nbhkdz.com冰点文库

2013届高考数学(理)一轮复习课件:第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第6讲 幂函数与二次函)

时间:2012-06-19


第6讲 幂函数与二次函数

【2013年高考会这样考】 1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值. 3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本讲复习时,应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和 幂函数的图象和性质,重点解决二次函数在闭区间上的最值问 题,掌握求函数最值的常用方法:配方法、判别式法、不等式 法、换元法、导数法等,注重分类讨论思想与数形结合思想的 综合应用.

基础梳理 1.幂函数的定义 一般地,形如 中底数 x
y=xα

(α∈R)的函数称为幂函数,其

是自变量,α为常数.

2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下,幂函数y=x,y=x2,y=x3, y= ,y=x-1的图象分别如右图.

3.幂函数的性质

函数 特征 性质 定义域 值域 奇偶性 R R 奇 R [0,+ ∞) 偶 R 奇 [0,+∞)
非奇非偶

y=x

y=x2

y=x3 y=

y=x-1

R

[0,+∞)

{x|x∈R且x≠0} {y|y∈R且y≠0 } 奇

单 调 增 性 定 点

x∈[0,+∞) 时,增,x∈ (-∞,0]时, 减 增 增

x∈(0,+∞)时,减 ,
x∈(-∞,0)时,减

(0,0),(1,1)

(1,1)

4.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c f(x)=ax2+bx+c (a>0) (a<0)

图象

定义域 值域

(-∞,+∞)
?4ac-b2 ? ? ? ,+∞? ? 4a ? ?

(-∞,+∞)
? 4ac-b2? ? ? -∞, 4a ? ? ? ?

单调性

? b? 在x∈?-∞,-2a?上 ? ?

? b? 在x∈?-∞,-2a?上 ? ?

单调递减
? ? b 在x∈?-2a,+∞?上 ? ?

单调递增
? ? b 在x∈?-2a,+∞?上 ? ?

单调递增

单调递减

奇偶性 当 b=0 时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性
2 ? b 4ac-b ? ? ? -2a, 4a ? ? ? ?

b 图象关于直线 x=- 成轴对称图形 2a

5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

五个代表 1 - 函数y=x,y=x ,y=x ,y=x 2 ,y=x 1可做为研究和学习幂函数图
2 3

象和性质的代表. 两种方法 函数y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函 x1+x2 数y=f(x)的图象关于x= 对称. 2 (2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立 的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).

双基自测 1.(2011· 安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)= 2x2-x,则f(1)=( A.-3 ). C.1 D.3

B.-1

解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-3. 答案 A

2.(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y=xn在第一 1 象限的图象.已知n取± 2,±2 四个值,则相应于曲线C1,C2, C3,C4的n值依次为( ).

1 1 A.-2,-2,2,2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 答案 B

1 1 B.2,2,-2,-2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2

?-x,x≤0, ? 3.(2011· 浙江)设函数f(x)= ? 2 ?x ,x>0. ?

若f(α)=4,则实数α

等于(

). B.-4或2 D.-2或2
?α>0, ? 或? 2 ?α =4, ?

A.-4或-2 C.-2或4 解析 答案
?α≤0, ? 由? ?-α=4 ?

得α=-4或α=2,故选B.

B

4.已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b 等于( A.3 ). B.2或3 C.2 D.1或2

解析 函数f(x)=x2-2x+2在[1,b]上递增, ?f?1?=1, ? 由已知条件?f?b?=b, ?b>1, ? 答案 C
?b2-3b+2=0, ? 即? ?b>1. ?

解得b=2.

5.(2012· 武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R) 是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= ________. 解析 f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2

由已知条件ab+2a=0,又f(x)的值域为(-∞,4], ?a≠0, ? 则?b=-2, ?2a2=4. ? 答案

因此f(x)=-2x2+4.

-2x2+4

考向一 二次函数的图象 【例1】?(2010· 安徽)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图 象可能是( ).

