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浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷(提优卷)(三)数学文试题 Word版含答案

时间:2014-06-21


2014 年浙江省高考模拟冲刺卷(提优卷) 数学 (文科)测试卷(三) 选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|4≤ 2 ≤16},B=[a,b],若 A?B,则实数 a-b 的取值范围是( A. (-∞,-2] B.
x



?? 2,???

C. (-∞,2]

D. ?2,???

2. “函数 y=sin(x+φ)为偶函数” 是“φ= A.充分不必要条件 C. 充要条件

? ” 的 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.某校 150 名教职工中,有老年人 20 个,中年人 50 个,青年人 80 个,从中抽取 20 个作 为样本. ①采用随机抽样法:抽签取出 30 个样本; ②采用系统抽样法:将教工编号为 00,01,?,149,然后平均分组抽取 30 个样本; ③采用分层抽样法:从老年人,中年人,青年人中抽取 30 个样本. 下 列说法中正确的是( ) A.无论采用哪种方 法,这 150 个教工中每一个被抽到的概率都相等 B.①②两种抽样方法,这 150 个教工中每一个被抽到的概率都相等;③并非如此 C.①③两种抽样方法,这 150 个教工中每一个被抽到的概率都相等;②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这 150 个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

?x 2 ? 9, x ? 1 4. 已知函数 f ?x ? ? ? , 记 f1 ?x ? ? f ?x ?,f 2 ?x ? ? f ? f1 ?x ?? ,f 3 ?x? ? f ? f 2 ?x?? , ?lg x, x ? 1 ? ,则 f 2014 ?10? ? ( )
A.lg109 B.2 C.1 D.10 5. 一个正三棱柱的三视图如图所示, 这个三棱柱的侧(左)视图 的面积为 6 3 则这个三棱柱的体积为 ( A.12 B.16 ) D.12 3

C.8 3

6.执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 4, 那么输出的 p 是( ) A.6 B.24 C.120 D.720

7.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5 +b5=11,?,则 a8+b8=( ) A.28 B.47 C.76 D.123

8.如图所示,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过 搅拌后,从中随机取一个小正方体,则它的涂漆面数为 2 的概率( ) 8 125 27 125 36 125 54 125

A.

B.

C.

D.

9.已知△ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 CA ? BA ? 2OA ,| OA |?| AB | ,则

CA ? BC 的值是(
(A) 3

) (B) 2 (C) ? 2 (D) ? 3

10. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐 a 2 b2

近线于 A 、 B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标原点,若

1 OP ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) , ?? ? ,则该双曲线的离心率为( 8
A.



3 2 2

B.2

C.

2 3 3

D. 2

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设 i 是虚数单位,则复数(1-i) -
2

4 ? 2i ? 4i 2014 = 1 ? 2i

.

12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos?B ? C ? ? ? π π +C?=a+ csin? +B?,则 C= bsin? ?4 ? ?4 ? .

2 , 2

13.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,连接 PB、PC、 PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号是 . ①平面 PAB ? 平面 PBC ②平面 PAB ? 平面 PAD ③平面 PAB ? 平面 PCD 14.已知函数 f(x)=eax-x ? 1 ,其中 a≠0.若对一切 x∈R,f(x)≥0 恒成立,则 a 的取值集 合 . y-2≤0, ? ? x? y?6 15.已知 x,y 满足?x+3≥0, 则 的取值范围是 x?4 ? ?x-y-1≤0, 16.已知定义在 R 上的函数 f(x),g(x)满足 f ?x ?g ?x ? =ax,



且 f′(x)g(x)+ f(x)·g′(x) <0, f ?1?g ?1? + f ?? 1?g ?? 1? = { f ?n?g ?n? }(n∈N*)的前 n 项和等于

10 ,若有穷数列 3

40 ,则 n 等于 . 81 ? ? ? sin ? ? sin ? 17.已知 A? ? sin ?? ? 2? ? ? 2,1? ? ,且 OA ? OB ? 0 , sin ? ? 0 ?1, sin ?? ? 2? ? ? ? , B? ? ? ? ?

sin ? ? k cos ? ? 0 ,则 k =

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)设函数 f ?x ? ? sin ?

?? ? ? 2 x ? ? 2 sin x cos x ?3 ?

