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高一数学集合、函数知识点总结、相应试题及答案

时间:2018-06-27


第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: 1)元素的确定性如:世界上最高的山 2)元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合 {H,A,P,Y} 3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示 同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员}, {太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合: A={我校的篮 球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法: 列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 2) 列举法:{a,b,c??} 描述法:将集合中的元素的公共属 性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形 的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 2 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,; (2)A 与 B 是同一集合。

反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集 ? ? 合 A,记作 A ? B 或 B ? A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相 同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空 集合的真子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 三、集合的运算 运 算 类 型 定 义 由所有属于 A 由 所 有 属 于 集 设 S 是一个集合, 且属于 B 的元 合 A 或属于集合 A 是 S 的一个子 素所组成的集 B 的元素所组成 集,由 S 中所有 合,叫做 A,B 的 的 集 合 , 叫 做 不属于 A 的元素 交 集 . 记 作 A,B 的并集.记 组成的集合,叫 A ? B(读作‘A 作:A ? B(读作 做 S 中子集 A 的 交 B’),即 ‘A 并 B’), 补集(或余集) A ? B= {x|x ? A, 即 且 x ? B}. ={x|x A
?













?

B 记作 C

S

A ,即

A , 或 CSA= { x | x ? S , 且 x ? A}

x ? B}). 韦 恩 图 示 性 A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B? A 质 A? B? B A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A? B? A A? B? B (CuA)
?
A B

A

B

S A

图1

图2

(CuB)

= Cu (A ? B) (CuA)
?

(CuB)

= Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ .

例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒

3.若集合 M={y|y=x2-2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系 是 .
x ? a?

4.设集合 A= ? x 1 ? x ? 2 ? ,B= ? x

,若 A ? B,则 a 的取值范围是

5.50 名学生做的物理、 化学两种实验, 已知物理实 验做得正确得有 40 人,化学实验做得正确得有 31

人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= .

7.已知集合 A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ ,A∩C=Φ ,求 m 的值 (1)已知 A={x ? -3<x<5},B={x ? x<a},若满足 A ? B,则实数 a 的取值范围是 ; (2)已知集合A={x ? x2+x-6=0},集合 B={y ? ay+1=0},若满足 B ? A,则实数 a 所能取的一切值为 . (3)已知集合 A ? { x | a ? x ? 5} , B ? { x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照 某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变 量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称 为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合 而成的.那么, 它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问 题有意义.

? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示 自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图 象.C 上每一点的坐标 (x , y) 均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实 数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区 间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按 某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与 之对应, 那么就称对应 f: ? B 为从集合 A 到集合 A B 的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象) ? B(象)” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象, 并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可

以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有 原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式 的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域 是各段值域的并集. 补充:复合函数 如 果 y=f(u)(u ∈ M),u=g(x)(x ∈ A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,2, x 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在 这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减 区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单 调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升 的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方); 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); 5 ○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单

调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同 增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区 间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并 集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原 点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于 原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(- x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =- f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否关于原 点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x) /f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数 的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求 两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间 的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法

2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大 (小)值 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区 间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最 大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区 间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最 小值 f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴y ?
x ? 2 x ? 15
2

x?3 ?3

⑵y ?

1? (

x ?1 x ?1

)

2

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1] ,则函数 f ( x ) 的定义域为_
2

_

3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 2 , 3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 4.函数 f ( x ) ? ? x ?
? x ? 2 ( x ? ? 1)
2

(?1 ? x ? 2)

,若 f ( x ) ? 3 ,则 x =

?2 x( x ? 2) ?

5.求下列函数的值域: ⑴y ? x
2

? 2x ? 3

(x ? R)

⑵y ? x

2

? 2x ? 3
2

x ? [1, 2]

(3) y ? x ?

1? 2x
2

(4) y ?
? 4x

?x ? 4x ? 5

6.已知函数 f ( x ? 1) ? x

,求函数 f ( x ) , f (2 x ? 1) 的解析式 。
f ( x ) ? x (1 ?
3

7.已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 3 x ? 4 ,则 f ( x ) = 8.设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ? ? ) 时,
x ? ( ? ? , 0)
x)

,则当

时 f (x) = R 上的解析式为

f (x) 在

9.求下列函数的单调区间: ⑴
2

y ? x ? 2x ? 3
2


3

y ?

?x ? 2x ? 3
2



y ? x ? 6 x ?1

10.判断函数 y ? ? x

?1
2

的单调性并证明你的结论.
x

11.设函数 f ( x ) ? 1 ? x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x ) .
1? x
2

(数学 1 必修)第一章(上)
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列各项中,不可以组成集合的是( A.所有的正数 C.接近于 0 的数 A. { x | x ? 3 ? 3}
2

集合



B.等于 2 的数 D.不等于 0 的偶数 )
2 2

2.下列四个集合中,是空集的是(
2

B. {( x , y ) | y ? ? x , x , y ? R }

C. { x | x ? 0} D. { x | x ? x ? 1 ? 0 , x ? R } 3.下列表示图形中的阴影部分的是( ) A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) A B. ( A ? B ) ? ( A ? C ) C. ( A ? B ) ? ( B ? C ) D. ( A ? B ) ? C 4.下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1 ; (2)若 ? a 不属于 N ,则 a 属于 N ; (3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2 ;
2 (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ?1,1? ;

B

C

其中正确命题的个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

D. 3 个

5.若集合 M ? ? a , b , c ? 中的元素是△ A B C 的三边长, 则△ A B C 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 6.若全集 U ? ? 0,1, 2, 3? 且 C U A ? ? 2 ? ,则集合 A 的真子集共有( A. 3 个 B. 5 个 C. 7 个 D. 8 个 )

二、填空题

1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 ______ N , (2) ?
1 2

5 ______ N ,

16 ______ N

_ _ _ _ _ _ Q , ? _ _ _ _ _ _ _ Q , e _ _ _ _ _ _ C R Q ( e 是个无理数)
3 ? 2? 3 ________ x | x ? a ?

(3) 2 ?

?

6b, a ? Q , b ? Q

?

2. 若集合 A ? ? x | x ? 6, x ? N ? , B ? { x | x 是 非 质 数 } , C ? A ? B ,则 C 的 非空子集的个数为 。

3.若集合 A ? ? x | 3 ? x ? 7 ? , B ? ? x | 2 ? x ? 1 0 ? ,则 A ? B ? _____________. 4.设集合 A ? { x ? 3 ? x ? 2} , B ? { x 2 k ? 1 ? x ? 2 k ? 1} ,且 A ? B , 则实数 k 的取值范围是 。

5.已知 A ? y y ? ? x ? 2 x ? 1 , B ? ? y y ? 2 x ? 1? ,则 A ? B ? _________。
2

?

