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高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理一学案新人教A版必修5

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1.1.1 [学习目标] 正弦定理(一) 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明 方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题. 知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示 文字 语言 符号 语言 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比都相等,该比值为三角形 外接圆的直径 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 则 = = sin A sin B sin C =2R a b c 2.正弦定理的常见变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中 R 为△ABC 外接圆的半径. (2)sin A= ,sin B= ,sin C= (R 为△ABC 外接圆的半径). 2R 2R 2R (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. a b c a+b+c a b c (4) = = = . sin A+sin B+sin C sin A sin B sin C (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. 3.正弦定理的证明 (1)在 Rt△ABC 中,设 C 为直角,如图,由三角函数的定义: sin A= ,sin B= , ∴c= = = = , sin A sin B sin 90° sin C ∴ = = . sin A sin B sin C a c a b c b c c a b c (2)在锐角三角形 ABC 中,设 AB 边上的高为 CD,如图, CD=asin__B=bsin__A, ∴ = , sin A sin B a b 同理,作 AC 边上的高 BE,可得 = , sin A sin C ∴ = = . sin A sin B sin C 1 a c a b c (3)在钝角三角形 ABC 中,C 为钝角,如图, 过 B 作 BD⊥AC 于 D,则 BD=asin(π -C)=asin__C, BD=csin__A,故有 asin C=csin__A, ∴ = , sin A sin C a c 同理, = ,∴ = = . sin A sin B sin A sin B sin C 思考 下列有关正弦定理的叙述:①正弦定理只适用于锐角三角形;②正弦定理不适用于直 角三角形;③在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值;④在△ABC 中, sin A∶sin B∶sin C=BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定, 则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了,所以③正确;由正弦定理可知④正确.故选 B. 知识点二 解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考 正弦定理能解决哪些问题? 答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: ①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角. ) a b a b c 题型一 对正弦定理的理解 例 1 在△ABC 中,若角 A,B,C 对应的三边分别是 a,b,c,则下列关于正弦定理的叙述或 变形中错误的是( ) A.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.a=b?sin 2A=sin 2B C. b+c = sin A sin B+sin C a D.正弦值较大的角所对的边也较大 2 答案 B 解析 在△ABC 中,由正弦定理得 = = =k(k>0),则 a=ksin A,b=ksin B, sin A sin B sin C a b c c=ksin C,故 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,故 A 正确. 当 A=30°,B=60°时,sin 2A=sin 2B,此时 a ≠b,故 B 错误. 根据比例式的性质易得 C 正确. 大边对大角,故 D 正确. 反思与感悟 (1)定理的内容: = = =2R,在运用正弦定理进行判断时,要 sin A sin B sin C 灵活使用定理的各种变形. (2)如果 = ,那么 a b c a c b d a+b c+d = (b,d≠0)(合比定理); b d a-b c-d = (b,d≠0)(分比定理); b d a+b c+d = (a>b,c>d)(合分比定理); a-b c-d 可以推广为:如果 = =…= ,那么 = =…= = 跟踪训练 1 在△ABC 中,下列关系一定成立的是( A.a>bsin A C.a<bsin A 答案 D 解析 在△ABC 中,B∈(0,π ),∴sin B∈(0,1], ∴ 1 ≥1, sin B B.a=bsin A D.a≥bsin A ) a1 a2 b1 b2 an bn a1 a2 b1 b2 an a1+a2+…+an . bn b1+b2+…+bn a b bsin A 由正弦定理 = 得 a= ≥bsin A. sin A sin B sin B 题型二 用正弦定理解三角形 例 2 (1)在△ABC 中,已知 c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形. (2)在△ABC 中,已知 c= 6,A=45°,a=2,解这个三角形. 解 (1)∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°, 由 a c csin A 10×sin 45° = 得 a= = =10 2. sin A sin C sin C sin 30° 2+ 6 , 4 3 ∵sin 75°=sin(30°+

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