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重庆市南开中学2010届高三11月月考数学文科

时间:2010-08-20


刘鹏老师祝你高考成功

重庆市南开中学高 月月考数学(文科) 重庆市南开中学高 2010 届高三 11 月月考数学(文科)
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 选择题,
注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干 净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 3.考试结束,监考人员将答题卡收回。 选择题: 个小题, 各题答案必须答在答题卡上。 一、选择题:(本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)各题答案必须答在答题卡上。 1.函数 y = tan 2 x 的最小正周期为 A. ( C. 2π D. 4π )

π
2
uuu r

B.

π
1 3

2.若点 P 分有向线段 AB 所成的比为 , 则点 B 分有向线段 PA 所成的比为 A. 3 3.若 sin( B.

uuu r

(

)

4 + θ ) = , 则 cos 2θ 的值为 2 5 7 7 A. B. 25 25
2

π

1 2

C.

1 2

D.

3 2
( )

C.

24 25

D.

24 25
( )

4.若数列 {an } 的前 n 项和为 S n = n + 1, 则 A. an = 2n 1 C. an = B. an = 2n + 1 D. an =

(n = 1) 2 2n 1 (n ≥ 2)

(n = 1) 2 2n + 1 (n ≥ 2)
( )

5.对于函数 y = sin x cos x 的图象,下列说法正确的是 A.直线 x = C.点 (

3π , 0) 为其对称中心 4

3π 为其对称轴 4

B.直线 x = D.点 (

π
2

为其对称轴

π
4

, 0) 为其对称中心
( )

6.设 ABC 的三个内角为 A, B, C , 则“ A > B ”是“ sin A > sin B ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

( x < 0) sin π x 1 7.设 f ( x ) = , 则 f ( ) 的值为 1 6 f ( x 1) + 2 ( x > 0)

(

)

第 1 页 共 8 页

刘鹏老师祝你高考成功 B.

A. 0

3 π 5 α ) = , cos( + β ) = , 则 sin(α β ) 的值为 4 5 4 13 63 16 16 63 A. B. C. D. 65 65 65 65 uuu uuu r r 9.如图,单位圆 O 中, OA, OB 是两个给定的夹角为 120°的向量,
8.已知 α , β 为锐角, sin(

π

1 2

C. 2

D. 1 ( )

uuu r uuu r uuu r P 为单位圆上一动点,设 OP = mOA + nOB, 则设 m + n 的最大
值为 M , 最小值为 N , 则 M N 的值为 A. 2 B. 2 2 C. 4 ( )

D. 2 3

10.已知 ABC 中, D、E 分别为边 BC、AC 的中点, AD、BE 交于点 G , BM = λ ME ,

uuuu r

uuur

uuur uuu r uuuu uuu r r DN = NA, 其中 λ , > 0, MN = t BC (t ∈ R ), S ABC = 1, 则 S GMN 的取值范围是
A. (0,

(

)

1 ) 24

B. (

1 1 , ) 24 6

C. ( ,1)

1 6

D. (0, )

1 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 非选择题,
个小题, 各题答案必须填写在答题卡上(只填结果, 二、填空题:(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡上(只填结果, 填空题: 不要过程) 不要过程)。 11.已知 a = (1, sin x ), b = (cos x,1), 则 a b 的最小值为___________________. 12.等比数列 {an } 中, an > 0, 且 a4 a6 + a5 = 50, 则 a5 = __________________.
2

r

r

r r

13.如图,已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + )( A > 0, ω > 0, 0 < < π ) 的部分图象如图所示,则函数

f ( x) = _____________________(写出函数 f ( x) 的解析式).

14.函数 f (θ ) =

4 cos 2 θ + 1 π , (θ ∈ [0, ]) 的最大值是__________________. cos θ 4

第 2 页 共 8 页

刘鹏老师祝你高考成功 15.在函数 f ( x ) = sin x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上依次取五个点, P (0, 0), P2 ( 1

π
2

,1), P3 (π , 0), P4 (

3π 1), 2

P5 (2π , 0), 设 A0 为平面上任意一点,若 A0 关于 P 的对称点为 A1 , A1 关于 P2 的对称点为 A2 ,……, 1

uuuuu uuuur r A4 关于 P5 的对称点为 A5 , 则向量 A0 A4 + A1 A5 的坐标为____________________.
个小题, 各题解答过程必须写在答题卡上( 三、解答题:(本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答过程必须写在答题卡上(必须写出必要的文字说 解答题: 演算步骤或推理过程) 明、演算步骤或推理过程) 16.平面内给定三个向量 a = (3, 2), b = ( 1, 2), c = (4,1). (1)求 | 2a c |; (2)若 ( a + kc )//(2b a ), 求实数 k 的值.

r

r

r

r r

r

r

r r

17.已知函数 f ( x ) = 4 sin x cos( x +

π
3

) + 3.