?

三、解答题 1.已知集合 A ? ? x ? N |
? ? ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A 。 6? x ? 8

2.已知 A ? { x ? 2 ? x ? 5} , B ? { x m ? 1 ? x ? 2 m ? 1} , B ? A ,求 m 的取值范围。 3.已知集合 A ? ? a 2 , a ? 1, ? 3? , B ? ? a ? 3, 2 a ? 1, a 2 ? 1? ,若 A ? B ? ? ? 3? , 求实数 a 的值。 4 . 设 全
2



U ? R



M ? ?m | 方 程 m x ? x ? 1 ? 0有 实 数 根 ?
2



N ? ?n | 方 程 x ? x ? n ? 0有 实 数 根 ? , 求 ? CU M

??

N.

(数学 1 必修)第一章(上)
[综合训练 B 组]
一、选择题
1.下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合;

集合

(2)集合 ?y | y ? x ? 1? 与集合 ?? x , y ? | y ? x ? 1? 是同一个集合;
2 2

(3) 1,

3 6 1 , , ? , 0 .5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2 4 2

(4)集合 ?? x , y ? | xy ? 0 , x , y ? R ? 是指第二和第四象限内的点集。

A. 0 个 A. 1

B. 1 个 B. ? 1

C. 2 个 C. 1 或 ? 1

D. 3 个 ) D. 1 或 ? 1 或 0

2.若集合 A ? {? 1,1} , B ? { x | mx ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为(

3.若集合 M ? ? ( x , y ) x ? y ? 0 ? , N ? ( x , y ) x ? y ? 0, x ? R , y ? R ,则有(
2 2

?

?



A. M ? N ? M 4.方程组 ?
?x ? y ? 1 ?x
2

B. M ? N ? N 的解集是( )

C. M ? N ? M

D. M ? N ? ?

? y

2

? 9

A. ? 5, 4 ?

B. ?5 , ? 4 ?

C. ?? ? 5 , 4 ?? ) B. Z
?

D. ??5 , ? 4 ?? 。

5.下列式子中,正确的是( A. R ? R
?

? ?x | x ? 0 , x ? Z ?

C.空集是任何集合的真子集 6.下列表述中错误的是( A.若 A ? B , 则 A ? B ? A B.若 A ? B ? B ,则 A ? B C. ( A ? B )
A

D. ? ? ?? ?



(A ? B)

D. C U ? A ? B ? ? ?C U A ? ? ?C U B ?

二、填空题
1.用适当的符号填空 (1) 3 ______ ?x | x ? 2 ?, ?1, 2 ? ____ ?? x , y ? | y ? x ? 1? (2) 2 ? (3) ? x |
? ? 1
5 _______

?x | x ? 2 ?

3 ,

?

? 3 ? x , x ? R ? _ _ _ _ _ _ _ ? x | x ? x ? 0? x ?

2.设 U ? R , A ? ?x | a ? x ? b ?, C U A ? ?x | x ? 4 或 x ? 3? 则 a ? __________
_, b ? __________



3.某班有学生 5 5 人,其中体育爱好者 4 3 人,音乐爱好者 3 4 人,还有 4 人既不爱好体育也 不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。 4.若 A ? ?1, 4, x ? , B ? ?1, x 2 ? 且 A ? B ? B ,则 x ? 。

5.已知集合 A ? { x | ax

2

? 3 x ? 2 ? 0} 至多有一个元素,则 a 的取值范围



若至少有一个元素,则 a 的取值范围 三、解答题



1.设 y ? x ? ax ? b , A ? ? x | y ? x ? ? ? a ? , M ? ? ? a , b ?? , 求 M
2

2.设 A ? { x x ? 4 x ? 0} , B ? { x x ? 2 ( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,
2 2 2

如果 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。 3. 集合 A ? ? x | x 2 ? a x ? a 2 ? 1 9 ? 0 ? ,B ? ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ? ,C ? ? x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? 满足 A ? B ? ? , , A ? C ? ? , 求实数 a 的值。 4.设 U ? R ,集合 A ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ? , B ? ? x | x 2 ? ( m ? 1) x ? m ? 0 ? ; 若 ( C U A ) ? B ? ? ,求 m 的值。

(数学 1 必修)第一章(上)
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若集合 X A. 0 ? C. ? ?
X
? { x | x ? ? 1} ,下列关系式中成立的为(

集合



B. ? 0 ? ? D. ? 0? ?

X

X

X

2. 5 0 名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格 4 0 人和 31 人, ) 2 项测验成绩均不及格的有 4 人, 2 项测验成绩都及格的人数是( A. 3 5 B. 2 5 C. 2 8 D. 15 3.已知集合 A ? x | x ?
2

?

m x ? 1 ? 0 , 若 A ? R ? ?, 则实数 m 的取值范围是(

?



A. m ? 4 B. m ? 4 C. 0 ? m ? 4 D. 0 ? m ? 4 4.下列说法中,正确的是( ) A. 任何一个集合必有两个子集; B. 若 A ? B ? ? , 则 A , B 中至少有一个为 ? C. 任何集合必有一个真子集; D. 若 S 为全集,且 A ? B ? S , 则 A ? B ? S , 5.若 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( )

(1)若 A ? B ? ? , 则 ?C U A ? ? ?C U B ? ? U (2)若 A ? B ? U , 则 ?C U A ? ? ?C U B ? ? ? (3)若 A ? B ? ? ,则 A ? B ? ? A. 0 个 6.设集合 M B. 1 个
? {x | x ? k 2 ? 1 4

C. 2 个

D. 3 个
k 4 ? 1 2 , k ? Z } ,则(

, k ? Z } , N ? {x | x ?



A. M ? N C. N
M

B. M

N

D. M ? N ? ? )

7.设集合 A ? { x | x 2 ? x ? 0}, B ? { x | x 2 ? x ? 0} ,则集合 A ? B ? ( A. 0 B. ? 0 ? C. ? D. ? ? 1, 0,1?

