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高中数学北师大必修2课时跟踪检测:(八) 直线与平面垂直的判定

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课时跟踪检测(八) 直线与平面垂直的判定

层级一 学业水平达标

1.若直线 a⊥平面 α,b∥α,则 a 与 b 的关系是( )

A.a⊥b,且 a 与 b 相交

B.a⊥b,且 a 与 b 不相交 C.a⊥b

D.a 与 b 不一定垂直 解析:选 C 过直线 b 作一个平面 β,使得 β∩α=c,则 b∥c.因为直线 a⊥平面 α,c α, 所以 a⊥c.因为 b∥c,所以 a⊥b.当 b 与 a 相交时为相交垂直,当 b 与 a 不相交时为异面垂 直,故选 C.

2.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件

中,一定能推出 m⊥β 的是( )

A.α∥β,且 m?α

B.m∥n,且 n⊥β

C.m⊥n,且 n?β

D.m⊥n,且 n∥β

解析:选 B A 中,由 α∥β,且 m?α,知 m∥β;B 中,由 n⊥β,知 n 垂直于平面 β 内的任意直线,再由 m∥n,知 m 也垂直于 β 内的任意直线,所以 m⊥β,符合题意;C、D

中,m?β 或 m∥β 或 m 与 β 相交,不符合题意,故选 B. 3.下列四个命题中,正确的是( ) ①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;

②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;

③若一条直线平行于一个平面,另一条直线垂直于这个平面,则这两条直线互相垂直;

④若两条直线垂直,则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直.

A.①②

B.②③

C.②④

D.③④

解析:选 D ①②不正确. 4.如图,α∩β=l,点 A,C∈α,点 B∈β,且 BA⊥α,BC⊥β,那么

直线 l 与直线 AC 的关系是( )

A.异面

B.平行

C.垂直

D.不确定

解析:选 C ∵BA⊥α,α∩β=l,l α,∴BA⊥l.同理 BC⊥l.又 BA∩BC=B,∴l⊥平

面 ABC.∵AC 平面 ABC,∴l⊥AC.

5.若两直线 l1 与 l2 异面,则过 l1 且与 l2 垂直的平面(

)

A.有且只有一个

B.可能存在,也可能不存在

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C.有无数多个

D.一定不存在

解析:选 B 当 l1⊥l2 时,过 l1 且与 l2 垂直的平面有一个,当 l1 与 l2 不垂直时,过 l1 且与 l2 垂直的平面不存在.
6.在三棱锥 V-ABC 中,当三条侧棱 VA,VB,VC 之间满足条件________

时,有 VC⊥AB.(注:填上你认为正确的条件即可)

解析:只要 VC⊥平面 VAB,即有 VC⊥AB;故只要 VC⊥VA,VC⊥VB

即可.

答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证 VC⊥AB 即可)

7.如图所示,∠BCA=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所在的直线

中:

(1)与 PC 垂直的直线有________;

(2)与 AP 垂直的直线有________.

解析:(1)因为 PC⊥平面 ABC,AB,AC,BC 平面 ABC,所以与 PC 垂直的直线有

AB,AC,BC.

(2)∠BCA=90°,即 BC⊥AC,又 BC⊥PC,AC∩PC=C,所以 BC⊥平面 PAC.又 AP

平面 PAC,所以 BC⊥AP.答案:(1)AB,AC,BC (2)BC

8.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离是

________.

解析:如图所示,作 PD⊥BC 于 D,连接 AD.

∵PA⊥平面 ABC,

∴PA⊥BC.

又 PD∩PA=P,

∴CB⊥平面 PAD,

∴AD⊥BC.

在△ACD 中,AC=5,CD=3,∴AD=4.在 Rt△PAD 中,PA=8,AD=4,∴PD= 82+42

=4 5.

答案:4 5

9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面

ABCD,AP=AB=2,BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点.证明:

PC⊥平面 BEF.

证明:如图,连接 PE,EC,

在 Rt△PAE 和 Rt△CDE 中,PA=AB=CD,AE=DE,

∴PE=CE,

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即△PEC 是等腰三角形. 又 F 是 PC 的中点, ∴EF⊥PC. 又 BP= AP2+AB2=2 2=BC,F 是 PC 的中点, ∴BF⊥PC. 又 BF∩EF=F, ∴PC⊥平面 BEF. 10.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. 求证:BD1⊥平面 AB1C. 证明:连接 BD,则 BD⊥AC.