(1)若 x ∈ R, 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)在答题卡所示的坐标系中画出函数 f ( x ) 在区间 [0, π ] 上的图象.

18.在 ABC 中, A, B, C 所对边分别为 a, b, c, 已知 b cos B = a cos A, a + c = 2 + 2, cos C = 角 (1)求证: ABC 为等腰三角形; (2)求 ABC 的面积.

3 . 4

19.设数列 {an } 满足: a1 =

5 , 且 an 1 = 3an 1 (n ∈ N * , n ≥ 2). 6

(1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 的前 n 项和 S n .

第 3 页 共 8 页

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20.已知定义在 R 的函数 f ( x ), 对任意的 x1 , x2 都满足 f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ), 且当 x < 0 时,

f ( x) < 0.
(1)判断 f ( x ) 的单调性和奇偶性,并说明理由; (2)若不等式 f [( m 2) sin θ + 1] + f [( m 2) cos θ m] < 0 对一切 θ ∈ [0,

π
2

] 恒成立, 求实数

m 的取值范围.

r r r r a b 21.已知向量 a = (1, 0), b = ( x,1), 当 x > 0 时,定义函数 f ( x ) = r r . a+b
(1)求函数 y = f ( x) 的反函数 y = f 1 ( x ); (2)数列 {an } 满足: a1 = a > 0, an +1 = f ( an ), n ∈ N , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,
*

①证明: S n < 2a; ②当 a = 1 时,证明: an >

1 . 2n

第 4 页 共 8 页

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月月考数学(文科) 高 2010 级高三 11 月月考数学(文科)答案
一、选择题 ADBCA CABCD 二、填空题 11. 2 14.5 三、解答题 16.解:(1) 2a c = 2(3, 2) (4,1) = (2, 3) (2) a + kc = (3, 2) + k (4,1) = (3 + 4k , 2 + k ) 12.5 15. (4π , 0) 13. 4 sin(

π
4

x+

π
4

)

r r

所以 2a c =

r r

2 2 + 32 = 13

r

r

r r 2b a = 2(1, 2) (3, 2) = (5, 2)
由向量共线的充要条件知,若 ( a + kc )//(2b a ), 则 2 (3 + 4k ) ( 5) ( 2 + k ) = 0 解得 k =

r

r

r r

16 13

17.解: f ( x ) = 4 sin x cos( x +

π
3

) + 3 = 4 sin x(cos x cos

π

sin x sin ) + 3 3 3

π

= 2 sin x cos x 2 3 sin 2 x + 3 = sin 2 x 3 (1 cos 2 x) + 3

& = sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 sm(2 x +
(1)由 由

π
3

) 5π π + k π ≤ x ≤ + kπ , k ∈ Z 12 12

π
2

+ 2kπ ≤ 2 x +

π
3



π
2

+ 2kπ

π
2

+ 2kπ ≤ 2 x +

π
3

≤ π + 2kπ

π
12

+ kπ ≤ x ≤

π

所以函数的单调增区间为 [ 单调减区间为 [ (2)图象略

π

5π π + kπ , + kπ ], k ∈ Z 12 12
+ kπ ,

3

+ kπ , k ∈ Z

π

12

3

+ kπ ], k ∈ Z

18.解:(1)证明:Q b cos B = a cos A, 结合正弦定理有:

sin B cos B = sin A cos A, 即 sin 2 B = sin 2 A,
∴B = A 或 B + A =

π

2 3 又Q cos C = ≠ 0, ∴B = A, 即 a = b, 即 ABC 为等腰三角形; 4

第 5 页 共 8 页

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(2)解:根据余弦定理, cos C =

a 2 + b2 c2 3 = , 结合 a = b, a + c = 2 + 2, 有: 2ab 4

3 2a 2 (2 + 2 a ) 2 = , 所以 a = 2, ∴b = 2, c = 2 4 2a 2

∴SABC =
19.(1)解:由题有: an =

1 3 7 ab sin C = 2sin C = 2 × 1 ( )2 = . 2 4 2

1 1 1 1 1 an 1 + , ∴an = (an 1 ) 3 3 2 3 2 1 1 5 1 1 1 即 {an } 是一个以 a1 = = 为首项,以 为公比的等比数列, 2 2 6 2 3 3 1 1 n 1 1 n ∴ an = ( ) , ∴ an = + ( ) . 2 3 2 3 n 1 1 2 1 n (2) S n = a1 + a2 + … + an = + + ( ) + … + ( ) 2 3 3 3

