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双曲线的定义及标准方程_图文

时间:2017-08-26

双曲线
的概念及标准方程

双曲线的定义
平面内到两定点F1,F2的距离的差的 绝对值等于常数(小于|F1F2 | )
的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)

1、建系:以线段F1F2所在直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴。 设|F1F2|=2c,常数为2a, 则F1(-c,0)、F2(c,0), 设M(x,y)为轨迹上任意一点, 2、列式:||MF1|-|MF2||=2a, 即|MF1|-|MF2|=?2a

M

F1

F2

3、代换: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a
即 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a
两边平方得 (x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c) 2 ? y 2

即cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2
两边平方得 (cx ? a ) ? a ( x ? 2cx ? c ? y )
2 2 2 2 2 2

即(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a ) 2 2 2 令b ? c ? a
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 则方程可化为 2 ? 2 ? 1 a b

称此方程为双曲线标准 方程。

双曲线的标准方程
x2 y2 ? 2 ?1 (a>0,b>0)表示焦点在x轴上的双曲线 2 a b

标准方程,其中F1(-C,0) F2(C,0)
y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b>0)表示焦点在y轴上的双曲线

标准方程,其中F1(0 , -C) F2(0 , C)

若F1,F2为定点, |PF1|-|PF2|=±2a(a>0),则动 点P的轨迹是什么?

若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线;

若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线;
若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。

判断下列曲线的焦点在哪轴? 并求a、b、c
x y 1. ? ?1 16 25
2 2

y x 2. ? ?1 25 16

2

2

椭圆与双曲线标准方程的区别:
一、定型:

椭圆:焦点在哪轴,哪轴字母的分母大。 双曲线:焦点在哪轴,哪轴字母系数为

正。
二、a、b、c的关系:

椭圆:c2=a2-b2 双曲线:c2=a2+b2

若P是以F1,F2为焦点的双曲线

上的点,且P到F1的距离是12,

x y ? ?1 25 75

2

2

那么P到F2的距离是多少?

方程

x y ? ?1 k 4
可以表示双曲线吗? 如果可以,你能求出焦点的坐 标吗?

2

2

已知:双曲线两个焦点 的坐标是F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1,F2的距 离差的绝对值等于6,求这 个双曲线的方程。

双曲线与椭圆的比较:
曲线 椭圆 双曲线
定义 |MF1|+|MF2|=2a ||MF1|-|MF2||=2a (2a>|F1F2|) (0<2a<|F1F2|) 方程 x2 y2 x2 y2
a b y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
2

?

2

?1

a

2

?

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

b

2

?1

参量 a,b,c>0,a2-c2=b2, a最大.

a,b,c>0,c2-a2=b2,
c最大。

作业:
P108 1、 2、4

成都人流医院 http://www.80899999.com/jihuashengyu/ 成都人流医院 成都位于四川盆地西部,成都平原腹地,境内地势平坦、河网纵横、物产丰富、农业发达,自古就有“天府之国”的美誉。

若不是她无意中到弟弟的学校去看望弟弟,她都不知道弟弟居然瞒着她跟妈妈、他自己患病好几个月的事儿了。她那次刚好到 弟弟所在的大学的城市出差,忙完了工作之后便想去弟弟生活的大学看看,她没有给弟弟打电话,只想给弟弟一个小小的惊喜, 看着弟弟平日里给她看的照片,以及弟弟给她对学校的讲解,她便晃悠悠的在那个地方转了起来,那是一个多么美好的下午, 在这以前她连喘口气的时间都少有! 算了下时间,便想着给伊舒打个电话请他吃个饭,也算是庆祝吧,她那样想着的时候便心情愉快的播出了伊舒的电话号码,她 很纳闷弟弟居然没有接她的电话。

她便开始向身旁的学生打听伊舒所在的院系具体方位,伊舒大概在哪个学校知名度比较高,一问院系再说到伊舒的名字竟然有 女同学知道。
伊诺忍不住有点小自豪的重复了一次那位女同学的话“对呀、对呀,伊人的伊,舒服的舒”又高兴的继续确认“那你真的是认 识他的?” 那位女同学略显诧异的看向伊诺“我们学校的大才子,怎么可能不认识呢?”未了又狐疑的反问伊诺“话说,这位姐姐,你干 嘛要问伊舒学长呢?”

伊诺笑呵呵的回答“哦、我是伊舒的姐姐,出差刚好经过这里就想来看看他,打他手机也没打通,所以就试着问问看。”
那位女同学尖叫了声“你是他姐姐?那伊舒学长生病了你不知道吗?”


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