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4.3.1 空间直角坐标系 课件

时间:2017-11-08


一、引入
在初中,我们学过数轴,那么什么是 数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的 点怎么表示?
A x -1

0

1

2

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示。

在初中,我们学过平面直角坐标系,那 么如何建立平面直角坐标系?决定的因素有 哪些?平面直角坐标系上的点怎么表示?
y

N

P

平面直角坐标系是由两条 原点重合、互相垂直的数轴 组成的。
x

0

M

平面直角坐标系上的点用 它对应的横纵坐标,即一 对有序实数对(x,y)表示。

1.空间中的点怎么表示呢?

2.在空间,我们是否可以建立一个坐标系, 使空间中的任意一点都可用对应的有序实数 组表示出来呢?

在教室里同学们的位置坐标
O
讲台

y

x

教室里某位同学的头所在的位置
z

y O

x

二、讲授新课
1、空间直角坐标系建立
以单位正方体 OABC ? D?A?B?C ? 的
顶点O为原点,分别以射线OA,
OD? 的方向 为正方向,以 OC,
D' C' A' O C y B' z

线段OA,OC,OD? 的长为单位 长度,建立三条数轴:x轴,y轴,
x A

B

z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系(右手 直角坐标系)。 记作: O ? xyz 或 Oxyz

1、空间直角坐标系的建立
?在空间取定一点O

z

(原点)

1

?从O出发引三条两两垂直的直线

?
1

O

1

y

(坐标轴)
?选定某个长度作为单位长度 x

Z

作图:一般的使
?xoy ? 135 , ?yoz ? 90
? ?

右手系
X

Y

z

O为坐标原点
D'

x轴,y轴,z轴叫 坐标轴

A' O A

B'

C'

y C B

通过每两个坐标轴的 平面叫 坐标平面, x 分别为 xOy平面 、 yOz 平面

、 xOz

空间直角坐标系中任 意一点的位置如何表示?

3、空间中点的坐标
对于空间任意一点P,要求它的坐标

方法一:过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴,平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3,在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z,那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标,简称为坐标,记作P(x,y,z),三个数值

z 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
P3

z

?
1

? P
1

x? 1 x P1

? o

y ?P 2

y

方法二:过P点作xOy面的垂线,垂足为 P0点。
点 在坐标系 xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、 P0 纵坐标。再过P点作z轴的垂线,垂足 P1 在z轴上的坐 标z就是P点的竖坐标。

z

z P1

P

1

?
y
1

P点坐标为 (x,y,z)
N

x

x M

1

? o

y

?P

0

4.特殊位置的点的坐标
?

原点(0,0,0)

?
? ? ? ? ?

X轴上的点(x,0,0)
Y轴上的点(0,y,0)

上的点至少有两个 ?C E 坐标等于0;坐标面 ? 1 上的点至少有一个 B ? 坐标等于 O ? 0。 F ? 1 ? A1 ? D
x

小提示:坐标轴

z

y

Z轴上的点(0,0,z)

xoy平面上的点(x,y,0)如点D yoz平面上的点(0,y,z)如点E xoz平面上的点(x,0,z)如点F

例1:如图
在长方体 OABC ? D A B C 中 , OA ? 3,
' ' ' '

OC ? 4, OD ? 2,写 出D ',A',B ',C '的 坐标。 D’ (0,0,2)
z D' A' O B' C'

C’ (0,4,0) A’ (3,0,2)
B’ (3,4,2)
x A

C y
B

1、在空间直角坐标系中指出这些

点的坐标。
z

A(0,1,1)
B(0,0,2) C(0,2,0) ?
A C

D

?
2

3

?B
?

1

O

F
2

?1

1

?2

D(1,0,3)
y

E(2,2,0) F(1,0,0)

?E

x

练习:在空间直角坐标系中作出下列各点
(1)、A(1,4,1); (-1,-3,3) C ?
z

(2)、B(2,-2,-1); (3)、C(-1,-3,3);

(-1,-3,0) C1 ? (2,-2,0) B1

1
O

?

? B?
x

1

1

? A(1,4,1) y ?
A1(1,4,0)

(2,-2,-1)

点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,写出 满足下列条件的点的坐标. (1)与点M关于x轴对称的点 (2)与点M关于y轴对称的点 (x,-y,-z) (-x,y,-z)

5;对称点

(3)与点M关于z轴对称的点
(4)与点M关于原点对称的点

(-x,-y,z)
(-x,-y,-z)

(5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z)
(6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z)

(7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)

6:空间两点坐标表示 复习引入 在平面直角坐标系中两点间的距离公式 是什么?

| P1P2 |= (x 1 - x 2 ) + ( y y ) 1 2 y
y2

2

2

P2(x2, y2)

y1

O

x1

P1(x1,y 1)

Q(x2,y1 ) x2

x

类比平面两点间距离公式 的推导,你能猜想一下空间两 点P1(x1,y1,z1)P2(x2,y2,z2) 间的距离公式吗?

空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离

P 1P 2 ?

?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ?z1 ? z2 ?
2 2

2

P(x,y,z)与原点间的距离

OP ? x ? y ? z
2 2

2


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