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高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理一学案新人教A版必修5

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1.1.1 [学习目标] 正弦定理(一) 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明 方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题. 知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示 文字 语言 符号 语言 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比都相等,该比值为三角形 外接圆的直径 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 则 = = sin A sin B sin C =2R a b c 2.正弦定理的常见变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中 R 为△ABC 外接圆的半径. (2)sin A= ,sin B= ,sin C= (R 为△ABC 外接圆的半径). 2R 2R 2R (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. a b c a+b+c a b c (4) = = = . sin A+sin B+sin C sin A sin B sin C (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. 3.正弦定理的证明 (1)在 Rt△ABC 中,设 C 为直角,如图,由三角函数的定义: sin A= ,sin B= , ∴c= = = = , sin A sin B sin 90° sin C ∴ = = . sin A sin B sin C a c a b c b c c a b c (2)在锐角三角形 ABC 中,设 AB 边上的高为 CD,如图, CD=asin__B=bsin__A, ∴ = , sin A sin B a b 同理,作 AC 边上的高 BE,可得 = , sin A sin C ∴ = = . sin A sin B sin C 1 a c a b c (3)在钝角三角形 ABC 中,C 为钝角,如图, 过 B 作 BD⊥AC 于 D,则 BD=asin(π -C)=asin__C, BD=csin__A,故有 asin C=csin__A, ∴ = , sin A sin C a c 同理, = ,∴ = = . sin A sin B sin A sin B sin C 思考 下列有关正弦定理的叙述:①正弦定理只适用于锐角三角形;②正弦定理不适用于直 角三角形;③在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值;④在△ABC 中, sin A∶sin B∶sin C=BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定, 则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了,所以③正确;由正弦定理可知④正确.故选 B. 知识点二 解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考 正弦定理能解决哪些问题? 答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: ①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角. ) a b a b c 题型一 对正弦定理的理解 例 1 在△ABC 中,若角 A,B,C 对应的三边分别是 a,b,c,则下列关于正弦定理的叙述或 变形中错误的

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