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2018-2019高三理科数学二轮复习:专题六第二讲 概率、随机变量及其分布列-含解析_图文

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数学 专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明 第二讲 概率、随机变量及其分布列 高考导航 1.考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等 内容. 2.综合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计 算问题. 1.(2017· 济南模拟)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气 质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6.已知某天的 空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( A.0.8 C.0.6 B.0.75 D.0.45 ) [解析] 设“一天的空气质量为优良”为事件 A,“连续两天为 优良”为事件 AB,则已知某天的空气质量为优良,随后一天的空气 P?AB? 0.6 质量为优良的概率为 P(B|A). 由条件概率可知, P(B|A)= = P?A? 0.75 4 = =0.8,故选 A. 5 [答案] A 数学 2.(2017· 全国卷Ⅰ)如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代 的太极图. 正方形内切圆中的黑色部色和白色部分关于正方形的中心 成中心对称. 在正方形内随机取一点, 则此点取自黑色部分的概率是 ( ) 1 A. 4 1 C. 2 π B. 8 π D. 4 [解析] 设正方形的边长为 2,则正方形的内切圆半径为 1,其 中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称, 则黑色部分的面积为 π 2 π , 所以在正方形内随机取一点, 此点取自黑色部分的概率 P= = 2 2×2 π ,故选 B. 8 [答案] B 3.(2017· 全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中 每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的二等品件数, 则 D(X)=________. [解析] 由题意知,X~B(100,0.02), ∴D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98 数学 =1.96. [答案] 1.96 4.(2017· 山东卷)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价 不同心理暗示对人的影响, 具体方法如下: 将参加试验的志愿者随机 分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过 对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作 用.现有 6 名男志愿者 A1,A2,A3,A4,A5,A6 和 4 名女志愿者 B1, B2,B3,B4,从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示,另 5 人接受乙种 心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率; (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 X 的分布列 与数学期望 E(X). [解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的 事件为 M, C4 5 8 则 P(M)= 5 = . C10 18 (2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4,则 C5 1 6 P(X=0)= 5 = , C10 42 1 C4 5 6C4 P(X=1)= 5 = , C10 21 2 C3 10 6C4 P(X=2)= 5 = , C10 21 3 C2 5 6C4 P(X=3)= 5 = , C10 21 数学 4 C1 1 6C4 P(X=4)= 5 = . C10 42 因此 X 的分布列为 X P X 的数学期望是 E(X) = 0×P(X = 0) + 1×P(X = 1) + 2×P(X = 2) + 3×P(X = 3) + 5 10 5 1 4×P(X=4)=0+1× +2× +3× +4× =2. 21 21 21 42 0 1 42 1 5 21 2 10 21 3 5 21 4 1 42 考点一 古典概型、几何概型、条件概率 1.古典概型的概率公式 m 事件A中所含的基本事件数 P(A)= n = . 试验的基本事件总数 2.几何概型的概率公式 P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 3.条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率 P(B|A)= P?AB? n?AB? = . P?A? n?A? [对点训练] 1.(2017· 山东卷)从分别标有 1,2,…,9 的 9 张卡片中不放回地 随机抽取 2 次, 每次抽取 1 张. 则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同 的概率是( ) 数学 5 A. 18 5 . 9 [解析 ] 4 B. 9 7 D. 9 由题意可知依次抽取两次的基本事件总数 n=9×8= 1 2 72, 抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数 m=C1 5C4A2= m 40 5 40,所以所求概率 P= n = = .故选 C. 72 9 [答案] C ? 1 1? 2 3 2. 在区间?-2,2?上随机取一个数 x, 则 cosπx 的值介于 与 2 2 ? ? 之间的概率为( 1 A. 3 1 C. 5 ) 1 B. 4 1 D. 6 ? 1 1? 2 3 [解析] 区间?-2,2?的长度为 1,满足 cosπx 的值介于 与 2 2 ? ? ? 1 1? ?1 1? 1 之间的 x∈?-4,-6?∪?6,4?,区间长度为 ,由几何概型概率公式 6 ? ? ? ? 1 6 1 得 P= = . 1 6 [答案] D 3.4 个高尔夫球中有 3 个合格、1 个不合格,每次任取一个,不 放回地取两次. 若第一次取到合格的高尔夫球, 则第二次取到合格高 尔夫球的概率为________. [解析] 解法一:记事件 A={第一次取到的是合格高尔夫球}, 数学 事件 B={第二次取到的是合格高尔夫球}. 由题意可得 P(AB)= 3×2 1 3×3 3 = ,P(A)= = , 4×3 2 4×3 4 1 P?AB? 2 2 所以 P(B|A)= = = . P?A? 3 3 4 解法二:记事件 A={第一次取到的是合格高

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