(I) 求函数 f ( x ) 的周期和单调递增区间;

(II) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 AB=1, f ( 求 sinB 的值.

C 3 2 3 , AC ? , )= 2 2 9

19. (本小题满分 14 分)已知正项数列 ?an ? 满足: a1 ? (1)求通项 an ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? a n ? 3?1 ?

3 3an , an ?1 ? 2 2an ? 3

? ?

1 ? ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 和. 2n ?

20. (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P—GBCD 中(如图), PG⊥平面 GBCD, GD∥BC, GD= 且 BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点,PG=4 (Ⅰ)求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值; (Ⅱ) 若 F 点是棱 PC 上一点, 且 DF ? GC ? 0 , PF ? k CF , 求 k 的值.

3 BC, 4

21.(本小题满分 15 分)已知函数 ? ?x ? ? ln x (Ⅰ) 若曲线 g ? x ? ? ? ? x ? ? 值; (Ⅱ)记 f ?x ? ? ? ?x ? ?

a ? 1 在点 ?2, g ?2?? 处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行, 求a的 x

ax2 ? ?a ? 1?x , a ? R ,且 a ≥ 0 .求函数 f ( x) 的单调递增区间. 2

22. (本小题满分 15 分) x2 y2 3 已知椭圆 C: 2 + 2=1 ?a ? b ? 0?的离心率为 ,左焦点为 F(-1,0), a b 3 (1) 设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线 L 与椭圆 C 交于 M, N 两点,若 AM ? NB ? AN ? MB ? 7 ,求直线 L 的方程; (2)椭圆 C 上是否存在三点 P,E,G,使得 S△OPE=S△OPG=S△OEG= 6 ? 2

2014 年浙江省高考模拟冲刺卷(提优卷) 数学 (文科)(三)参考答案
1.[答案]A [解析]集合 A 是不等式 4≤ 2 ≤16 的解集,由题意,集合 A=[2,4],因为 A?B,故 a
x

≤2,b≥4,故 a-b≤2-4=-2,即 a-b 的取值范围是(-∞,-2]. 2.[答案] B [ 解 析 ]φ =

[中国教&育%出@版

??k??

?
2

? 时 , y=sin(x + φ)= cos x 为 偶 函 数 ; 若 y=sin(x + φ) 为 偶 函 数 , 则 2

, k ? Z ;选 B.

3.[答案] A [解析] 三个抽样方法, 每一个被抽到的概率都等于 4.[答案]D [解析]∵10>1,∴ f1 ?10? =f(10)=lg10=1≤1,
2

30 1 ? . 150 5

f 2014 ?10? ? 10,故选 D.
5.[答案]D

∴ f 2 ?10? =f(f(10))=f(1)=1 +9=10,f 3 ?10? = f (f(f(10)))= f(10)=lg10=1, ?,

[解析]设此三棱柱底面边长为 a,高为 h,则由图示知 侧视图面积为 2 3×h=6 3,∴h=3. 这个三棱柱的体积为 3 2 ×4 ×h=12 3. 4

3 a=2 3,∴a=4, 2

6.[答案]B [解析]k=1 时,p=1; k=2 时,p=1×2=2; k=3 时,p=2×3=6; k=4 时,p=6×4=24. 7.[答案]B 2 2 3 3 4 4 5 5 [解析]由于 a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,通过观察发现, 6 6 从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.因此, a +b =11+7 7 7 8 8 =18,a +b =18+11=29,a +b =29+18=47,故选 B. 8.[答案]C [解析] 涂漆面数为 2 的小正方体每条棱上有 3 个, 12 条棱共 36 个,所以涂漆面数为 3 的 36 概率为125.故选 C. 9.[答案]D [解析]由 CA ? BA ? 2OA 易得△ABC 是直角三角形,且 A 为直角,又 | OA |?| AB | , 故 C=30°.由此 AC ? 3 , BC ? 2 , CA ? BC = CA ? CB cos150 ? ?3 .
0

10.[答案] D [解析] 双曲线的渐近线为:y= ?

b x ,设焦点 F(c,0) ,则 a

b2 bc bc A(c, ) ,B(c,- ) ,P(c, ) ,因为 OP ? ?OA ? ?OB a a a

所以, (c,

b2 bc )=( (? ? ? )c , (? ? ? ) ) ,所以, a a
b c

? ? ? =1, ? ? ? = ,解得: ? ?

