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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:课时跟踪检测(十八) 简单的线性规划问题

时间:2018-06-04

课时跟踪检测(十八)

简单的线性规划问题

层级一

学业水平达标
则 x+2y 的最大值是________.

y≤2x, ? ? 1.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1,

解析:作出题设约束条件的平面区域如图中阴影部分所示,平 移直线 l0:x+2y=0 至点 A 时,x+2y 取得最大值.
?y=2x, ? 由? ? ?x+y=1 ?

?x=3, ? 2 ?y=3,

1

1 2 5 可得(x+2y)max= +2× = . 3 3 3 答案: 5 3

x≥1, ? ? 2.已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a 等 ? ? y≥a?x-3?. 于________. 解析:由已知约束条件,作出可行域如图中△ABC 内部及边 界部分,由目标函数 z=2x+y 的几何意义为直线 l:y=-2x+z 在 y 轴上的截距,知当直线 l 过可行域内的点 A(1,-2a)时,目 1 标函数 z=2x+y 的最小值为 1,则 2-2a=1,a= . 2 答案: 1 2

x-y+2≥0, ? ? 3.已知实数 x,y 满足不等式组?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0,

若目标函数 z=y-ax 取得最大值时

的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为________. 解析:作出如图可行域,由 z=y-ax 得 y=ax+z 可知,直线在 y 轴上的截距最大时,z 最大,结合图象可知,在 A(1,3)处取得最大 值,需 a>1. 答案:(1,+∞)

y≤1, ? ? 4.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ? ?x-y-2≤0, 最大值为________.

则 z=x-2y 的

解析:如图,画出约束条件表示的可行域,当目标函数 z=x- 2y 经过 x+y=0 与 x-y-2=0 的交点 A(1,-1)时,取到最大值 3. 答案:3 5.如图所示,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那么 2x-y 的最小值为 ________.

解析:由图知,目标函数在点 A(1,1)时,2x-y=1; 在点 B( 3, 2)时,2x-y=2 3- 2>1; 在点 C( 5,1)时,2x-y=2 5-1>1; 在点 D(1,0)时,2x-y=2-0=2>1,故最小值为 1. 答案:1 y≥0, ? ? 6.已知实数 x,y 满足?y-x+1≤0, ? ?y-2x+4≥0, 无数个,则 a 的值为________. 解析:依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域,如图 所示.要使 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则直线 z =y-ax 必平行于直线 y-x+1=0,于是有 a=1. 答案:1 x-y+1≥0, ? ? 7.如果实数 x,y 满足条件?y+1≥0, ? ?x+y+1≤0,

若 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有

那么 z=4 x· 2y 的最大值为________.


解析:可行域为如图所示的阴影部分,A,B,C 三点的坐标分别 为(-1,0),(-2,-1),(0,-1),直线 y=2x+t 过点 B(-2,-1)时, t 取得最大值 3,故 z=4 x· 2y=2
- -2x+y

的最大值为 8.

答案:8

x+y≤a, ? ? 8.设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥8, ? ?x≥6, 取值范围是________.

且不等式 x+2y≤14 恒成立,则实数 a 的

解析: 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示, 显然 a≥8, 否则可行域无意义.由图可知 x+2y 在点(6,a-6)处取得最大值 2a -6,由 2a-6≤14 得,a≤10. 答案:[8,10]

?x≤my+n, ? 9.直线 l:x=my+n(n>0)过点 A(4,4 3),若可行域? 3x-y≥0, ? ?y≥0
14 3 .求实数 n 的值. 3 解:作出可行域如图所示,过原点的直线 OA 的倾斜角为 60°, 由直线 l:x=my+n(n>0)过点 A(4,4 3),可得 4=4 3m+n.又由

的外接圆直径为

?x=my+n, ? 可解得两直线的交点坐标即为 A(4,4 3), ? 3x-y=0
又点 B 坐标为(n,0), ∴ AB 14 3 = , 3 sin 60°

∴AB=7, ∴(4-n)2+(4 3)2=49, ∴n=3 或 5. 7x-5y-23≤0, ? ? 10.已知 x,y 满足条件:?x+7y-11≤0, ? ?4x+y+10≥0, (1)4x-3y 的最大值和最小值; (2)x2+y2 的最大值和最小值. 解:(1)作出不等式组 表示的平面区域如图阴影部分所示. 其中 A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2), 设 z=4x-3y.直线 4x-3y=0 经过原点(0,0). 作一组与 4x-3y=0 平行的直线 l:4x-3y=t. 则当 l 过 C 点时,t 值最小;当 l 过 B 点时,t 值最大.

求:

∴z 最大值=4×(-1)-3×(-6)=14, z 最小值=4×(-3)-3×2=-18. 故 4x-3y 的最大值为 14,最小值为-18. (2)设 u=x2+y2,则 u为点(x,y)到原点(0,0)的距离.结合不等式组所表示的区域,不 难知道:点 B 到原点距离最大;而当(x,y)在原点时,距离为 0. ∴u 最大值=(-1)2+(-6)2=37,u 最小值=0, ∴x2+y2 的最大值为 37,最小值为 0.

