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2017届高考数学一轮复习 第五章 三角函数与解三角形 课时25 任意角学案 文

时间:2016-07-25

课时 25 任意角的三角函数(课前预习案)
一、高考考纲要求 1.掌握角的概念的推广,终边相同的角的表示; 2.掌握弧度与角度的转化关系,扇形面积及弧长公式; 3.任意角的三角函数的定义,三角函数线及其应用. 二、高考考点回顾 (一)角的概念的推广 1.与角 ? 终边相同的角的集合为 . 2.与角 ? 终边互为反向延长线的角的集合为 . 3.轴线角(终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角的集合为 ,终边在 y 轴上的角的集合为 ,终边在坐标轴上的角的集合 为 . 4.象限角是指: . 5.区间角是指: . 6.弧度制的意义:圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度的角,它将任意角的集合与实数集 合之间建立了一一对应关系. 7.弧度与角度互化:180?= 弧度,1?= 弧度,1 弧度= ?. ? 8.弧长公式:l = ; 扇形面积公式:S= . (二)、任意角的三角函数 9. 定义: 设 P(x, y)是角 ? 终边上任意一点, 且 |PO| =r, 则 sin ? = ; cos ? = ; tan ? = ; 10.三角函数的符号与角所在象限的关系: y + - sinx, O + - x - - O y + + x - + tanx, O y + - x

cosx,

12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域: 解析式 定义域 值 域 y=sinx y=cosx y=tanx

13.三角函数线:在图中作出角 ? 的正弦线、余弦线、正切线.

y

?
O ? x

三、课前检测 1.若 α =k·180°+45°(k∈Z),则 α 在(

).
1

A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 2.已知角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sinα =( A. 5 5 2 5 B. 5 C.- 5 5 2 5 D.- 5 ).

3.点 A(sin 2 013°,cos 2 013°)在直角坐标平面上位于(). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4 4.已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cos α =- ,则 m 等于( 5 11 11 A.- B. 4 4 C.-4 D.4 ).

5.半径为 2 的圆中,弧长为 4 的弧所对的圆心角是________.

课内探究案 班级: 考点一 角所在象限 【典例 1】 若 ? 是第二象限的角,试分别确定 2 ? ,
? ? , 的终边所在位置. 2 3

姓名:

2

【变式 1】若θ 是第三象限角,且 cos A.第一象限角 B.第二象限角

?
2

? 0 ,则

? 是( 2

) D.第四象限角

C.第三象限角

考点二 弧度制的意义
? 【典例 2】已知扇形 OAB 的圆心角 ? 为 120 ,半径 r ? 6 ,求弧长 AB 及扇形面积。

【变式 2】已知一扇形中心角为 α ,所在圆半径为 R.若 α ?

? ,R=2cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积. 3

考点三 任意角的三角函数 【典例 3】知角 ? 的终边经过点 P(2, ?3) ,求 ? 的正弦、余弦、正切的三角函数值

【变式 3】 ? 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 的值.

【变式 4】 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的正弦、余弦、正切的三角函数值。
3

考点四 三角函数线的应用 【典例 4】单位圆中画出适合下列条件的角 ? 的终边的范围,并由此写出角 ? 的集合: (1)sin ? ≥
1 3 ;(2)cos ? ≤ ? .(3)y= 2 cos x ? 1 ;. 2 2

【变式 5】函数 y ? sin x ? ? cos x 的定义域是( A. (2k? , (2k ? 1)? ) , k ? Z C. [ k? ? B. [2k? ?



?
2

, (2k ? 1)? ] , k ? Z

?
2

, ( k ? 1)? ] , k ? Z

D.[2kπ , (2k+1)π ], k ? Z

【当堂检测】 1.已知角α 的终边过点 P(-1,2), cos ? 的值为 A.- ( )

5 5

B.- 5

C.

2 5 5

D.

5 2
( )

2.α 是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是 A.sinα B.cosα C.tanα D.cotα

3.已知角α 的终边过点 P(4a,-3a) (a<0),则 2sinα +cos α 的值是 2 A. 5 2 B.- 5 C.0 D.与 a 的取值有关

( )

4.α 是第二象限角,P(x,

5 ) 为其终边上一点,且 cosα =

2 x,则 sinα 的值为 ( ) 4

A.

10 4

B.

6 4

C.