c2 ? b2 1 1 c?b c ?b ? , ,? ? ,又由 ?? ? ,得: 8 2c 2c 8 4c 2

解得:

a2 1 ? ,所以,e= 2 ,选 D. c2 2

11.[答案] 4 ? 4i [解析] (1-i)2-

(4 ? 2i )(1 ? 2i ) 4 ? 2i 4 ? 8i ? 2i ? 4 +4=-2i- +4 ? 4i 2014 =-2i- (1 ? 2i )(1 ? 2i ) 1 ? 2i 5

=-2i-2i+4=4-4i. 12.[答案]

? . 8
3? π 2 得B?C ? ,所以 A= , 4 4 2

[解析]由已知 cos?B ? C ? ? ?

π π 由 bsin? 4 +C?-csin? 4 +B?=a,应用正弦定理,得

? ? ? ? π π sinBsin? 4 +C?-sinCsin? 4 +B?=sinA, ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ? 2 ? sinB? sinC+ cosC?-sinC? sinB+ cosB?= . 2 2 ?2 ? ?2 ? 2
整理得 sinBcosC-cosBsinC=1,即 sin(B-C)=1, 3 3? ? π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= ,又 B ? C ? ,故 C ? . 4 2 8 4 13. [答案]①② [ 解析 ] 易证 BC ? 平面 PAB, 则平面 PAB ? 平面 PBC; 又 AD∥ BC, 故 AD ? 平面 PAB, 则平面 PAD ? 平面 PAB, 因此①②正确. 14.[答案] {1} ax [解析]若 a<0,则对一切 x>0,f(x)=e -x-1<0, 这与题设矛盾.又 a≠0,故 a>0. 1 1 ax 而 f′(x)=ae -1,令 f′(x)=0 得 x= ln .

a a

1 1 1 1 当 x< ln 时, f′(x)<0, f(x)单调递减; 当 x> ln 时, f′(x)>0, f(x)单调递增. 故

a a

a a

1 1 ?1 1? 1 1 1 当 x= ln ,f(x)取最小值 f? ln ?= - ln -1.

a a

?a a? a a a

1 1 1 于是对一切 x∈R,f(x)≥0 恒成立,当且仅当 - ln -1≥0.

a a a



令 g(t)=t-tlnt-1,则 g′(t)=-lnt. 当 0<t<1 时,g′(t)>0,g(t)单调递增;当 t>1 时,g′(t)<0,g(t)单调递减. 故当 t=1 时,g(t)取最大值 g(1)=1-1=0. 1 因此,当且仅当 =1,即 a=1 时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{1}.

a

15. [答案] ?1,

? 13? ? 7? ?
x ? y ? 6 y-2 = +1 x ? 4 x-4

[解析] 由题意绘出可行性区域如图所示,

y-2 的取值范围,即求可行域内任一点与点(4,2)连线的斜率 k 的取值范围,由图像 x-4 y-2 ? 6? x ? y ? 6 ? 13? 可得 ∈?0, ?, ? ?1, ? . x-4 ? 7? x?4 ? 7? 求 16.[答案]4 [解析] 由 ? f ? x ?g ? x ?? = f′(x)g(x)+ f(x)·g′(x) <0,即 a ln a<0,故 0<a<1.
x

?

1 10 10 1 ,得 a+ = ,解得 a= ,所以有穷数列 a 3 3 3 n ? 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3? ? ? 3 ? ? ? 40 ,得 n=4. * { f ?n ?g ?n ? }(n∈N )是等比数列,其前 n 项和 Sn= 1 81 1? 3 17.[答案] ? 2 sin ? sin ? ?2? ? 0, [解析] 由已知有 sin(? ? 2? ) sin(? ? 2? ) 2 1 1 ? ? 即 , sin ? sin(? ? 2? ) sin(? ? 2? ) 故 2 sin(? ? 2? ) ? sin(? ? 2? ) ? [sin( ? ? 2? ) ? sin(? ? 2? )]sin ? , 由 f ?1?g ?1? + f ?? 1?g ?? 1? = 即 2 sin(? ? 2? ) ? sin(? ? 2? ) ? 2 sin 2 ? ? cos2? ,? cos4? ? cos2? ? 2 sin 2 ? ? cos2?

