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曲线与方程

时间:2013-08-15


曲线与方程测试
一、选择题 1、已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,则( A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0 B.凡坐标不适合f(x,y)=0的点都不在C上 C.不在C上的点的坐标必不适合f(x,y)=0 D.不在C上的点的坐标有些不适合f(x,y)=0,有些适合f(x,y)=0 )

2、方程(3x-4y+2)[log2(x 的( ) A.0个 C.2个

+2y)

-3]=0的曲线经过点A(0,-3),B(0,4),C(4,0),D(

)中

B.1个 D.3个 ) B.一条直线 D.一个点和一条直线 所代表的曲线是( )

3、方程x2+xy=x的曲线是( A.一个点 C.两条直线 4、方程 A.两条直线 C.一条直线

B.两条射线 D.一条射线 )

5、下列各组方程中表示相同曲线的是(

A.

B.

C.

D.|y|=|x|,x2=y2 )

6、圆x2+y2=5与直线x+y-3=0交点的坐标是( A.(1,2) B.(1,2)和(2,1) C.(-1,-2)和(-2,-1) D.(1,-2)和(2,-1)

7、设曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点为P,那么曲线F1(x,y)-F2(x,y)=0,必定( A.经过P点 C.经过P点和原点 B.经过原点 D.不一定经过P点 )



8、过曲线y=x2与y2=x交点的直线方程是( A.x+y=0 C.x+y=0或y=1

B.x-y=0 D.x-y=0或x+y+1=0

9、直线y=x+

被曲线y=

截得线段长为(



A.

B.2

C.3

D.4 )

10、已知圆的方程是x2+y2=2,它截直线y=x所得的弦长是( A. C.2 B.2 D.4 B 二、填空题 卷

11、动点P到点(4,0)的距离等于它到y轴的距离,则P点的轨迹方程是.

12、方程(2x+y)(x+y-3)=0与(4x+2y+1)(2x-y+1)=0所表示的两曲线的公共点的个数是.

13、曲线

与直线y=k(x-2)+4有两个交点时,实数k的取值范围是________.

三、解答题 14、如图,两根带有滑道的木杆,分别绕着定点A和B,AB=2a在平面内转动,转动时两杆保持交角45° , 求两杆交点P的轨迹方程.

15、已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0), 求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线.

16、设椭圆方程为

过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足

当l绕点M旋转时,求: (1)动点P的轨迹方程; (2) 的最小值与最大值.

CCCBD

BABDB

11、答案:y =8x-16
2

提示:设 P(x,y),则有 化简得 y2=8x-16. 12、答案:3 个



提示:由 (2x+y)(x+y-3)=0 可得 2x+y=0,或 x+y-3=0; (4x+2y+1)(2x-y+1)=0 可得 4x+2y+1=0,或 2x-y+1=0. 因为 2x+y=0 与 4x+2y+1=0 无交点,与 2x-y+1=0 有一个交点; x+y-3=0 与 4x+2y+1=0 有一个交点,与 2x-y+1=0 有一个交点. 故两曲线的公共点的个数是 3 个.

13、答案: 提示:由几何意义用数形结合法. 14、解:以两定点 A、B 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直线 坐标系, 则 A(-a,0),B(a,0).

设 P 点的坐标为(x,y),则

(1)当点 P 在 x 轴上方时,PA 到 PB 的角为 45°.

. 化简得 x +(y-a) =2a (y>0)
2 2 2



当 k 或 k 不存在时,所对应的点 P 的坐标分别为(-a,2a),(a,2a),均满
PA PB

足方程①,即此时点 P 也在轨迹上,如图所示.

(2)当点 P 在 x 轴下方时,同样也可求得点 P 的轨迹方程为 x +(y+a) =2a (y<0).
2 2 2

综上知,点 P 的轨迹方程为 x +(y-a) =2a (y>0),
2 2 2

或 x2+(y+a)2=2a2(y<0) . 15、解:涉及切线长,可考虑切线的性质,将切线长转化为到圆心的距离与半径的 距离. 设直线 MN 切圆于 N,则动点 M 组成的集合是 P={M||MN|=λ|MQ|},式中常数 λ>0. 因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.

设点 M 的坐标为(x,y),则

整理得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0. 经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P,故这个方程为所求的轨迹方程.

当 λ=1 时, 方程化为 x= 0);

, 它表示一条直线, 该直线与 x 轴垂直且交 x 轴于点 (



当 λ≠1 时,方程化为

它表示圆,该圆圆心的坐标为

.

16、分析:解答本题的基本思想方法就是把向量式转化成坐标表示,先求出点 P 的 轨迹的参数方程,然后通过消参数就可求出动点 P 的轨迹方程. 解答: (1)直线 l 过点 M(0,1),设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.记 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2) , 由 题 设 可 得 点 A 、 B 的 坐 标 (x1 , y1) 、 (x2 , y2) 是 方 程 组

将①代入②并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0,

所以

设点 P 的坐标为(x,y),则

消去参数 k 得 4x2+y2-y=0.③

当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③, 所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0.

(2)由点 P 的轨迹方程知

取得最小值,最小值为

取得最大值,最大

值为 总结:本题主要考查直线和椭圆的位置关系,平面向量的坐标运算,求轨迹方 程的基本方法等解析几何的基本思想和综合解题能力.


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