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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:课时跟踪检测(六) 数 列

时间:2018-06-04

课时跟踪检测(六)





层级一

学业水平达标

1 1 3 2 1.数列 0, , , , ,…的通项公式为________. 3 2 5 3 0 1 2 3 4 解析:数列可化为 , , , , ,… 2 3 4 5 6 观察可得:an= n-1 . n+1

n-1 答案:an= n +1 2. 根据下列 4 个图形及相应点的个数的变化规律, 试猜测第 n 个图形中有____________ 个点.

解析:由图形可得,图形中的点数为 1,4,9,16,… 则其通项公式为 an=n2, 故第 n 个图形中的点数为 n2. 答案:n2 3.数列{an}满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),则 a6=________. 解析:由题意得 a3=a2+a1=2,a4=a3+a2=3,a5=a4+a3=5,a6=a5+a4=8. 答案:8 4.数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N*都有 a1· a2· a3· …· an=n2,则 a3+a5 的 值为________. 解析:由 a1· a2· a3· …· an=n2, 9 ∴a1a2=4,a1a2a3=9,∴a3= , 4 25 61 同理 a5= .∴a3+a5= . 16 16 61 答案: 16 5.已知数列{an}满足 am· an(m,n∈N*),且 a2=3,则 a8=________. n=am· 解析:由 am· an,得 a4=a2· a2=9, n=am· 2=a2· a8=a2· a4=3×9=27. 4=a2· 答案:27

6.数列{an}的通项公式为 an=n2-5n,则{an}的第______项最小. 5?2 25 * 解析:an=? ?n-2? - 4 .∵n∈N ,∴当 n=2 或 3 时,an 最小,∴{an}的第 2 或 3 项最 小. 答案:2 或 3 7.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列的项 数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将数列看做函数, 其定义域是 N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正确的是________(填序号). 解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中数列的通项公式不唯一. 答案:①④⑤ 8.已知函数 f(x)由下表定义: x f(x) 1 4 2 1 3 3 4 5 5 2

若 a1=5,an+1=f(an)(n=1,2,…),则 a2 016=________. 解析: a2=f(a1)=f(5)=2, a3=f(a2)=f(2)=1, a4=f(a3)=f(1)=4, a5=f(a4)=f(4)=5, …, 可知数列{an}是循环数列周期为 4,所以 a2 016=a4×504=a4=4. 答案:4 9.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? 解:(1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)是.令 an=150,即 n2-7n+6=150,解得 n=16 或 n=-9(舍去),即 150 是这个 数列的第 16 项. 10.已知函数 f(x)=2x-2 x,数列{an}满足 f(log2an)=-2n.


(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:数列{an}是递减数列. 解:(1)因为 f(x)=2x-2 x,f(log2an)=-2n,


1 所以 2log2an-2-log2an=-2n,所以,an- =-2n, an
2 所以 a2 n+2nan-1=0,解得 an=-n± n +1.

因为 an>0,所以 an= n2+1-n. (2)证明: an+1 ?n+1?2+1-?n+1? = an n2+1-n



<1. ?n+1?2+1+n+1

n2+1+n

因为 an>0,所以 an+1<an,

所以数列{an}是递减数列.

层级二

应试能力达标

4an+3 1.若数列{an}满足 an+1= (n∈N*),且 a1=1,则 a17=________. 4 解析:由 an+1= 3 + ×16=13. 4 答案:13 2.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1,且 a1=1,则 a100=________. 解析: 由 (n - 1)an = (n + 1)an - 1 ? 101 ×…× =5 050. 99 答案:5 050 3.已知数列{an}的通项公式为 an=2 016-3n,则使 an≥0 成立的最大正整数 n 的值为 ________. 解析:由 an=2 016-3n≥0,得 n≤ ∴n 的最大值为 672. 答案:672 1 4.已知无穷数列 an= n2-λn+1(n∈N*)是单调递增数列,则 λ 的取值范围是_______. 2 3 解析:利用定义,an+1-an>0 对 n∈N*恒成立得 λ< . 2 3? 答案:? ?-∞,2? 5.已知数列{an}对任意的 p,q∈N*满足 ap+q=ap+aq 且 a2=6,那么 a10=________. 解析:a4=a2+a2=12,a6=a4+a2=18,a10=a6+a4=30. 答案:30 6.在数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,则 a4=________. 解析:当 n=1 时,a2=2a1+2=2×2+2=6; 当 n=2 时,2a3=3a2+2=3×6+2=20, ∴a3=10; 当 n=3 时,3a4=4a3+2=4×10+2=42, ∴a4=14. 答案:14 2 016 =672. 3 n+ 1 an a2 a3 a100 3 4 = ,则 a100 = a1· · · …· = 1× × a1 a2 a99 1 2 an-1 n-1 4an+3 3 ?an+1-an= ,a17=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a17-a16)=1 4 4

1 3 7.已知数列{an}的通项公式为 an=pn+q(p,q∈R),且 a1=- ,a2=- . 2 4 (1)求{an}的通项公式; (2)- 255 是{an}中的第几项? 256

(3)该数列是递增数列还是递减数列? 解:(1)∵an=pn+q, 1 3 又 a1=- ,a2=- , 2 4

?p+q=-2, ∴? 3 ?p +q=-4,
2

1

1 ? ?p=2, 解得? ? ?q=-1,

1?n 因此{an}的通项公式是 an=? ?2? -1. (2)令 an=- 1?n 255 255 ,即? ?2? -1=-256, 256

1?n 1 所以? ?2? =256,解得 n=8. 故- 255 是{an}中的第 8 项. 256

1?n 1?n (3)由于 an=? 且? 因此 an 的值随 n 的增大而减小, 故{an} ?2? -1, ?2? 随 n 的增大而减小, 是递减数列.

3n-2 8.已知数列{an}的通项公式为 an= . 3n+1 (1)求证:0<an<1. 1 2? (2)在区间? ?3,3?内有无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由. 解:(1)证明:因为 an= 3n-2 3 =1- . 3n+1 3n+1

又因为 n∈N*,所以 3n+1>3, 3 所以 0< <1, 3n+1 所以 0<1- 3 <1,即 0<an<1. 3n+1

1 2 1 3 2 (2)令 <an< ,即 <1- < . 3 3 3 3n+1 3

1 3 2 9 所以 < < ,所以 <3n+1<9, 3 3n+1 3 2 7 8 所以 <n< . 6 3 因为 n∈N*,所以 n=2, 1 2? 即在区间? ?3,3?内有数列中的项,且只有 1 项,此项为第 2 项.


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