? cos2 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2? ? sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? sin 2 ? , 即 sin 2 2? ? 2 sin 2 ? ? sin 2 ? , sin ? ?? 2. 因为 sin ? ? 0 ,所以有 2 cos2 ? ? sin 2 ? ,于是 k = cos ?
18. [解析] f ?x ? ? sin ?

?? ?? ? ? ? 2 x ? ? 2 sin x cos x = sin ? 2 x ? ? 3? ?3 ? ?

(I)函数 f ( x) 的周期为 ? . 令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,则 k? ?

∴函数 f(x)的单调递增区间为 [ k? ?

5? ? , k? ? ](k ? Z ). 12 12

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z 12 12

(II)由已知 f ( )= sin(C ?

C 2

?
3

)?

? ? 4? 3 , 因为 0 ? C ? ? ,? ? C ? ? 3 3 3 2

所以 C ?

?
3

?

2? ? 3 , C ? ,∴sinC = . 3 3 2 AC AB 1 ? ,得 sinB= . 3 sin B sin C

在 ? ABC 中,由正弦定理,

19.[解析](1)∵ an?1 ? f ? an ? ,∴ an ?1 ?

3an 1 1 2 ,即 ? ? , an ?1 an 3 2an ? 3



3 1 1 2 2 . ? ? ? n ? 1? ? n ,则 an ? 2n an a1 3 3

(2)? bn

1 ? 1 ? ? ? ? a n ? 3?1 ? n ? ,? bn = 2n?1 ? n ? ? 2 ? ? 2 ? n ? ? 2 3 ? S n = b1 ? b2 ? ?bn = ?2 ? 4 ? ? ? 2n? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? 2 ? ? 2 2
2 3 n ? 2 ? ? n ?1 ) 2 2 2 2 3 n 令 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 则 1 Tn ? 1 ? 22 ? 33 ? 2 2 2 2 2 2 2 ? n(n ? 1) ? (1 ?
1 1 1 1 Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 2 ? 1 n 1 n ? n ? 2(1 ? n ) ? n , n ?1 2 2 2 2

?

n ,两式相减得 2n

?Tn ? 4(1 ?

1 2n )? n n 2 2

? Sn ? n2 ? n ? 4 ?

2?n . 2n ?1

20.[解析] (Ⅰ)在平面 ABCD 内,过 C 点作 CH//EG 交 AD 于 H,连结 PH,则 ∠PCH(或其补角)就是异面直线 GE 与 PC 所成的角. 在△PCH 中, CH ?

2, PC ? 20, PH ? 18
10 10 10 . 10

由余弦定理得,cos∠PCH=

∴异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值为

(Ⅱ) 在平面 GBCD 内, 过 D 作 DM⊥GC, M 为垂足, 连结 MF, 又因为 DF⊥GC ∴GC⊥平面 MFD, ∴GC⊥FM 由平面 PGC⊥平面 ABCD,∴FM⊥平面 ABCD ∴FM//PG

由 DF ? GC ? 0 得 GM⊥MD,∴GM=GD·cos45°=

3 2

3 PF GM 2 ? ? ? ? 3 ,∴ k ? ?3 . FC MC 1 2
21.[解析] (Ⅰ) g ? x ? ? ? ? x ? ? 因为曲线 g ? x ? ? ? ? x ? ?

a a 1 a ? 1 = ln x ? ? 1 ( x ? 0 ), g ??x ? ? ? 2 ( x ? 0 ), x x x x

a ? 1 在点 ?2, g ?2?? 处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行, x

g ??2 ? ?

1 a ? ? ?3 ,解得 a ? 14 . 2 4

(Ⅱ)因为 f ?( x) ?

