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课时跟踪检测(四十五) 直线、平面平行的判定与性质

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课时跟踪检测(四十五) 直线、平面平行的判定与性质 一、选择题 1.(2015· 江西盟校联考)设 l 表示直线,α,β 表示平面.给出四个结论: ①如果 l∥α,则 α 内有无数条直线与 l 平行; ②如果 l∥α,则 α 内任意的直线与 l 平行; ③如果 α∥β,则 α 内任意的直线与 β 平行; ④如果 α∥β,对于 α 内的一条确定的直线 a,在 β 内仅有唯一的直线与 a 平行. 以上四个结论中,正确结论的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

2.(2015· 福建联考)设 l,m,n 表示不同的直线,α,β,γ 表示不同的平面,给出下列 四个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α,则 l⊥α; ②若 m∥l,且 m∥α,则 l∥α; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n; ④若 α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且 n∥β,则 l∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

3.(2015· 揭阳一模)设平面 α,β,直线 a,b,a?α,b?α,则“a∥β,b∥β”是“α∥ β”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2015· 温州模拟)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,下列命 题中错误的是( )

A.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β B.若 α∥γ,β∥γ,则 α∥β C.若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β D.若 m,n 是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则 α∥β 5.设 α,β,γ 为三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n?γ, 且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ.

可以填入的条件有( A.①② C.①③

) B.②③ D.①②③

6.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD, 且 MD=NB=1,G 为 MC 的中点.则下列结论中不正确的是( )

A.MC⊥AN B.GB∥平面 AMN C.平面 CMN⊥平面 AMN D.平面 DCM∥平面 ABN 二、填空题 7.如图,四棱锥 PABCD 的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA ⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为________.

8.在正四棱柱 ABCD

A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q

是 CC1 上的点,则点 Q 满足条件________时,有平面 D1BQ∥平面 PAO. 9.(2015· 云南第一次检测)在三棱锥 SABC 中,△ABC 是边长为 6 的正三角形,SA=SB =SC=15,平面 DEFH 分别与 AB,BC,SC,SA 交于 D,E,F,H.D,E 分别是 AB,BC 的中点,如果直线 SB∥平面 DEFH,那么四边形 DEFH 的面积为________. 10.(2015· 温州一测)如图,矩形 ABCD 中,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻 转成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻转过程中,正确的命题是________.

①|BM|是定值; ②点 M 在圆上运动; ③一定存在某个位置,使 DE⊥A1C; ④一定存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE. 三、解答题

11.如图,ABCD 与 ADEF 均为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,AD,EF 的中点. (1)求证:BE∥平面 DMF; (2)求证:平面 BDE∥平面 MNG.

12.(2014· 安徽高考)如图,四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长 均为 2 17.点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH⊥ 平 面 ABCD ,BC∥ 平面 GEFH. (1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积.

答案 1.选 C ②中 α 内的直线与 l 可异面,④中可有无数条. 2.选 B 对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故 ①正确;对②,直线 l 可能在平面 α 内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交 于同一点,故③错误;对④, 结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上① ④正确.故选 B. 3.选 B 由平面与平面平行的判定定理可知,若直线 a,b 是平面 α 内两条相交直线, 且有“a∥β,b∥β”,则有“α∥β”;当“α∥β”,若 a?α,b?α,则有“a∥β,b∥β”, 因此“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.选 B. 4.选 C 由线面垂直的性质可知 A 正确;由两个平面平行的性质可知 B 正确;由异面 直线的性质易知 D 也是正确的;对于选项 C,α,β 可以相交、可以平行,故 C 错误,选 C. 5.选 C 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β,m?γ 时,n 和 m 在同一平面 内,且没有公共点,所以平行,③正确.选 C. 6. 选 C 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何 体,把该几何体放置到正方体中(如图),取 AN 的中点 H,连接 HB, MH,GB,则 MC∥HB,又 HB⊥AN,所以 MC⊥AN,所以 A 正确; 由题意易得 GB∥MH,又 GB?平面 AMN,MH?平面 AMN,所以 GB∥平面 AMN, 所以 B 正确; 因为 AB∥CD, DM∥BN, 且 AB∩BN =B,CD∩DM=D,所以平面 DCM∥平面 ABN,所以 D 正确.故选 C. 7.解析:取 PD 的中点 F,连接 EF,AF, 1 在△PCD 中,EF 綊 CD. 2 又∵AB∥CD 且 CD=2AB, ∴EF 綊 AB,∴四边形 ABEF 是平行四边形,∴EB∥AF. 又∵EB?平面 PAD,AF?平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD.