1 1 1 n 3 3 = + 1 2 1 3

n

n = n + 1 1 1 2 2 3

20.解:(1)令 x = y = 0, 有 f (0) = 0, 令 x1 = x, x2 = x 有 f ( x ) + f ( x ) = f ( x x ) = f (0) = 0, 即 f ( x ) = f ( x), 故 f (x ) 为奇函数 在 R 上任取 x1 < x2 , 则 x1 x2 < 0, 由题意知 f ( x1 x 2 ) < 0 则 f ( x1 x 2 ) = f ( x1 ) + f ( x 2 ) = f ( x1 ) f ( x 2 ) > 0 故 f ( x ) 是增函数 (2)结合(1)知,

f [(m 2) sin θ + 1] < f [(m 2) cos θ m] = f [m (m 2) cos θ ]

(m 2)sin θ + 1 < m (m 2) cos θ (m 2)(sin θ + cos θ ) < m 1

( 2m 2) sin(θ + ) < m 1 4
当 θ ∈ [0,

π

对一切 θ ∈ [0,

π
2

] 恒成立

π
2

] 时, θ +

π

π 3π π 2 ∈ [ , ], sin(θ + ) ∈ [ ,1] 4 4 4 4 2
第 6 页 共 8 页

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① 2m 2 < 0 m < 所以 m <

2 时,只需

2 ( 2m 2) < m 1 即可,即 2 < 1, 恒成立, 2

2 满足题意; 2 时,只需 2m 2 < m 1 即可,即 m < 2 1, 矛盾;

② 2m 2 ≥ 0 m ≥ 综上知, m < 21.解:由题意得 f ( x) =

2
x
( x > 0)

1+ 1+ x2

令 x = tan α (α ∈ (0, 由于 α ∈ (0, (1)由 y =

π
2

)), 则 f ( x) =

tan α 1 + 1 + tan 2 α

=

sin α 1 + cos α

= tan

α
2

π
2

)

α

∈ (0, ), 所以 tan ∈ (0,1), 即函数 f ( x) 的值域为 (0,1) 2 4 2
2

π

α

x 1+ 1+ x

y x = y 1 + x 2 y 2 2 xy + x 2 = y 2 + y 2 x 2

于是解得 x =

2y 2x , 所以原函数的反函数 y = f 1 ( x) = (0 < x < 1) 2 1 y 1 x2
*

(2)因为 a1 = a > 0, an +1 = f ( an ), n ∈ N , 所以 an +1 =

an
2 1+ 1 + an

①【法一】 an +1 =

an 1+ 1 + a
2 n

<

an , 所以 2

1 1 1 S n = a1 + a2 + L + an < a + a + 2 a + L + n 1 a 2 2 2 1 1 (1 n 1 ) 1 2 = a + a( 2 ) = a + a (1 n 1 ) < 2a 1 2 1 2
【法二】因为 an +1 = f ( an ), 所以 a n = f 所以 an =
1

(a n+1 )

2an +1 1 > 2an +1 , 从而 an +1 < an 2 1 an +1 2
令 an = tan α n , 因为 an > 0, 且 a1 = 1 所以 α1 =

②【法一】三角代换 所以 an +1 = tan α n +1 =

π

, α n ∈ (0, ) 4 2

π

tan α n 1+ 1 + tan 2 α n

=

sin α n α = tan n 1 + cos α n 2

第 7 页 共 8 页

刘鹏老师祝你高考成功 由于 α n ∈ (0,

π
2

), 所以 α n +1 =

αn
2

(n ∈ N * )

故数列 {α n } 为等比数列,其首项为 α1 = 于是 an = tan

π

π
2
n +1

>

π
2
n +1

>

1 π , 此处用到不等式 x < tan x ( x ∈ (0, )) n 2 2
1

1 π 1 , 公比为 q = , 所以 α n = n 1 4 2 4 2

【法二】不等式放缩 所以 an =

因为 an +1 = f ( an ), 所以 an = f

(an +1 )

2an +1 , 又由原函数的值域知 a n+1 ∈ (0,1) 2 1 an +1 2an +1 2an +1 1 1 1 1 2 < ,则 > < +1 2 1 an +1 1 an +1 an 2an +1 2 an +1 an
于是 a n >

所以 an =

进而 (

1 1 1 1 + 1) < 2( + 1), 所以 + 1 < ( + 1) 2n 1 = 2 n an +1 an an a1

1 1 > n 2 1 2
n

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