二、填空题
1.已知 M ? ?y | y ? x ? 4 x ? 3 , x ? R ? , N ? ?y | y ? ? x ? 2 x ? 8 , x ? R ?
2 2

则 M ? N ? __________


10 m ?1 ? Z , m ? Z} =

2.用列举法表示集合: M ? { m |



3.若 I ? ? x | x ? ? 1, x ? Z ? ,则 C I N =

。 。

( ? 4.设集合 A ? ?1, 2? , B ? ?1, 2, 3? , C ? ? 2, 3, 4 ? 则 A ? B) C ?

5.设全集 U ? ? ( x , y ) x , y ? R ? ,集合 M ? ? ( x , y )
?

?

? ? 1? , N ? ? ( x , y ) y ? x ? 4? , x?2 ?

y?2

那么 ( C U M ) ? ( C U N ) 等于________________。 三、解答题 1.若 A ? ?a , b ?, B ? ?x | x ? A ?, M ? ? A ?, 求 C B M .
2 2.已知集合 A ? ? x | ? 2 ? x ? a ? , B ? ? y | y ? 2 x ? 3, x ? A ? , C ? ? z | z ? x , x ? A ? ,

且 C ? B ,求 a 的取值范围。 3.全集 S ? ?1, 3, x 3 ? 3 x 2 ? 2 x ? , A ? ?1, 2 x ? 1 ? ,如果 C S A ? ?0 ?, 则这样的 实数 x 是否存在?若存在,求出 x ;若不存在,请说明理由。 4.设集合 A ? ?1, 2, 3, ...,1 0 ? , 求集合 A 的所有非空子集元素和的和。

(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ⑴ y1 ? ⑵ y1 ?
( x ? 3 )( x ? 5 ) x?3
x ?1



, y2 ? x ? 5 ;
( x ? 1)( x ? 1) ;

x ? 1 , y2 ?

⑶ f (x) ? x , g ( x) ?

x

2



⑷ f (x) ? 3 x4 ? x3 , F (x) ? x 3 x ? 1 ; ⑸ f1 ( x ) ? ( 2 x ? 5 ) 2 , f 2 ( x ) ? 2 x ? 5 。 A.⑴、⑵ B.⑵、⑶ C.⑷ D.⑶、⑸ ) 2.函数 y ? f ( x ) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 1 或 2
*

3.已知集合 A ? ?1, 2, 3, k ? , B ? ? 4, 7 , a 4 , a 2 ? 3 a ? ,且 a ? N , x ? A , y ? B 使 B 中元素 y ? 3 x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a , k 的值分别为( A. 2 , 3 B. 3, 4 C. 3, 5 D. 2 , 5 )

? x ? 2 ( x ? ? 1) ? 2 4.已知 f ( x ) ? ? x ( ? 1 ? x ? 2 ) ,若 f ( x ) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?



A. 1

B. 1 或

3 2

C. 1 ,

3 2

或? 3

D. 3

5.为了得到函数 y ? f ( ? 2 x ) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x ) 的图象适当平移, 这个平移是( ) B.沿 x 轴向右平移 D.沿 x 轴向左平移
1 2 1 2

A.沿 x 轴向右平移 1 个单位 C.沿 x 轴向左平移 1 个单位
? x ? 2 , ( x ? 10 )

个单位 个单位

6.设 f ( x ) ? ? A. 10

? f [ f ( x ? 6 )], ( x ? 10 )

则 f ( 5 ) 的值为(



B. 1 1

C. 12

D. 13

二、填空题

?1 ? 2 x ? 1( x ? 0 ), ? 1.设函数 f ( x ) ? ? 若 f ( a ) ? a . 则实数 a 的取值范围是 ?1 ( x ? 0 ). ?x ?



2.函数 y ?

x?2 x ?4
2

的定义域
2



3.若二次函数 y ? a x ? b x ? c 的图象与 x 轴交于 A ( ? 2, 0), B (4, 0) ,且函数的最大值为 9 , 则这个二次函数的表达式是 。

4.函数 y

?

( x ? 1)

0

x ? x
2

的定义域是_____________________。

5.函数 f ( x ) ? x ? x ? 1 的最小值是_________________。 三、解答题
3

1.求函数 f ( x ) ?

x ?1 x ?1

的定义域。

2.求函数 y ?

x ? x ? 1 的值域。
2
2

3. x1 , x 2 是关于 x 的一元二次方程 x ? 2( m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,又 y ? x1 2 ? x 2 2 , 求 y ? f ( m ) 的解析式及此函数的定义域。 4. 已知函数 f ( x ) ? ax ? 2 ax ? 3 ? b ( a ? 0) 在 [1, 3] 有最大值 5 和最小值 2 , a 、b 的值。 求
2

(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示
[综合训练 B 组]
一、选择题 1.设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x ) ,则 g ( x ) 的表达式是( A. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3 2.函数 f ( x ) ? A. 3 C. 3或 ? 3 B. 2 x ? 1 D. 2 x ? 7
cx 2x ? 3 ,(x ? ? 3 2 ) 满足 f [ f ( x )] ? x , 则常数 c 等于(





B. ? 3 D. 5 或 ? 3
1? x x
2 2

3.已知 g ( x ) ? 1 ? 2 x , f [ g ( x )] ? A. 15 B. 1

1 ( x ? 0 ) ,那么 f ( ) 等于( 2



C. 3 D. 3 0 4.已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ? 2 , 3 ] ,则 y ? f ( 2 x ? 1) 的定义域是( A. [ 0 ,
5 2 ]



B. [ ? 1 , 4 ] D. [ ? 3 , 7 ]
? x ? 4 x 的值域是(
2

C. [ ? 5 , 5 ] 5.函数 y ? 2 ? A. [ ? 2, 2] C. [0 , 2 ] 6.已知 f ( A. C.
1? x 1? x )?



B. [1, 2 ] D. [ ? 2 , 2 ]
1? x 1? x
2 2

,则 f ( x ) 的解析式为(
2x 1? x x 1? x
2



x 1? x 2x 1? x
2

B. ? D. ?

2

2

二、填空题
?3 x 2 ? 4( x ? 0) ? 1.若函数 f ( x ) ? ? ? ( x ? 0 ) ,则 f ( f (0)) = ?0( x ? 0) ?



2.若函数 f ( 2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f ( 3 ) =
2

. 。

3.函数 f ( x ) ?

2 ?

1 x ? 2x ? 3
2

的值域是

4.已知 f ( x ) ? ?