[审题视点] 分类讨论a>0,a<0.

解析 若a>0,则bc>0,根据选项C、D,c<0,此时只有b b <0,二次函数的对称轴方程x=- 2a >0,选项D有可能;若a <0,根据选项A,c<0,此时只能b>0,二次函数的对称轴 b 方程x=- 2a >0,与选项A不符合;根据选项B,c>0,此时 b 只能b<0,此时二次函数的对称轴方程x=- 2a <0,与选项B 不符合.综合知只能是选项D. 答案 D

分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看 二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二是看 对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判 断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断,如函数图象 与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等.

【训练1】 已知二次函数f(x)的图象如图所示,则其导函数 f′(x)的图象的大致形状是( ).

解析

由函数f(x)的图象知:当x∈(-∞,1]时,f(x)为减函

数,∴f′(x)≤0;当x∈[1,+∞)时,f(x)为增函数,∴ f′(x)≥0.结合选项知选C. 答案 C

考向二 二次函数的性质 【例2】?函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小 值记为g(t). (1)试写出g(t)的函数表达式; (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值. [审题视点] 分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式.

解 (1)f(x)=(x-1)2+1. 当t+1≤1,即t≤0时,g(t)=t2+1. 当t<1<t+1,即0<t<1时,g(t)=f(1)=1 当t≥1时,g(t)=f(t)=(t-1)2+1 ?t2+1≤0,t≤0, ? 综上可知g(t)=?1,0<t<1, ?t2-2 t+2,t≥1. ? (2)g(t)的图象如图所示,可知g(t)在(-∞,0]上递减,在[1,+∞) 上递增,因此g(t)在[0,1]上取到最小值1.

(1)二次函数y=ax2+bx+c,在(-∞,+∞)上的最 值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出;(2)二次函数y=ax2 +bx+c,在[m,n]上的最值需要根据二次函数y=ax2+bx+c 图象对称轴的位置,通过讨论进行求解.

【训练2】 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值. (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函 数. 解 (1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, x∈[-5,5], ∴x=1时,f(x)取得最小值1; x=-5时,f(x)取得最大值37.

(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为直线x=-a, ∵y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, ∴-a≤-5或-a≥5, 故a的取值范围是a≤-5或a≥5.

考向三 幂函数的图象和性质 【例3】?已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴 m 对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1)- <(3-2a) 3 m - 的a的取值范围. 3 [审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m2-2m-3<0,再

结合m是整数,及幂函数是偶数可得m的值.

解 ∵函数在(0,+∞)上递减, ∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又函数的图象关于y轴对称, ∴m2-2m-3是偶数, 而22-2×2-3=-3为奇数, 12-2×1-3=-4为偶数, ∴m=1.

1 而f(x)=x- 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数, 3 1 1 ∴(a+1)-3<(3-2a)-3等价于a+1>3-2a>0 或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a. 2 3 解得a<-1或3<a<2.
? 2 3? ? ? ?a|a<-1或 <a< ?. 故a的取值范围为 3 2? ? ? ?

本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一 体,综合性较强,解此题的关键是弄清幂函数的概念及性 质.解答此类问题可分为两大步:第一步,利用单调性和奇偶 性(图象对称性)求出m的值或范围;第二步,利用分类讨论的 思想,结合函数的图象求出参数a的取值范围.

【训练3】 幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上 它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连 接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三 等分,即有|BM|=|MN|=|NA|.那么,αβ=( ).

A.1 C.3

B.2 D.无法确定

解析

法一

?1 2? ?2 1? 1 由条件得M ?3,3? ,N ?3,3? ,由一般性,可得 3 ? ? ? ?

?2? 2 ?1?β 21 12 21 12 α ? ? , =? ? ,即α=log ,β=log .所以αβ=log · =3 log = 3 ?3? 33 33 33 33 ? ?