答案:平行 8.解析: 如图,假设 Q 为 CC1 的中点,因为 P 为 DD1 的中点,所以 QB∥PA.连接 DB,因为 P,O 分别是 DD1,DB 的中点,所以 D1B∥PO, 又 D1B?平面 PAO,QB?平面 PAO,所以 D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB=B,所以平面 D1BQ∥平面 PAO.故 Q 满足条件 Q 为 CC1 的 中点时,有平面 D1BQ∥平面 PAO. 答案:Q 为 CC1 的中点 9.解析:取 AC 的中点 G,连接 SG,BG.易知 SG⊥AC,BG⊥AC,故 AC⊥平面 SGB,所以 AC⊥SB.因为 SB∥平面 DEFH,SB?平面 SAB,平 面 SAB∩平面 DEFH=HD,则 SB∥HD.同理 SB∥FE.又 D,E 分别为 AB, 1 BC 的中点,则 H,F 也为 AS,SC 的中点,从而得 HF 綊 AC 綊 DE,所 2 以四边形 DEFH 为平行四边形.又 AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以 DE⊥HD,所以四边 1 ? ?1 ? 45 形 DEFH 为矩形,其面积 S=HF· HD=? ?2AC?· ?2SB?= 2 . 45 答案: 2 10.解析:取 DC 中点 N,连接 MN,NB,则 MN∥A1D,NB∥ DE, ∴平面 MNB∥平面 A1DE, ∵MB?平面 MNB, ∴MB∥平面 A1DE,④正确; 1 ∠A1DE=∠MNB,MN= A1D=定值,NB=DE=定值,根据余弦定理得,MB2=MN2 2 +NB2-2MN· NB· cos ∠MNB,所以 MB 是定值.①正确; B 是定点,所以 M 是在以 B 为圆心,MB 为半径的圆上,②正确; 当矩形 ABCD 满足 AC⊥DE 时存在,其他情况不存在,③不正确. 所以①②④正确. 答案:①②④ 11.证明:(1)连接 AE,则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O, 连接 MO,则 MO 为△ABE 的中位线,所以 BE∥MO, 又 BE?平面 DMF,MO?平面 DMF, 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的中点,所以 DE∥GN, 又 DE?平面 MNG,GN?平面 MNG,

所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 的中点, 所以 MN 为△ABD 的中位线,所以 BD∥MN, 又 MN?平面 MNG,BD?平面 MNG, 所以 BD∥平面 MNG, 又 DE,BD?平面 BDE,DE∩BD=D, 所以平面 BDE∥平面 MNG. 12.解:(1)证明:因为 BC∥平面 GEFH,BC?平面 PBC,且平面 PBC∩平面 GEFH =GH,所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC, 因此 GH∥EF.

(2)连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在底面 ABCD 内,所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,且 GK⊥底面 ABCD, 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB= DB= OB,即 K 为 OB 的中点. 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK= PO, 2 1 即 G 是 PB 的中点,且 GH= BC=4. 2 由已知可得 OB=4 2, PO= PB2-OB2= 68-32=6, 所以 GK=3. 故四边形 GEFH 的面积

GH+EF 4+8 S= · GK= ×3=18. 2 2


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