2 4

D.-

10 4
4

课后巩固案 班级:

姓名:

完成时间:30 分钟

1.已知点 P( tan ? , cos ? )在第三象限,则角 ? 在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限





D.第四象限 ( )

2.若 cos ? ? 0 且 sin ? ? 0 ,则角 ? 的终边所在的象限是 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

3.若三角形的两内角?,?满足 sin?cos? ? 0,则此三角形必为 A.锐角三角形 B. 钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都可能 4. 若 ? 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 ( A. sin ? ? cos ? ? 0 B. tan ? ? sin ? ? 0 C. sin ? cos ? ? 0 D. )

( )

tan ? ?0 sin ?
5

5.已知 ? 为第三象限角,则

? 所在的象限是( ) 2

A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 2 6.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB.

1.角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) ,且 sin ? ?

2m ,求 cos ? ,sin ? 的值。 4

2.已知扇形的圆心角是 α (α >0),半径为 R. (1)若 α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l. (2)若扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
6

参考答案 课前检测 1. 【答案】A 【解析】当 k=2m+1(m∈Z)时,α =2m·180°+225°=m·360°+225°,故 α 为第三象限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α =m·360°+45°,故 α 为第一象限角. 2. 【答案】B 【解析】由三角函数定义得 sin α = 3. 【答案】C 【解析】由 2 013°=360°×5+(180°+33°)可知,2 013°角的终边在第三象限,所以 sin 2 013°<0, cos 2 013°<0,即点 A 位于第三象限,故选 C. 4. 【答案】C 【解析】由题意可知,cos α = 5. 【答案】2 2 5 = . 5 ?-1? +2
2 2

2

m 4 =- ,m<0,解得 m=-4,故选 C. 2 5 m +9

l 4 【解析】α = = =2(rad). r 2
【典例 1】 2? 在第三、四象限或在 y 轴的负半轴上
7

? 在第一、三象限; 2 ? 在第一、二、四象限. 3
【变式 1】B 【典例 2】 AB ? 4? , S ? 12? . 【变式 2】弧长为

2? 2? cm ;弓形的面积为 ( ? 3)cm 2 . 3 3

【典例 3】 sin ? ? ?

3 13 2 13 , , cos ? ? 13 13

3 tan ? ? ? . 2 3 4 3 , cos ? ? ? , tan ? ? ? ; 5 5 4 3 4 3 若 ? 的终边在第四象限,则 sin ? ? ? , cos ? ? , tan ? ? ? . 5 5 4 2 5 5 【变式 4】 a ? 0 时, sin ? ? , , cos ? ? 5 5 tan ? ? 2, ;
【变式 3】若 ? 的终边在第二象限,则 sin ? ?

a ? 0 时, sin ? ? ?

tan ? ? 2. .

2 5 5 , , cos ? ? ? 5 5

【典例 4】 (1) {? | 2k? ?

?

3 2? 4? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z} ; (2) {? | 2k? ? 3 3
(3) (1) {? | 2k? ? 【变式 5】B 【当堂检测】 1.A 2.B 3.A 4.A

? ? ? 2 k? ?

2? , k ? Z} ; 3

?

3

? ? ? 2 k? ?

?

3

, k ? Z} .

1.B 2.D 3.B 4.B 5.D 6.解:设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,
8

1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4, ∴圆心角 α = =2.

解得?

? ?r=1, ?l=2. ?

l r

如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 rad. ∴AH=1·sin 1=sin 1 (cm),∴AB=2sin 1 (cm).

6 10 ; ,sin ? ? 4 4 6 10 当 m ? 0 时, cos ? ? ? . ,sin ? ? ? 4 4
1.当 m ? 0 时, cos ? ? ? π 10 2.解:(1)l=|α |R= ×10= π (cm). 3 3 20 (2)法一 扇形周长 20=2R+l=2R+α R,∴R= , 2+α 1 1 1 ? 20 ?2=200α · 2 ∴S= α ·R = α ·? ? 2 + α 2 2 4+4α +α ? ? = 200 4 4+α + α ≤25(cm ).
2 2

当且仅当 α =4,即 α =2 rad 时,扇形面积有最大值 25 cm .

2

2

法二 由已知:l+2R=20, 1 1 2 ∴S 扇形= lR= (20-2R)R=-R +10R 2 2 =-(R-5) +25. 10 故当 R=5 cm,即 α = =2(rad)时,这个扇形的面积最大. 5
2

9


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