1 2 lg lg 3 3 2· 1=1. lg3 lg3 法二 1 ?2?α 2 ?1?β 由解法一,得 =?3? , =?3? , 3 ? ? 3 ? ?

?1? ??1? ? ?2? 1 αβ β α ? ? =?? ? ? =? ?a= ,即αβ=1. 则3 3 ? ? ??3? ? ?3?

答案

A

规范解答4——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值
【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据 对称轴与区间的相对位置关系确定最值,当函数解析式中含有 参数时,要根据参数的取值情况进行分类讨论,避免漏解. 【解决方案】 对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)而言,首 先确定对称轴,然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论.

【示例】?(本题满分12分)(2011· 济南模拟)已知f(x)=-4x2+ 4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达 式f(x). 求二次函数f(x)的对称轴,分对称轴在区间的左侧、 中间、右侧讨论.

[解答示范]

? a?2 ∵f(x)=-4?x-2? -4a, ? ?

?a ? ∴抛物线顶点坐标为?2,-4a?.(1分) ? ?

a ①当 ≥1,即a≥2时,f(x)取最大值-4-a2. 2 令-4-a2=-5,得a2=1,a=± 1<2(舍去);(4分) a a ②当0<2<1,即0<a<2时,x=2时, f(x)取最大值为-4a. 5 令-4a=-5,得a=4∈(0,2);(7分)

a ③当2≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减, ∴x=0时,f(x)取最大值为-4a-a2, 令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0, 解得a=-5或a=1,其中-5∈(-∞,0].(10分) 5 综上所述,a=4或a=-5时,f(x)在[0,1]内有最大值-5. 105 ∴f(x)=-4x +5x- 16 或f(x)=-4x2-20x-5.(12分)
2

求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质 ——最值在对称轴处取得,忽视对称轴与闭区间的位置关系, 不进行分类讨论.

【试一试】 设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). [尝试解答] ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x =1,而x=1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时, ymin=a2-2a;当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a] 上单调递增,则当x=1时,ymin=-1.
?a2-2a,-2<a<1, ? 综上,g(a)=? ?-1,a≥1. ?

单击此处进入

活页限时训练


赞助商链接

...轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第9课 二次函...

【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第二函数与基本初等函数Ⅰ 第9课 二次函数、幂函数 文_数学_高中教育_教育专区。第9课 二次函数、幂函数) (...

...一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ24二次函数...

(通用)2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ24二次函数与幂函数学案理_高考_高中教育_教育专区。§2.4 考纲展示? 1.了解幂函数的概念. 二次...

...一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ24二次函数...

(通用)2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ24二次函数与幂函数学案理!_高考_高中教育_教育专区。§2.4 考纲展示? 1.了解幂函数的概念. 二次...

...高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2...

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数教师用书理_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.4 ...

高考理科数学一轮复习题 第二章 基本初等函数、导数及...

高考理科数学一轮复习第二基本初等函数、导数及其应用2015年高考复习6_...第9 课时 函数模型及其应用 1.了解指数函数、 对数函数以及幂函数的增长特征, ...

高考数学二轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数I ...

高考数学轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数I 二次函数与幂函数 理(含试题)_其它课程_初中教育_教育专区。【科学备考】(新课标)2015 高考数学轮复习 ...

高三数学一轮复习第6讲基本初等函数教案

高三数学一轮复习第6讲基本初等函数教案_数学_初中教育_教育专区。基本初等函数 ...函数模型的实际背景; (2)理解有理指数的含义,通过具体实例了解实数指数的...

...高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数课...

2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练8二次函数与幂函数文201807243103_高考_高中教育_教育专区。课时跟踪训练(八) 二次函数与幂函数...

...数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7课...

江苏专用2018高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7课二次函数与幂函数教师用书_数学_高中教育_教育专区。第7课 [最新考纲] 内容 二次函数 幂函数...

...版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I...

创新设计2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第4讲幂函数与二次函数练习理新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数概念与基本初等函数 ...

更多相关标签