?1, x ? 0 ? ? 1, x ? 0

,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是



5. 设函数 y ? a x ? 2 a ? 1 , ? 1 ? x ? 1 时,y 的值有正有负, 当 则实数 a 的范围 三、解答题 1.设 ? , ? 是方程 4 x ? 4 m x ? m ? 2 ? 0, ( x ? R ) 的两实根,当 m 为何值时,
2



? ? ? 有最小值?求出这个最小值.
2 2

2.求下列函数的定义域 (1) y ?
x?8 ? 3? x

(2) y ?

x ?1 ?
2

1? x

2

x ?1

(3) y ?
1?

1 1 1? 1 x ? x

3.求下列函数的值域 (1) y ?
3? x 4? x
2

(2) y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

(3) y ?

1 ? 2x ? x

4.作出函数 y ? x ? 6 x ? 7 , x ? ?3 , 6 ? 的图象。

函数及其表示[提高训练 C 组]
一、选择题
1.若集合 S ? ? y | y ? 3 x ? 2, x ? R ? , T ? ? y | y ? x 2 ? 1, x ? R ? , 则 S ? T 是( ) A. S B. T C. ? D.有限集 2.已知函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? ? 1 对称,且当 x ? ( 0 , ?? ) 时, 有 f (x) ? A. ?
1 x 1 x , 则当 x ? ( ?? , ? 2 ) 时, f ( x ) 的解析式为(



B. ?
x x

1 x?2

C.

1 x? 2

D. ?

1 x?2

3.函数 y ?

? x 的图象是(



4. 若函数 y ? x ? 3 x ? 4 的定义域为 [0, m ] ,值域为 [ ?
2

25 4

, 4 ] , m 的取值范围是 ? 则 (



A. ? 0 , 4 ?
3] C. [ , 2 3

B. [ , 4 ]
2 3 ? D. [ , ? ) 2
2

3

5.若函数 f ( x ) ? x ,则对任意实数 x1 , x 2 ,下列不等式总成立的是( A. f (
x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2



B. f (

x1 ? x 2 2

)?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

C. f (

x1 ? x 2 2

)?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2
2

D. f (

x1 ? x 2 2

)?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

6.函数 f ( x ) ? ?

? 2 x ? x (0 ? x ? 3) ? ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0) ?
2

的值域是(



A. R

B. ? ? 9, ? ? ?

C. ? ? 8,1 ?

D. ? ? 9,1 ?

二、填空题
1.函数 f ( x ) ? ( a ? 2) x ? 2( a ? 2) x ? 4 的定义域为 R ,值域为 ? ? ? , 0 ? ,
2

则满足条件的实数 a 组成的集合是



2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1] ,则函数 f ( x ? 2 ) 的定义域为__________。 3.当 x ? _______ 时,函数 f ( x ) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a 2 ) 2 ? ... ? ( x ? a n ) 2 取得最小值。 4.二次函数的图象经过三点 A ( , ), B ( ? 1, 3), C ( 2, 3) ,则这个二次函数的
2 4 1 3

解析式为 5.已知函数 f ( x ) ? ?
?x2 ? 1 ? ? 2x ( x ? 0) ( x ? 0)

。 ,若 f ( x ) ? 1 0 ,则 x ? 。

三、解答题
1.求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域。 2.利用判别式方法求函数 y ?
2x ? 2x ? 3
2

x ? x ?1
2
2

的值域。
2

3.已知 a , b 为常数,若 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3, f ( ax ? b ) ? x ? 10 x ? 24, 则求 5 a ? b 的值。 4.对于任意实数 x ,函数 f ( x ) ? (5 ? a ) x ? 6 x ? a ? 5 恒为正值,求 a 的取值范围。
2

(数学 1 必修)第一章(下)
[基础训练 A 组] 一、选择题

函数的基本性质

1.已知函数 f ( x ) ? ( m ? 1) x ? ( m ? 2 ) x ? ( m ? 7 m ? 12 ) 为偶函数, 则 m 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2

2.若偶函数 f ( x ) 在 ? ? ? ,? 1? 上是增函数,则下列关系式中成立的是(



A. f ( ?

3 2

) ? f ( ? 1) ? f ( 2 ) 3 2 ) ? f (2) 3 2 )

B. f ( ? 1) ? f ( ?

C. f ( 2 ) ? f ( ? 1) ? f ( ? D. f ( 2 ) ? f ( ?
3 2

) ? f ( ? 1)

3.如果奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7 ] 上是增函数且最大值为 5 , 那么 f ( x ) 在区间 ?? 7 , ? 3 ? 上是( A.增函数且最小值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 ) B.增函数且最大值是 ? 5 D.减函数且最小值是 ? 5

4.设 f ( x ) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) 在 R 上一定是( ) A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

B.偶函数 D.非奇非偶函数。 )

5.下列函数中,在区间 ? 0 ,1 ? 上是增函数的是( A. y ? x C. y ?
1 x

B. y ? 3 ? x D. y ? ? x ? 4
2

6.函数 f ( x ) ? x ( x ? 1 ? x ? 1 ) 是( A.是奇函数又是减函数 B.是奇函数但不是减函数 C.是减函数但不是奇函数 D.不是奇函数也不是减函数



二、填空题
1. 设奇函数 f ( x ) 的定义域为 ? ? 5, 5 ? , 若当 x ? [0, 5] 时,
f ( x ) 的图象如右图,则不等式 f ( x ) ? 0 的解是

2.函数 y ? 2 x ?

x ? 1 的值域是________________。
x?2 ? 1 ? x 的值域是

3.已知 x ? [0,1] ,则函数 y ?
2

. .

4.若函数 f ( x ) ? ( k ? 2 ) x ? ( k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x ) 的递减区间是 5.下列四个命题 (1) f ( x ) ?
x?2 ? 1 ? x 有意义;

(2)函数是其定义域到值域的映射;
?x2, x ? 0 ? ?? x , x ? 0 ?
2

(3)函数 y ? 2 x ( x ? N ) 的图象是一直线;(4)函数 y ? ?

