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2018版高中数学第二章平面向量2.3.2第1课时平面向量的坐标表示及坐标运算课件苏教版必修4_图文

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第2章 2.3.2 平面向量的坐标运算 第1课时 平面向量的坐标表示及坐标运算 学习目标 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标 区分开来. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 平面向量的坐标表示 思考1 如图,向量 i , j 是两个互相垂直的单位向 量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以 向量i,j为基底,如何表示向量a? 答案 a=2 3 i+2j. 答案 思考2 在平面直角坐标系内,给定点A的坐标为A(1,1),则A点位置确定 了吗?给定向量a的坐标为a=(1,1),则向量a的位置确定了吗? 答案 对于 A 点,若给定坐标为 A(1 , 1) ,则 A 点位置确定 . 对于 向量 a ,给定 a 的坐标为 a = (1 , 1) ,此时给出了 a 的方向和大小, 但因向量的位置由起点和终点确定,且向量可以任意平移,因 此a的位置还与其起点有关. 答案 梳理 (1)平面向量的坐标 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量 i、 j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只 有一对有序实数 x, y,使得 a = xi +yj.平面内的任一向量 a 都可由 x、 y唯 一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y). ②在平面直角坐标平面中,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系 表示形 向量a=(x, y)中间用等号连结, 而点A(x, y)中间没有等号 点 A(x , y) 的坐标 (x, y) 表示点 A 在平面直角坐标系中的位 式不同 区 别 意义 不同 置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向 量的方向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙 述时应指明点(x,y)或向量(x,y) 联系 当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点 的坐标相同 知识点二 平面向量的坐标运算 思考 设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1), b=(x2 ,y2),则a=x1i+y1j, b=x2i+y2j,根据向量的线性运算 性质,向量a+b,a-b,λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示? 答案 a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j, a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j, λa=λx1i+λy1j. 答案 梳理 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数λ 数学公式 向量 加法 向量 减法 向量 数乘 文字语言表述 两个向量和的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标 a+b=(x1+x2,y1+y2) a-b=(x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) λa=_________ → =(x -x ,y -y ),即一个向 (2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量 AB 2 1 2 1 量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标. 题型探究 类型一 例1 平面向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,OA=4,AB=3,∠AOx=45° , → → ∠OAB=105° ,OA=a,AB=b.四边形 OABC 为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标; 解答 → (2)求向量BA的坐标; 解 3 3? → → ? ?3 ? BA=-AB=? ,- ?. 2 ? ?2 (3)求点B的坐标. 解 3 3 3 ? 3 3 3? → → → ? ? OB=OA+AB=(2 2,2 2)+(-2, 2 )=?2 2- ,2 2+ ?. 2 2 ? ? 解答 反思与感悟 在表示点、向量的坐标时,可利用向量的相等、加减法运算等求坐标, 也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解,即把 问题条件转化为关于参数的不等式(组),再解不等式(组)就可以求得参数 的取值范围. 跟踪训练 1 已知边长为 2 的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点,AB 边在 x 轴 → → → → 上,点 C 在第一象限,D 为 AC 的中点,分别求向量AB,AC,BC,BD的坐标. 解 如图,正三角形ABC的边长为2, 则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°), 1 3 ∴C(1, 3),D(2, 2 ), → → ∴AB=(2,0),AC=(1, 3), → BC=(1-2, 3-0)=(-1, 3), 1 3 3 3 → BD=(2-2, 2 -0)=(-2, 2 ). 解答 类型二 平面向量的坐标运算 例2 → → → 已知三点 A(2, 3), B(5, 4), C(7, 10), 点 P 满足AP=AB+λAC(λ∈R). (1)当λ为何值时,点P在函数y=x的图象上? 解答 (2)若点P在第三象限,求实数λ的取值范围. 解 ? ?5+5λ<0, 当点 P 在第三象限时,有? 成立, ? ?4+7λ<0 解得λ<-1. ∴实数λ的取值范围是(-∞,-1). 解答 反思与感悟 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法 则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行 向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练2 已知a=(-1,2),b=(2,1),求: (1)2a+3b; 解 2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6

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