又∵DD1⊥平面 ABCD, AC 平面 ABCD,

∴DD1⊥AC. 又 DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面 BDD1. ∵BD1 平面 BDD1, ∴AC⊥BD1. 同理 B1C⊥BD1. 又 AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面 AB1C.
层级二 应试能力达标

1.直线 l⊥平面 α,直线 m α,则 l 与 m 不可能( )

A.平行

B.相交

C.异面

D.垂直

解析:选 A ∵直线 l⊥平面 α,∴l 与 α 相交.

又∵m α,∴l 与 m 相交或异面.

由直线与平面垂直的定义,可知 l⊥m.

故 l 与 m 不可能平行.

2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AD1 垂直的平面是 ( )

A.平面 DD1C1C

B.平面 A1DB1

C.平面 A1B1C1D1

D.平面 A1DB

答案:B

3.如图,O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心,则

下列直线中与 B1O 垂直的是(

)

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A.A1D

B.AA1

C.A1D1

D.A1C1

解析:选 D 由题易知,A1C1⊥平面 BB1D1D,又 OB1 平面 DD1B1B,∴A1C1⊥B1O.

4.已知两条直线 m,n,两个平面 α,β,给出下列四个命题:

①m∥n,m⊥α?n⊥α;②α∥β,m α,n β?m∥n;

③m∥n,m∥α?n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β.

其中正确命题的序号是( )

A.①③

B.②④

C.①④

D.②③

解析:选 C ①正确;对于②,分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点,

但它们不一定平行,也可能异面,因此②是错误的;对于③,直线 n 也可能位于平面 α 内,

因此③是错误的;对于④,由 m⊥α 且 α∥β,得 m⊥β,又 m∥n,故 n⊥β,因此④是正确

的.

5.设 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,给出下列命题:

①若 l⊥α,则 l 与 α 相交;

②若 m α,n α,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α;

③若 l∥m,m∥n,l⊥α,则 n⊥α;

④若 l∥m,m⊥α,n⊥α,则 l∥n.

其中正确命题的序号为________.

解析:①显然正确;对②,只有当 m,n 相交时,才有 l⊥α,故②错误;对③,由 l∥

m,m∥n?l∥n,由 l⊥α,得 n⊥α,故③正确;对④,由 l∥m,m⊥α?l⊥α,再由 n⊥α

?l∥n,故④正确.

答案:①③④

6.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,M 为线段 BB1 上的一动点,则直线 AM 与直线 BC 的位置关系为________.

解析:∵AA1⊥平面 ABC,BC 平面 ABC,∴BC⊥AA1. ∵∠ABC=90°,∴BC⊥AB.

又 AB∩AA1=A,∴BC⊥平面 AA1B1B. 又 AM 平面 AA1B1B, ∴AM⊥BC.

答案:垂直

7.如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,M 是

圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为 N.

求证:AN⊥平面 PBM.

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证明:设圆 O 所在的平面为 α, ∵PA⊥α,且 BM α, ∴PA⊥BM. 又∵AB 为⊙O 的直径,点 M 为圆周上一点, ∴AM⊥BM.由于直线 PA∩AM=A, ∴BM⊥平面 PAM,而 AN 平面 PAM, ∴BM⊥AN. ∴AN 与 PM,BM 两条相交直线互相垂直. 故 AN⊥平面 PBM.

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8.如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB⊥CD,AD⊥BC. 求证:AC⊥BD. 证明:过 A 作 AG⊥平面 BCD 于 G,连接 BG,则 AG⊥CD. 又 AB⊥CD,AG∩AB=A, ∴CD⊥平面 ABG. ∵BG 平面 ABG,∴CD⊥BG. 连接 DG,同理 DG⊥BC, ∴G 是△BCD 的垂心. 连接 CG,则 CG⊥BD, 又 AG⊥BD,AG∩CG=G, ∴BD⊥平面 ACG, 又 AC 平面 ACG, ∴AC⊥BD.

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