的图象是抛物线,

其中正确的命题个数是____________。

三、解答题
1.判断一次函数 y ? kx ? b , 反比例函数 y ? 单调性。 2.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ? 1,1 ? ,且同时满足下列条件:(1) f ( x ) 是奇函数; (2) f ( x ) 在定义域上单调递减;(3) f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0, 求 a 的取值范围。
2

k x

,二次函数 y ? ax

2

? bx ? c 的

3.利用函数的单调性求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域; 4.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 2, x ? ? ? 5, 5 ? .
2

① 当 a ? ? 1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x ) 在区间 ?? 5 , 5 ? 上是单调函数。

(数学 1 必修)第一章(下) 函数的基本性质[综合训练 B 组]
一、选择题
1.下列判断正确的是( A.函数 f ( x ) ?
x
2

) 是奇函数 B.函数 f ( x ) ? (1 ? x )
1? x 1? x

? 2x

x?2
2

是偶函数

C.函数 f ( x ) ? x ?
2

x ? 1 是非奇非偶函数

D.函数 f ( x ) ? 1 既是奇函数又是偶函数 )

2.若函数 f ( x ) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( A. ? ? ? , 4 0 ? C. ? ? ? , 4 0 ? ? ? 6 4, ? ? ? 3.函数 y ?
x ?1 ?

B. [40, 64] D. ? 6 4, ? ? ? )

x ? 1 的值域为(

? C. ?

A. ? ? , 2
2 , ??

?

B. 0 , 2

?

?

?

D. ?0 , ?? ?
2

4.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 1 ? x ? 2 在区间 ? ? ? , 4 ? 上是减函数, 则实数 a 的取值范围是( A. a ? ? 3 B. a ? ? 3 ) C. a ? 5 D. a ? 3

5.下列四个命题:(1)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数,所以 f ( x ) 是增函数;
2 (2)若函数 f ( x ) ? a x ? b x ? 2 与 x 轴没有交点,则 b ? 8 a ? 0 且 a ? 0 ;(3) y ? x ? 2 x ? 3 的

2

2

递增区间为 ?1, ? ? ? ;(4) y ? 1 ? x 和 y ?

(1 ? x ) 表示相等函数。
2

其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中 纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的 是( ) d d0 d d0 d d0 d d0

O A.

t0 t B.

O

t0 t

O C.

t0 t

O D.

t0 t

二、填空题
1.函数 f ( x ) ? x ? x 的单调递减区间是____________________。
2
2 2.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? | x | ? 1 ,

那么 x ? 0 时, f ( x ) ? 3.若函数 f ( x ) ?
x?a x ? bx ? 1
2

. 在 ? ? 1,1 ? 上是奇函数,则 f ( x ) 的解析式为________.

4.奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7 ] 上是增函数,在区间 [3, 6 ] 上的最大值为 8 , 最小值为 ? 1 ,则 2 f ( ? 6) ? f ( ? 3) ? __________。 5.若函数 f ( x ) ? ( k ? 3 k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。
2

三、解答题
1.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) ?
1? x
2

x?2 ?2

(2) f ( x ) ? 0, x ? ? ? 6, ? 2 ? ? ? 2, 6 ?

2.已知函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,且对任意 a , b ? R ,都有 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) , 且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 恒成立,证明:(1)函数 y ? f ( x ) 是 R 上的减函数; (2)函数 y ? f ( x ) 是奇函数。 3.设函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的定义域是 x ? R 且 x ? ? 1 , f ( x ) 是偶函数, g ( x ) 是奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ?
1 x ?1

,求 f ( x ) 和 g ( x ) 的解析式.

2 4.设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? | x ? a | ? 1 , x ? R

(1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的最小值。

(数学 1 必修)第一章(下)
[提高训练 C 组] 一、选择题

函数的基本性质

?? x2 ? x ? x ? 0? ? 1.已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0 ? , h ? x ? ? ? 2 , ?x ? x ? x ? 0? ?

则 f ? x ? , h ? x ? 的奇偶性依次为( A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数



B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

2.若 f ( x ) 是偶函数,其定义域为 ? ? ? , ?? ? ,且在 ?0 , ?? ? 上是减函数, 则 f (? A. f ( ? C. f ( ?
3 2 3 2 3 2
2

)与 f ( a

2

? 2a ?

5 2 5 2

) 的大小关系是( ) )


2

) > f (a ? 2a ?
2

B. f ( ? D. f ( ?

3 2 3 2

) < f (a ? 2a ? ) ? f (a ? 2a ?
2

5 2

) )

) ? f (a ? 2a ?
2

5 2

5 2

3.已知 y ? x ? 2 ( a ? 2 ) x ? 5 在区间 (4, ? ? ) 上是增函数, 则 a 的范围是( ) A. a ? ? 2 B. a ? ? 2 C. a ? ? 6 D. a ? ? 6 4.设 f ( x ) 是奇函数,且在 (0, ? ? ) 内是增函数,又 f ( ? 3) ? 0 , 则 x ? f ( x ) ? 0 的解集是( ) A. ? x | ? 3 ? x ? 0 或 x ? 3? C. ? x | x ? ? 3或 x ? 3?
3

B. ? x | x ? ? 3或 0 ? x ? 3? D. ? x | ? 3 ? x ? 0 或 0 ? x ? 3?

5.已知 f ( x ) ? a x ? b x ? 4 其中 a , b 为常数,若 f ( ? 2) ? 2 ,则 f ( 2 ) 的 值等于( A. ? 2 ) B. ? 4

C. ? 6

D. ? 10 )

6.函数 f ( x ) ? x 3 ? 1 ? x 3 ? 1 ,则下列坐标表示的点一定在函数 f(x)图象上的是( A. ( ? a , ? f ( a )) B. ( a , f ( ? a ))

C. ( a , ? f ( a ))

D. ( ? a , ? f ( ? a ))

二、填空题
1.设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? ? 0, ? ? ? 时, f ( x ) ? x (1 ? 则当 x ? ( ? ? , 0) 时 f ( x ) ? _____________________。 2.若函数 f ( x ) ? a x ? b ? 2 在 x ? ? 0, ? ? ? 上为增函数,则实数 a , b 的取值范围是
x
2 2
3

x) ,



3.已知 f ( x ) ? 4.若 f ( x ) ?

1?x

,那么 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( ) ? f ( 3 ) ? f ( ) ? f ( 4 ) ? f ( ) =_____。
2 3 4

1

1

1

在区间 ( ? 2, ? ? ) 上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2 4 ( x ? [3, 6 ]) 的值域为____________。 5.函数 f ( x ) ? x?2

ax ? 1



三、解答题
1.已知函数 f ( x ) 的定义域是 ( 0 , ?? ) ,且满足 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , f ( ) ? 1 ,
2 1

如果对于 0 ? x ? y ,都有 f ( x ) ? f ( y ) , (1)求 f (1) ; (2)解不等式
f ( ? x ) ? f (3 ? x ) ? ? 2 。
2 2

2.当 x ? [ 0 ,1] 时,求函数 f ( x ) ? x ? ( 2 ? 6 a ) x ? 3 a 的最小值。 3.已知 f ( x ) ? ? 4 x ? 4 a x ? 4 a ? a 在区间 ? 0,1 ? 内有一最大值 ? 5 ,求 a 的值.
2 2

4. 已知函数 f ( x ) ? ax ?

