,园区人数达到最多. 此后离开人数越来越多,故园区内人数最多的时间是下午 4 点整. ……………………………………2 分 23. 上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科) 高考预测理科 (本大题满分 18 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满 理科) (上海市浦东新区 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x ) = log 2 x . (1)若 f (x) 的反函数是 f
?1

( x) ,解方程: f

?1

(2 x + 1) = 3 f

?1

( x) ? 1 ;

(2)当 x ∈ ( 3m , 3m + 3 ] ( m ∈ N ) 时,定义 g ( x) = f ( x ? 3m) . 设 a n 前 n 项和为 Sn ,求 a1 、 a2 、 a3 、 a4 和 S 3n ;

= n ? g ( n ) ,数列 {an } 的

(3) 对于任意 a 、b 、c ∈ [ M , +∞ ) , a ≥ b ≥ c . 当 a 、b 、c 能作为一个三角形的三边长时, f ( a ) 、 且

f (b) 、 f (c) 也总能作为某个三角形的三边长,试探究 M 的最小值.
17

解: (1)Q 函数 y = g ( x ) 是函数 y = f (2 x + 1) 的反函数, f ( x) = log 2 x

∴ g ( x) = 1 (2 x ? 1)( x ∈ R) ,而 g (2 x) = 3g ( x) + 6
2

∴ 1 (22 x ? 1) = 3 ? 1 (2 x ? 1) + 6 , 即 22 x ? 3 ? 2 x ? 10 = 0
2 2


………………………………………………2

(2 x + 2) ? (2 x ? 5) = 0 ,∴ 2 x = 5
故:原方程的解为 x = log 2 5 ……………………………………………………………………………………2 分 (2) 若 1 ∈ (3m, 3m + 3] ,∴ m = 0 ,∴ ? (1) = f (1) = 0 ,∴ a1 = 1× 0 = 0 若 2 ∈ (3m,3m + 3] ,∴ m = 0 ,∴ ? (2) = f (2) = 1 ,∴ a2 = 2 × 1 = 2 若 3 ∈ (3m,3m + 3] ,∴ m = 0 ,∴ ? (3) = f (3) = log 2 3 ,∴ a3 = 3log 2 3 若 4 ∈ (3m,3m + 3] ,∴ m = 1 ,∴ ? (4) = f (1) = 0 ,∴ a4 = 4 × 0 = 0 ……………………………2 分 当 n = 3m + 1( m ∈ N ) 时, ? ( n) = f ( n ? 3m) = f (1) = 0 ,∴ an = n × 0 = 0 当 n = 3m + 2( m ∈ N ) 时, ? ( n) = f ( n ? 3m) = f (2) = 1 ,∴ an = n × 1 = n 当 n = 3m + 3( m ∈ N ) 时,? ( n) = f ( n ? 3m) = f (3) = log 2 3 ,∴ an = n log 2 3 …………………2 分
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

S 3n = a1 + a 2 + a 3 + a 4 L + a 3n = 1 × 0 + 2 × 1 + 3 × log 2 3 + 4 × 0 + 5 × 1 + L + 3n log 2 3 = (2 + 5 + 8 + L + 3n ? 1) × 1 + (3 + 6 + 9 + L + 3n) log 2 3 = 2 + 3n ? 1 3 + 3n ×n+ × n × log 2 3 2 2

n [3n + 1 + (3n + 3) log 2 3] ……………………………………………………………………………………2 分 2 (3) 由题意知, c + b > a =
若 f ( a ), f (b), f (c) 能作为某个三角形的三边长 ? log 2 c + log 2 b > log 2 a ? bc > a …………2 分 又: bc ≥ b + c ? (b ? 1)(c ? 1) ≥ 1 当 b ≥ 2, c ≥ 2 时,有 (b ? 1)(c ? 1) ≥ 1 成立,则一定有 bc > a 成立. …………………………………2 分

Q log 2 c > 0, ∴ c > 1, 即 0 < M ≤ 1 不合题意.

……………………………………………………………2 分

又当 1 < M < 2 时,取 b = M , c = M , a = M 2 ,有 M + M > M 2 ,即 b + c > a ,此时 a, b, c 可作
18

为一个三角形的三边长,但 log 2 M + log 2 M = 2 log 2 M = log 2 M ,即 f (b) + f (c ) = f ( a ) ,所
2

以 f ( a ) 、 f (b) 、 f (c ) 不能作为三角形的三边长. 综上所述, M 的最小值为 2. ……………………………………………………………………………………2 分 解法 2: a ≥ b ≥ c ,由题意知, b + c > a 若 f ( a ), f (b), f (c) 能作为某个三角形的三边长 ? log 2 b + log 2 c > log 2 a ? bc > a …………2 分 设 a = c + p1 , b = c + p2

p1 ≥ p2 ≥ 0

若 p1 = 0 ? p2 = 0 ,则 a = b = c > 1 , f ( a ), f (b), f (c) 显然能作为某个三角形三边长………2 分 若 p1 ≠ 0 ,由(1)知 c > p1 ? p2 .由(2)知 bc > a ? c >

a c + p1 p ? p2 = = 1+ 1 b c + p2 c + p2

……………2 分

而 c + p2 > p1 ,则 0 ≤

p1 ? p2 p1 ? p2 p ? p2 p ? p2 p ≤ ? 1≤ 1 < 1+ 1 = 2? 2 ≤ 2 c + p2 p1 c + p2 p1 p1

故: c ≥ 2 …………………………………………………………………………………………………………………2 分

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