层级二
x≥0, ? ? 1.设 D 为不等式组?2x-y≤0, ? ?x+y-3≤0 距离的最小值为________.

应试能力达标

所表示的平面区域,区域 D 上的点与点(1,0)之间的

解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点 B(1,0)到直线 2x-y=0 的距离最小,d= 2 5 离为 . 5 答案: 2 5 5 |2×1-0| 2 5 = <1,故最小距 5 22+1

x-y+1≥0, ? ? 2.若实数 x,y 满足?x+y≥0, ? ?x≤0,

则 z=3x

+2y

的最小值是________.

解析:由已知不等式组作可行域如图阴影部分所示. 令 x+2y=k, 1 k 则 y=- x+ , 2 2 k 1 问题由求 k 的最小值转化为求直线 y=- x+ 的纵截距的最小值. 2 2 1 k 显然当直线 y=- x+ 过原点 O 时,截距最小, 2 2 此时 kmin=0, z=3x
+2y

的最小值为 1.

答案:1 y≥x, ? ? 3.已知 x,y 满足不等式组?x+y≤2, ? ?x≥a, =________.

且 z=2x+y 的最大值是最小值的 3 倍,则 a

解析:依题意可知 a<1.作出可行域如图所示,z=2x+y 在 A 点和
? ?x=a, B 点处分别取得最小值和最大值.由? 得 A(a , a) , 由 ?y=x, ? ? ?x+y=2, ? 得 B(1,1).∴zmax=3,zmin=3a. ?y=x, ?

1 ∴a= . 3 答案: 1 3

x+2y-19≥0, ? ? 4. 设二元一次不等式组?x-y+8≥0, ? ?2x+y-14≤0

所表示的平面区域为 M, 使函数 y=ax(a>0,

a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是________. 解析: 作二元一次不等式组的可行域如图所示,由题意得 A(1,9),C(3,8).当 y=ax 过 A(1,9)时,a 取最大值,此时 a=9;当 y =ax 过 C(3,8)时,a 取最小值,此时 a=2, ∴2≤a≤9. 答案:[2,9] x-y≥1, ? ? 5. 设变量 x, y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?x≤2,

则满足函数 y=2x-t 的 t 最大值为________.

解析:由约束条件作出可行域如图所示,可知(x,y)是由点 A(1,0),B(2,1),C(2,-1) 三点组成的三角形区域,令 t=2x-y,即当经过 C(2,-1)时,t 有最 大值 5. 答案:5 x+y≤8, ? ?x-2y≥-4, 6.若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 最大值为 a,最小值为 b,则 loga(-b)=________. 解析: 由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部 x z 分.由 z=5y-x,得 y= + . 5 5 x z 由图知目标函数 y= + ,过点 A(8,0)时,zmin=5y-x 5 5 =5×0-8=-8,即 b=-8. x z 目标函数 y= + 过点 B(4,4)时,zmax=5y-x=5×4-4=16,即 a=16.所以 loga(-b) 5 5

且 z=5y-x 的

3 =log168= . 4 答案: 3 4

7.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫 兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利 润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. (2)约束条件为 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? ?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N.

x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N. 目标函数为 ω=2x+3y+300, 作出可行域,如图所示, 作初始直线 l0:2x+3y=0,平移 l0,当 l0 经过点 A 时,ω 有最 大值,
? ? ?x+3y=200, ?x=50, 由? 得? ?x+y=100, ? ? ?y=50.

∴最优解为 A(50,50),此时 ωmax=550 元. 故每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,且最大利润为 550 元.

x≥1, ? ? 8.已知 x,y 满足约束条件?x-3y≤-4, ? ?3x+5y≤30. (1)求目标函数 z=2x+y 的最大值和最小值; (2)若目标函数 z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个,求 a 的值;

(3)求 z=

y+5 的取值范围. x+5

解:作可行域如图所示. (1)作直线 l:2x+y=0,并平移此直线,当平移直线过可行 域内的 A 点时,z 取最小值;当平移直线过可行域内的 B 点时,z 取得最大值.
?x=1, ? 5 1, ? . 由? 得 A? 3? ? ?x-3y=-4, ? ?x-3y=-4, ? 由? 得 B(5,3). ? ?3x+5y=30,

5 11 ∴zmax=2×5+3=13,zmin=2×1+ = . 3 3 (2)一般情况下,当 z 取得最大值时,直线所经过的点都是唯一的,但若直线平行于边 界直线,即直线 z=ax+y 平行于直线 3x+5y=30 时,线段 BC 上的任意一点均使 z 取得最 大值,此时满足条件的点即最优解有无数个. 3 3 3 又 kBC=- ,∴-a=- .∴a= . 5 5 5 (3)z= y+5 y-?-5? = ,可看作区域内的点(x,y)与点 D(-5,-5)连线的斜率, x+5 x-?-5?

? ?x=1, 27 1, ?. 由图可知,kBD≤z≤kCD.由? 得 C? 5? ? ?3x+5y=30, ?

27 -?-5? 5 3-?-5? 4 26 ∴kBD= = ,kCD= = , 5 15 5-?-5? 1-?-5? ∴z= y+5 4 26? 的取值范围是? ?5,15?. x+5


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