3 2

x 的最大值不大于

2

1 6

, 又当 x ? [ , ]时 , f ( x ) ?
4 2

1 1

1 8

, a 的值。 求

(数学 1 必修)第一章(上)
一、选择题 1. 1. D
0 ? ? 1, 0 ? X , ? 0 ? ? X

[提高训练 C 组]

B 全班分 4 类人:设两项测验成绩都及格的人数为 x 人;仅跳远及格的人数 为 4 0 ? x 人;仅铅球及格的人数为 31 ? x 人;既不爱好体育又不爱好音乐的 人数为 4 人 。∴ 40 ? x ? 31 ? x ? x ? 4 ? 50 ,∴ x ? 25 。

3. 4.

2 C 由 A ? R ? ? 得 A ? ? , ? ? ( m ) ? 4 ? 0, m ? 4, 而 m ? 0, ∴ 0 ? m ? 4 ;

D

选项 A: ? 仅有一个子集,选项 B:仅说明集合 A , B 无公共元素,

选项 C: ? 无真子集,选项 D 的证明:∵ ( A ? B ) ? A , 即 S ? A , 而 A ? S ,

∴ A ? S ;同理 B ? S , ∴ A ? B ? S ; 5. D (1) ( C U A ) ? ( C U B ) ? C U ( A ? B ) ? C U ? ? U ; (2) ( C U A ) ? ( C U B ) ? C U ( A ? B ) ? C U U ? ? ; (3)证明:∵ A ? ( A ? B ), 即 A ? ? , 而 ? ? A ,∴ A ? ? ; 同理 B ? ? , ∴ A ? B ? ? ;
2k ? 1 奇 数 k ? 2 整数 , , ;N : ,整数的范围大于奇数的范围 4 4 4 4

6.

B

M :

7.B

A ? ? 0,1? , B ? ? ? 1, 0 ?

二、填空题
1.

? x | ?1 ?
M ? N ?

x ? 9?
2

?y | y ? x

? 4 x ? 3, x ? R ? ?
2

? y | y ?( x ? 2) ? 1 ? ? 1?
2

?y | y ? ?x

? 2 x ? 8, x ? R ? ?

( ? y | y ? ? x ? 1) ? 9 ? 9?
2

2. 3. 4. 5.

?? 11 , ? 6 , ? 3, ? 2 , 0 ,1, 4 ,9 ?
?? 1?
234 ?1,,,?

m ? 1 ? ? 10, ? 5, ? 2, 或 ? 1 ( 10 的约数)

I ? ? ? 1? ? N , C I N ? ? ? 1? A ? B ? ?1,? 2
M : y ? x ? 4 ( x ? 2 ) , M 代表直线 y ? x ? 4 上,但是

?? 2 , ? 2 ??

挖掉点 (2, ? 2) , C U M 代表直线 y ? x ? 4 外,但是包含点 (2, ? 2) ;
N 代表直线 y ? x ? 4 外, C U N 代表直线 y ? x ? 4 上,

∴ ( C U M ) ? ( C U N ) ? ? ( 2, ? 2 )? 。 三、解答题 1. 解: x ? A , 则 x ? ? , ? a ? , ? b ? , 或 ? a , b ? , B ? ?? , ? a ? , ? b ? , ? a , b ?? ∴ C B M ? ?? , ? a ? , ? b ? ? 2. 解: B ? ? x | ? 1 ? x ? 2 a ? 3? ,当 ? 2 ? a ? 0 时, C ? ? x | a 2 ? x ? 4 ? , 而 C ? B 则 2 a ? 3 ? 4, 即 a ?
1 2 , 而 ? 2 ? a ? 0, 这是矛盾的;

当 0 ? a ? 2 时, C ? ? x | 0 ? x ? 4? ,而 C ? B , 则 2 a ? 3 ? 4, 即 a ?
1 2 ,即 1 2 ? a ? 2;

当 a ? 2 时, C ? ? x | 0 ? x ? a 2 ? ,而 C ? B , 则 2 a ? 3 ? a ,即 2 ? a ? 3 ; ∴
2

1 2

? a ?3

3. 解:由 C S A ? ? 0 ? 得 0 ? S ,即 S ? ?1, 3, 0 ? , A ? ?1, 3? , ∴?
? 2x ?1 ? 3 ? ? x ? 3x ? 2x ? 0 ?
3 2

,∴ x ? ? 1

4. 解:含有 1 的子集有 2 个;含有 2 的子集有 2 个;含有 3 的子集有 2 个;…, 含有 10 的子集有 2 个,∴ (1 ? 2 ? 3 ? ... ? 1 0 ) ? 2 ? 2 8 1 6 0 。
9
9

9

9

9

(数学 1 必修)第一章(中)
一、选择题 1. 2. B
S ? R , T ? ? ? 1, ? ? ? , T ? S

[提高训练 C 组]

D 设 x ? ? 2 ,则 ? x ? 2 ? 0 ,而图象关于 x ? ? 1 对称, 得 f ( x) ? f (? x ? 2) ?
? x ? 1, x ? 0 y ? ? ? x ? 1, x ? 0
1 ?x ? 2

,所以 f ( x ) ? ?

1 x?2



3. 4. 5.

D C A

作出图象 m 的移动必须使图象到达最低点 作出图象 图象分三种:直线型,例如一次函数的图象:向上弯曲型,例如
2 2

二次函数 f ( x ) ? x 的图象;向下弯曲型,例如 二次函数 f ( x ) ? ? x 的图象; 6. C 作出图象 也可以分段求出部分值域,再合并,即求并集 当 a ? 2时 , f ( x ) ? ? 4, 其 值 域 为 ? - 4 ? ? ? ? ? , 0 ? 当 a ? 2时 , f ( x ) ? 0, 则 ?
?a ? 2 ? 0 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0
2

二、填空题
1.

? ? 2?

, a ? ?2

2. 3.

? 4, 9 ?