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? ax ? (a ? 1) ? ? x x x
1? x 1? x ? 0 解得 0 ? x ? 1 .令 f ?( x) ? x x

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? (2) a ? 0 时

(ax ? 1)( x ? 1) 1 ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 1 . a x 1 (ⅰ)当 ? 1 即 0 ? a ? 1 时, a (ax ? 1) (x ? 1 ) ? 0 ,及 x ? 0 得(ax ? 1) 由 (x ? 1 ) ? 0. x 1 解得 0 ? x ? 1 ,或 x ? ; a 1 (ⅱ)当 ? 1 即 a ? 1 时, a
令 因为 x ? 0 , f ?( x) ? (ⅲ)当

x 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ? ≥ 0 恒成立. x x

1 (ax ? 1) (x ? 1 ) ? 1 即 a ? 1 时,由 ? 0 ,及 x ? 0 得(ax ? 1) (x ? 1 ) ? 0. a x 1 解得 0 ? x ? ,或 x ? 1 . a
综上所述, 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (0, 1) ; 当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (0, 1) , ( , ? ?) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (0, ? ?) ;

1 a

当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (0, 22.[解析] x y (1)由题意:椭圆的方程为 + =1. 3 2
2 2

1 ) , (1, ? ?) . a

设点 M(x1,y1),N(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 MN 的方程为 y=k(x+1). ?y=k(x+1), 由方程组?x2 y2 + =1, ? ?3 2
2

?

消去 y,整理得(2+3k )x +6k x+3k -6=0,
2

2

2

2

2

6k 3k -6 可得 x1+x2=- 2,x1x2= 2. 2+3k 2+3k 因为 A(- 3,0),B( 3,0), 所以 AM ? NB ? AN ? MB =(x1+ 3,y1)·( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)·( 3-x1, -y1) =6-2x1x2-2y1y2 2 =6-2x1x2-2k (x1+1)(x2+1) 2 2 2 =6-(2+2k )x1x2-2k (x1+x2)-2k 2k +12 =6+ 2 . 2+3k 2k +12 由已知得 6+ 10 . 2 =7,解得 k=± 2+3k 故所求直线 L 的方程为: y ? 10?x ? 1? 和 y ? ? 10?x ? 1? (2) 假设存在 P(u,v),E(x1,y1 ),G(x2,y2)满足 S△OPE=S△OPG=S△OEG= 不妨设 E(x1,y1 ),G(x2,y2)两点确定的直线为 l, (ⅰ)当直线 l 的斜率不存在时, E, G 两点关于 x 轴对称, 所以 x2=x1,y2=-y1, 因为 E (x1,y1)在椭圆上, 所以 + =1.① 3 2 又因为 S△OEG= 6 , 2 6 ,② 2 6 . 2
2 2

x2 y2 1 1

所以|x1|·|y1|=

6 ,|y1|=1, 2 2 2 2 2 此时 x1+x2=3,y1+y2=2. (ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m, 由①、②得|x1|= 由题意知 m≠0,将其代入 + =1 得 3 2 2 2 2 (2+3k )x +6kmx+3(m -2)=0, 2 2 2 2 其中 Δ=36k m -12(2+3k )(m -2)>0, 2 2 即 3k +2>m ,(★)

x2 y2

6km 3?m -2? 又 x1+x2=- 2,x1x2= 2 , 2+3k 2+3k
2

所以|EG|= 1+k · ?x1+x2? -4x1x2 2 2 6 3k +2-m 2 2 = 1+k · . 2 2+3k | m| 因为点 O 到直线 l 的距离为 d= , 2 1+k 1 所以 S△OEG= |EG|·d 2
2 2

1 6 3k +2-m |m| 2 2 = 1+k · · 2 2 2 2+3k 1+k 6|m| 3k +2-m = . 2 2+3k 6 , 2 2 2 整理得 3k +2=2m ,且符合(★)式. 2 2 2 此时 x1+x2=(x1+x2) -2x1x2= 2 ?- 6km 2?2-2×3?m -2?=3, ? 2+3k ? 2 2+3k ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 y2 1+y2= (3-x1)+ (3-x2)=4- (x1+x2)=2. 3 3 3 2 2 2 2 综上所述,x1+x2=3,y1+y2=2,结论成立. 2 2 2 2 2 2 2 2 同理可得:u +x1=3,u +x2=3,v +y1=2,v +y2=2, 3 2 2 2 2 2 2 解得 u =x1=x2= ;v =y1=y2=1. 2 又 S△OEG= 因此 u,x1,x2 只能从± 因此 P、E、G 只能在?± 6 中选取,v,y1,y2 只能从±1 中选取. 2
2 2

2

2

? 6 ? ,±1?这四点中选取三个不同点, ? 2 ?

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 6 与 S△OPE=S△OPG=S△OEG= 矛盾, 2 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 P、E、G.


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