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【K12教育学习资料】2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数的综合应用夯基提能

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中小学资料 第四节 导数的综合应用 A 组 基础题组 1.(2016 山东枣庄一模,10)设函数 f(x)在 R 上存在导数 f '(x),? x∈R,有 f(-x)+f(x)=x ,在(0,+∞)上, f '(x)<x,若 f(4-m)-f(m)≥8-4m,则实数 m 的取值范围为( A. [-2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) ) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) ,若 x=2 是函数 f(x)的唯一一个极值点, 2 2.(2016 安徽 A10 联盟 3 月模拟,12)已知函数 f(x)= -k 则实数 k 的取值范围为( A.(-∞,e ] ) D.[0,e) 3 2 B.[0,e] C.(-∞,e) 3.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y= x - x -40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定 为 . 4.(2015 北京,19,13 分)设函数 f(x)= -kln x,k>0. ( 1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点. 5.(2015 天津,20,14 分)已知函数 f(x)=nx-x ,x∈R,其中 n∈N ,且 n≥2. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x),求证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x); (3)若关于 x 的方程 f(x)=a(a 为实数)有两个正实数根 x1,x2,求证:|x2-x1|< - n * +2. B 组 提升题组 6.设函数 f(x)=ae (x+1)(其中 e=2.718 28…),g(x)=x +bx+2,已知它们的图象在 x=0 处有相同的切线. (1)求函数 f(x),g(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值; 学习永无止境 x 2 中小学资料 (3)判断函数 F(x)=2f(x)-g(x)+2 的零点个数. 7.设 f(x)= +xln x,g(x)=x -x -3. (1)如果存在 x1,x2∈[0,2]使得 g(x1)-g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; (2)如果对任意的 s,t∈ 都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围. 3 2 学习永无止境 中小学资料 答案全解全析 A 组 基础题组 1.B 令 g(x)=f(x)- x (x∈R),∵g(-x)+g(x)=f(-x)- x +f(x)- x =0,∴函数 g(x)为奇函数.∵x∈(0,+∞) 时,g'(x)=f '(x)-x<0,故 函数 g(x)在(0,+∞)上是减函数,可知 g(x)在 R 上是减函 数,∴f(4-m)-f(m)=g(4-m)+ (4-m) -g(m)- m =g(4-m)-g(m)+8-4m≥8-4m,∴g(4-m)≥g(m),∴4-m≤m,解 得 m≥2,故选 B. 2.A f '(x)= 2 2 2 2 2 -k - = - - (x>0).设 g(x)= ,则 g'(x)= - ,则 g(x)在(0,1)内单调减, 在(1, +∞)内单调增. ∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为 g(1)=e,结合 g(x)= 与 y=k 的图象可知,要满足题意,只需 k≤e,选 A. 3. 答案 40 解析 易知 y'=x -39x-40. 令 y'=x -39x-40=0,得 x=-1(舍去)或 x=40,当 0<x<40 时,y'<0;当 x>40 时,y'>0,所以当 x=40 时,y 有最小 值. 4. 解析 (1)由 f(x)= -kln x(k>0)得 f '(x)=x- = (0,+∞)上的情况如下表: x f '(x) f(x) (0, ↘ ),单调递增区间是( ,+∞); f(x)在 x= ) 0 ( ,+∞) + ↗ 处取得极小值 2 2 .由 f '(x)=0 解得 x= .f(x)与 f '(x)在区间 所以, f(x)的单调递减区间是(0, f( )= - . )= - (2)证明:由(1)知, f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为 f( 因为 f(x)存在零点,所以 当 k=e 时, f(x)在区间(1, 当 k>e 时, f(x)在区间(0, 个零点. 综上可知,若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, n . - ≤0,从而 k≥e. )上单调递减,且 f( )=0,所以 x= )= 是 f(x)在区间(1, - ]上的唯一零点. ]上仅有一 )上单调递减, 且 f(1)= >0, f( <0,所以 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点. n-1 n-1 * 5. 解析 (1)由 f(x)=nx-x ,可得 f '(x)=n-nx =n(1-x ),其中 n∈N ,且 n≥2. 下面分两种情况讨论: ①当 n 为奇数时. 学习永无止境 中小学资料 令 f '(x)=0,解得 x=1,或 x=-1. 当 x 变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表: x f '(x) f(x) ②当 n 为偶数时. 当 f '(x)>0,即 x<1 时,函数 f(x)单调递增; 当 f '(x)<0,即 x>1 时,函数 f(x)单调递减. 所以, f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. (2)证明:设点 P 的坐标为(x0,0),则 x0= - (-∞,-1) ↘ (-1,1) + ↗ (1,+∞) ↘ 所以, f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增. , f '(x0)=n-n .曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f 2 '(x0)(x-x0),即 g(x)=f '(x0)(x-x

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