0?

x ? 2 ? 1, 得 2 ?

x ? 3, 即 4 ? x ? 9
2 2 2 2

a 1 ? a 2 ? ... ? a n n

f ( x ) ? nx ? 2( a1 ? a 2 ? ... ? a n ) x ? ( a1 ? a 2 ? ... ? a n )

当x ? 4. 5.
2

a 1 ? a 2 ? ... ? a n n

时, f ( x ) 取得最小值
1 3 2 4

y ? x ? x ?1

设 y ? 3 ? a ( x ? 1)( x ? 2 ) 把 A ( , ) 代入得 a ? 1

?3

2 由 1 0 ? 0 得 f ( x ) ? x ? 1 ? 1 0, 且 x ? 0, 得 x ? ? 3

三、解答题
1. 解:令 1 ? 2 x ? t , ( t ? 0 ) ,则 x ?
y ? ?
2

1? t 2

2

,y ?

1? t 2

2

?t ? ?

1 2

t ?t?
2

1 2

1 2

( t ? 1 ) ? ,当 t ? 1 时, y m 1
2

a x

? 1 ,所 以 y ? ? ? ? , ?1

2. 解: y ( x ? x ? 1) ? 2 x ? 2 x ? 3, ( y ? 2) x ? ( y ? 2) x ? y ? 3 ? 0, (*)
2 2

显然 y ? 2 ,而(*)方程必有实数解,则
? ? ( y ?2 )
2

? 4y (
2

? 2y( ? )

3 ? 0y ? (2, ) ,∴
2

10 3

]

3. 解: f ( ax ? b ) ? ( ax ? b ) ? 4( ax ? b ) ? 3 ? x ? 10 x ? 24,
a x ? ( 2 a b 4 a) ? ? x
2 2 2

b? 4 b 3 ? ?

2

x ?1 0 x 2 4 , ?

?a2 ? 1 ?a ? 1 ?a ? ?1 ? ∴ ? 2 a b ? 4 a? 1 0 得 ? ,或 ? ?b ? 3 ?b ? ?7 ? 2 ? b ? 4b ? 3? 2 4

∴ 5a ? b ? 2 。 4. 解:显然 5 ? a ? 0 ,即 a ? 5 ,则 ?
?a ? 5 ?a ? 16 ? 0
2

?5 ? a ? 0 ? ? ? 3 6 ? 4 (5 ? a )( a ? 5) ? 0

得?

,∴ ? 4 ? a ? 4 .

(数学 1 必修)第一章(下)
一、选择题 1. C

[综合训练 B 组]

选项 A 中的 x ? 2 , 而 x ? ? 2 有意义,非关于原点对称,选项 B 中的 x ? 1, 而 x ? ? 1 有意义,非关于原点对称,选项 D 中的函数仅为偶函数;

2.

C

对称轴 x ?
y ? 2 x ?1 ?

k 8

,则

k 8

? 5 ,或

k 8

? 8 ,得 k ? 40 ,或 k ? 64

3.

B

x ?1

, x ? 1 , y 是 x 的减函数,

当 x ? 1, y ? 4. 1.

2,0 ? y ?

2

A 对称轴 x ? 1 ? a ,1 ? a ? 4, a ? ? 3 A (1)反例 f ( x ) ?
1 x

;(2)不一定 a ? 0 ,开口向下也可;(3)画出图象

可知,递增区间有 ? ? 1, 0 ? 和 ?1, ? ? ? ;(4)对应法则不同 6. B 刚刚开始时,离学校最远,取最大值,先跑步,图象下降得快! 二、填空题 1. 2.
(?? , ?
2

1 2

], [0,

1 2

]

画出图象
2

?x ? x ?1

设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , f ( ? x ) ? x ? x ? 1 ,
2 2

∵ f (? x) ? ? f ( x) ∴ ? f ( x) ? x ? x ? 1 , f ( x) ? ? x ? x ? 1 3.
f (x) ? x x ?1
2

∵ f ( ? x ) ? ? f ( x ) ∴ f ( ? 0 ) ? ? f (0 ), f (0 ) ? 0, 即 f ( x) ? 4.
? 15
x x ? bx ? 1
2

a 1

? 0, a ? 0 1 ,b ? 0

, f ( ? 1) ? ? f (1),

?1 2?b

? ?

2?b

f ( x ) 在区间 [3, 6 ] 上也为递增函数,即 f (6 ) ? 8, f (3) ? ? 1 2 f (? 6 ) f ? ? 3? ? f2 ( ) ( 6 f) ? (? ) 3? 15

5.

(1, 2 )

k ? 3 k ? 2 ? 0,1 ? k ? 2
2

三、解答题 1.解:(1)定义域为 ? ? 1, 0 ? ? ? 0,1 ? ,则 x ? 2 ? 2 ? x , f ( x ) ?
1? x x
2

1? x x

2

,

∵ f (? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x) ?

为奇函数。

(2)∵ f ( ? x ) ? ? f ( x ) 且 f ( ? x ) ? f ( x ) ∴ f ( x ) 既是奇函数又是偶函数。 2.证明:(1)设 x1 ? x 2 ,则 x1 ? x 2 ? 0 ,而 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) ∴ f ( x )? 1
f(1? x
2

x?

x) ? 2

f( 1 x?

2

x? )

(f

2

x? )

(f

2

x )

∴函数 y ? f ( x ) 是 R 上的减函数; (2)由 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) 得 f ( x ? x ) ? f ( x ) ? f ( ? x )

即 f ( x ) ? f ( ? x ) ? f (0 ) ,而 f (0 ) ? 0 ∴ f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,即函数 y ? f ( x ) 是奇函数。 3.解:∵ f ( x ) 是偶函数, g ( x ) 是奇函数,∴ f ( ? x ) ? f ( x ) ,且 g ( ? x ) ? ? g ( x ) 而 f ( x) ? g ( x) ? 即 f ( x) ? g ( x) ? ∴ f (x) ?
1 x ?1
2

1 x ?1 1

,得 f ( ? x ) ? g ( ? x ) ?
? ? 1 x ?1 x x ?1
2

1 ?x ?1

,

?x ?1

, 。

, g (x) ?

2 4.解:(1)当 a ? 0 时, f ( x ) ? x ? | x | ? 1 为偶函数,

2 1 当 a ? 0 时, f ( x ) ? x ? | x ? a | ?为非奇非偶函数;

2 (2)当 x ? a 时, f ( x ) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ?

1 2

) ?a?
2

3 4

,

当a ? 当a ?

1 2 1 2

时, f ( x ) m

i n

1 3 ? f( )? a? , 2 4

时, f ( x ) m i n 不存在;
1 2 ) ?a?
2
2

2 当 x ? a 时, f ( x ) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ?

