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17.2(理)直线和圆锥曲线的参数方程(1)

时间:2012-12-30


(二期课改)

复习引入 由前面曲线参数方程的简单应用的实例不难发

现,应用参数方程的形式往往能比较方便地解决一些
普通方程难于解决的问题.研究一些常见曲线的参数 方程有其必要性.

本节进一步研究直线和圆锥曲线的参数方程及

其简单应用.

新课讲解
一.直线的参数方程建立: (1)如图所示,可得直线的 点方向式方程为:
y

? (2)得直线的参数方程为:d ? (u, v) ? ? x O ? x ? x0 ? ut .(t ? R) ? ? d ? (cos?, sin? ).? ??0, ? ? ? y ? y0 ? vt
(3)若直线的倾斜角为α,其参数方程有可写成为:

x ? x0 y ? y0 ?t ? u v

P(x,y) P0(x0,y0) ?

? x ? x0 ? t cos? .(t ? R) ----(直线的标准参数方程) ? ? y ? y0 ? t sin?

新课讲解
二.研究与探讨: ? x ? x0 ? t cos? 在直线的参数方程 ? .(t ? R) 中,

? y ? y0 ? t sin?

参数t的几何意义的研究.
2 2 2 (1)由上述参数方程可得: ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? t

? PP ? t ? PP0 ? t 0 (2)由 y ? y0 ? t sin?.(0 ? ? ? ? ) 可得出: ①若动点P在定点P0上方时t>0, ? PP0 ? t. ②动点P在定点P0与下方时t<0, ? PP0 ? ?t.
2 2

(注意) 参数t只有在方向向量为单位向量时才具有 上述几何意义.

例题讲解 三直线的参数方程的应用. 已知直线l的参数方程为 ? x ? 3 ? 4 t 例题1 ?

5 .(t ? R) 求过点(4,-1)且与l平行 ? 3 ? y ? ?2 ? t 的直线在y轴上的截距. 5 ?

( 策略: 1)由直线参数方程中各字母的几何意义,可直 接求得所求直线的参数方程: ? 4

? x ? 4? 5t .(t ? R) ? 3 (2)当x=0时求得t及相应 ? y ? ?1 ? t 5 的y的值,就是所求截距. ?

例题讲解
试证明:经过定圆x2+y2=r2内的一定点P0(x0,y0) 例题2 的任意一条弦AB被点P0所分的两部分线段的长度之

乘积是一个定值.
证明:设直线AB的倾斜角为θ,则直线AB的参数方程

? 为: x ? x0 ? t cos?

(t ? R) --代入圆方程可得: ? ? y ? y0 ? t sin? 2 2 2 2 ? t ? 2( x0 cos ? ? y0 sin ? )t ? x0 ? y0 ? r ? 0
? P0 A P0 B ? t1 t2 ? ?t1t2 ? r ? x ? y
2 2 0 2 0 (常数)

感悟: 利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义 解决有关距离问题的优越性.

例题讲解 例题3 据气象预报,现在在气象台A处向东400千米的B 处的海面上有一个台风中心形成,测得台风以每小 时40千米/时的速度向西北方向移动,距离中心300 千米以内的地方都在台风圈内,从现在起,多少时间 后气象台进入台风圈?气象台在台风圈内的时间大 约是多少?(精确度为0.1小时)
y

策略1: (1)如图建立坐标系,则台风 路径所在(射线)的参数方程为:

C(x,y) x

? x ? 400 ? 40t cos135 ? .(t ? 0) ? ? y ? 40t sin 135 ?

O (A)

B

(2)利用距离公式求得参数t的范围,问题得解.

y

策略2

例题讲解

D

x (1)如图建立平面直角坐标系,则 O (A) B 点B的坐标为(400,0),圆A的方程 为:x2+y2=3002. ? x ? 400 ? t cos135 ? ? (t ? 0) (2)射线l的方程就可为: ? ? y ? t sin 135 ? ?

C

(3)代入圆方程可得: t ? 400 2t ? 70000 ? 0
2

(4)线段的长度为: (5)所求时间为:

BC ? t1 ? 200 2 ?100 BD ? t2 ? 200 2 ? 100
? 4 .6 .

BC 40

CD 40

?

DB ? CB 40

? 5.0.

课堂练习

课本P15练习17.2(1): 1 , 2 , 3 .
课堂小结 请根据你在这节课所学的知识谈谈你的收获与体会. 课外作业

课本(P15)练习17.2(1): 1 , 2 , 3.
(补充习题)

*请同学自觉预习新课文*

(*补充习题*)
1.已知抛物线y2=2px(p>0),过抛物线的焦点作倾斜角

为Ф(0<Ф<1800)的直线L,L交抛物线于A、B两点. 试
问:当Ф取何值时AB取得最小值. (利用直线的标准参

数方程求解)


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