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2013年高二数学(人教A版选修2-3)学案:2.4.1《正态分布》

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2.4.1 正态分布 课前预习学案 一、预习目标 1. 通过实际问题,借助直观,认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 2. 通过实际问题,知道假设检验的思想。 二、预习内容 1.我们把函数的图像称为正态分布密度曲线,简称 。 2.一般地,如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足,则称随机变量 X 的分布为正态分布, 记作,如果随机变量 X 服从正态分布,则记为。 3.正态曲线的特点: 4.在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(?,? 2)的随机变量 X 只取之间的值,简称 之为。 课内探究学案 一、 学习目标 1. 知道正态分布密度曲线、正态分布的概念。知道正态曲线的解析式及函数图像。 2. 通过图像知道正态曲线的特点。 能在实际中体会 3? 原则的应用。 二、学习重难点 学习重点:1.正态分布曲线的特点;2.正态分布曲线所表示的意义. 学习难点:正态分布在实际中的应用。 三、学习过程 (一)自主学习 大家预习课本 P80 页,并回答以下几个问题: 问题 1.在投放小球之前,你能知道这个小球落在哪个球槽中吗? 问题 2.重复进行高尔顿板试验,随着试验次数的增加,掉入每个球槽中小球的个数代表什 么? 问题 3.为了更好的研究小球分布情况,对各个球槽进行编号,以球槽的编号为横坐标,以 小球落入各个球槽的频率值为纵坐标,你能画出它的频率分布直方图吗? 问题 4.随着试验次数的增加,这个频率直方图的形状会发生什么样的变化? (二) 合作探究,得出概念 随着试验次数的增加,这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线. 频率/组距 总体密度曲线 单位 O ab 这条曲线可以近似下列函数的图像: ??,? (x) ? 1 ? e ( x?? )2 2? 2 , x ? (??, ?? ), 2?? 其中实数 ?和? (? ? 0) 为参数,我们称??,? (x) 的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲 线。 问题 5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴,其刻度单位为球槽的宽度,X 表示一 个随机变量,X 落在区间 (a, b] 的概率为什么?其几何意义是什么? 一般地,如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足 ? P(a<X ? b)? b a ??,? (x)dx, 则称 X 的分布为正态分布,记作 N(?,? 2),如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X N(?,? 2) 问题 6.在现实生活中,什么样的分布服从或近似服从正态分布? 问题 7.结合??,? (x) 的解析式及概率的性质,你能说说正态分布曲线的特点吗? 可以发现,正态曲线有以下特点: (1) 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线 x ? ? 对称; (3) 曲线在 x ? ? 处达到峰值 1 ;(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1; ? 2? (5)当? 一定时,曲线随着 ? 德变化而沿 x 轴平移;(6)当 ? 一定时,曲线的形状由? 确 定,? 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;? 越大,曲线越“矮胖”,表示总体 的分布越分散。 若 X N(?,? 2),则对于任何实数 a ? 0, 概率 ? P(? ? a<X ? ? ? a)? ??a ??a ??,? (x)dx 对于固定的 ?和a 而言,给面积随着? 的减少。这说明? 越小,X 落在区间(? ? a, ? ? a] 的概率越小,即 X 集中在 ? 周围概率越大. 特别有 P(? ?? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9774. 可以看到,正态总体几乎总取值于区间 (? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) 之内。而在此区间以外取 值的概率只有 0.0026 ,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(?,? 2)的随机变量 X 只取 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之间的值,简称之为 3? 原则 三、典型例题 例 1:在某次数学考试中,考生的成绩? 服从一个正态分布,即? N (90,100) 。 (1) 试求考试成绩? 位于区间(70,110)上的概率是多少? (2) 若这次考试共有 2000 名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大 约有多少人? 解析:正态分布已经确定,则总体的期望 ? 和标准差? 就可以求出,这样就可以根据正 态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. 变式训练.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生的成绩 X N (110, 25), 据此估计,大 约应有 57 人的分数在下列哪个区间内?( ) A.(90,110] B.(95,125] C.(100,125] D.(105,115] 四、反馈测评 1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ 和标准差σ (1) f (x) ? 1 x2 ? e 2 , x ? (??,??) (2) f (x) ? 1 ( x?1)2 ? e 8 , x ? (??,??) 2? 2 2? (3) f (x) ? 2 e?2(x?1)2 , x ? (??, ??) 2? 2.若随机变量 ? N (?2, 4) ,则? 在区间 (?4, 2] 上的取值的概率等于 ? 在下列哪个区间上取 值的概率( ) A.(2, 4] B.(0, 2] C.(?2, 0] D.(?4, 4] 3.若随机变量? 服从正态分布? N (0,1) ,则? 在区间 (?3,3] 上取值的概率等于( ) A.0.6826 B.0.9544 C.0.9974 D.0.3174 4.若一个正态总体落在区间 (0.2, ??) 里的概率是 0.5,那么相应

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