3 4

,

当a ? ? 当a ? ?

1 2 1 2

时, f ( x )m 时, f ( x ) m

i n

?

f ( a )?

a? , 1

i n

? f (?

1 2

) ? ?a ?

3 4



(数学 1 必修)第一章(下)
一、选择题 1. D

[提高训练 C 组]

f ?? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? x ? a ? x ? a ? ? f (x) ,

画出 h ( x ) 的图象可观察到它关于原点对称
2 2 或当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 h ( ? x ) ? x ? x ? ? ( ? x ? x ) ? ? h ( x );

2 2 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 h ( ? x ) ? ? x ? x ? ? ( x ? x ) ? ? h ( x );

? h(? x) ? ? h( x)

2. 3.

C B

a ? 2a ?
2

5 2

? ( a ? 1) ?
2

3 2

?

3 2

, f (?

3

3 5 2 ) ? f ( ) ? f (a ? 2a ? ) 2 2 2

对称轴 x ? 2 ? a , 2 ? a ? 4, a ? ? 2

4.

D

由 x ? f ( x) ? 0 得 ?
?x ? 0

?x ? 0 ? f (x) ? 0

或?

?x ? 0 ? f (x) ? 0

而 f ( ? 3) ? 0, f (3) ? 0

即?

? f ( x ) ? f ( ? 3)
3

或?

?x ? 0 ? f ( x ) ? f (3)
3

5.

D 令 F ( x ) ? f ( x ) ? 4 ? ax ? bx ,则 F ( x ) ? a x ? b x 为奇函数
F ( ? 2) ? f ( ? 2) ? 4 ? 6, F (2) ? f (2) ? 4 ? ? 6, f (2) ? ? 10

6.

B

f ( ? x ) ? ? x ? 1 ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? f ( x ) 为偶函数
3 3 3 3

( a , f ( a )一定在图象上,而 f ( a ) ? )

f ? a,∴ ( a , f ? a )一定在图象上 ( ) ( )

二、填空题 1.
x (1 ?
3

x)

设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , f ( ? x ) ? ? x (1 ?

3

? x ) ? ? x (1 ?
3

3

x)

∵ f ( ? x ) ? ? f ( x ) ∴ ? f ( x ) ? ? x (1 ? 2. 3.
a ? 0 且b ? 0
7 2
f (1) ?

x)

画出图象,考虑开口向上向下和左右平移
x
2 2

f (x) ?

1?x
1

,f( )?
x

1

1 , f (x) ? f ( ) ? 1 1? x x
2

1

1 1 1 , f ( 2 ) ? f ( ) ? 1, f (3) ? f ( ) ? 1, f ( 4 ) ? f ( ) ? 1 2 2 3 4

4.
?

(

1 2

, ?? )

设 x1 ? x 2 ? ? 2, 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,而 f ( x1 ) ? f ( x 2 )
ax2 ? 1 x2 ? 2 ? 2 a x1 ? x 2 ? 2 a x 2 ? x1 ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? ( x1 ? x 2 )( 2 a ? 1) ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? 0 ,则 2 a ? 1 ? 0

a x1 ? 1 x1 ? 2

?

5.

?1, 4 ?

区间 [3, 6 ] 是函数 f ( x ) ?

4 x?2

的递减区间,把 3, 6 分别代入得最大、小值

三、解答题 1. 解:(1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0 (2) f ( ? x ) ? f (3 ? x ) ? ? 2 f ( )
2 1 1 f ( ? x ) ? f ( ) ? f (3 ? x ) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2 f (? x 2 )? f( 3? x 2 ) ? f (1) , f ( ? x 3? x ? ) ? f (1) 2 2 1

? x ?? 2 ? ?3 ? 则? ? 2 ? x ?? ? 2

?0 x ?0 3? x 2 ?1 , ?1 ? x ? 0 。

?

2. 解:对称轴 x ? 3 a ? 1, 当 3 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 当 3 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 当 0 ? 3 a ? 1 ? 1 ,即 3.解:对称轴 x ?
a 2 1 3 2 3 1 3

时, ? 0,1 ? 是 f ( x ) 的递增区间, f ( x ) m in ? f (0 ) ? 3 a 2 ; 时, ? 0,1 ? 是 f ( x ) 的递减区间, f ( x ) m in ? f (1) ? 3 a 2 ? 6 a ? 3 ;
? a ? a 2 2 3

时, f ( x ) m in ? f (3 a ? 1) ? ? 6 a 2 ? 6 a ? 1 。

,当

? 0 , 即 a ? 0 时, ? 0,1 ? 是 f ( x ) 的递减区间,

则 f ( x ) m ax ? f (0 ) ? ? 4 a ? a 2 ? ? 5 ,得 a ? 1 或 a ? ? 5 ,而 a ? 0 ,即 a ? ? 5 ; 当
a 2 ? 1, 即 a ? 2 时, ? 0,1 ? 是 f ( x ) 的递增区间,则 f ( x ) m ax ? f (1) ? ? 4 ? a ? ? 5 ,
2

得 a ? 1 或 a ? ? 1 ,而 a ? 2 ,即 a 不存在;当 0 ? 则 f ( x ) m ax ? f ( ) ? ? 4 a ? ? 5, a ?
2 a 5 4 1 6
?1 1?

a 2

? 1, 即 0 ? a ? 2 时, 5 4

,即 a ?

5 4

;∴ a ? ? 5 或
1 6



4.解: f ( x ) ? ?
a 3

3 2

(x ?

a 3

) ?
2

1 6

a , f (x) ?
2

a ?
2

,得 ?1 ? a ? 1 , 1

对称轴 x ?

,当 ? 1 ? a ?
1 a 2 3 8

3

时, ? , ? 是 f ( x ) 的递减区间,而 f ( x ) ? , 4 8 ?4 2?
? 1 8 , a ? 1 与 ?1 ? a ? 3 4

即 f ( x ) m in ? f ( ) ?
2

?

矛盾,即不存在;
1 ? 1



3 4

? a ? 1 时,对称轴 x ?
1 a 2 ? 3 8

a 3
?

,而
1 8

1 4

?

a 3

?
3 4

1 3

,且

1 3

? 4

2 ? 3 2 8

即 f ( x ) m in ? f ( ) ?
2

, a ? 1 ,而

? a ? 1 ,即 a ? 1

∴a ? 1


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