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第二章 2.3 2.3.1 双曲线及其标准的方程 答案

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[课时作业] [A 组 基础巩固]

x2 2 1.解析:椭圆的焦点 F1(- 3,0),F2( 3,0).与椭圆 4 +y =1 共焦点的只有 A、D 两项, x2 2 又因为 Q 点在 2 -y =1 上. 故应选 A. 答案:A 2 解析:由题意可设双曲线方程为 x2 y2 a2-5-a2=1, 又由中点坐标公式可得 P( 5,4), 5 16 ∴a2- =1,解得 a2=1. 5-a2 答案:B

||PF1|-|PF2||=|3-|PF2|| 3. 解析: 由题意知 a=3, b=4, c=5, 由双曲线定义知,
=2a=6,∴|PF2|=9 答案:B x2 y2 4.解析:双曲线的方程为 2 - 2 =1, 所以 a=b= 2,c=2, 因为|PF1|=2|PF2|, 所以点 P 在双曲线的右支上, 则有|PF1|-|PF2|=2a=2 2, 所以解得|PF2|=2 2,|PF1|=4 2, 所以根据余弦定理得 ?2 2?2+?4 2?2-16 3 cos∠F1PF2= =4. 2×2 2×4 2 答案:C 5.解析:∵||PF1|-|PF2||=2, ∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4,
1

∴|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1||PF2|, 由余弦定理知 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1||PF2|cos 60° , 又∵a=1,b=1, ∴c= a2+b2= 2, ∴|F1F2|=2c=2 2, ∴4+2|PF1||PF2|-8=|PF1||PF2|, ∴|PF1||PF2|=4, 设 P 到 x 轴的距离为|y0|, 1 S△PF1F2=2|PF1||PF2|sin 60° 1 =2|F1F2||y0|, 1 3 1 ∴2×4× 2 =2×2 2|y0|, ∴y0= 故选 B. 答案:B 6.解析:方程化为标准形式是 y2 x2 - 8 1=1, -k -k 3 6 =2. 2

8 1 所以-k- k=9, 即 k=-1. 答案:-1 y2 x2 7.解析:根据焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0),得 ?5-m<0, ?m>5, 满足题意的 m 需满足不等式组? 2 即? ?m -2m-3>0, ?m>3或m<-1, ∴m>5,∴m 的取值范围为(5,+∞). 答案:(5,+∞)

2

x2 y2 8.解析:由 9 -16=1 知 c=5, ∴|F1F2|=2c=10, 由双曲线定义知, |PF1|-|PF2|=6, ∴|PF1|=6+|PF2|=16, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF ||PF |
1 2

256+100-100 4 = =5. 2×16×10 3 ∴sin∠F1PF2=5. ∴S
PF1F2

1 1 3 =2|PF1||PF2|sin∠F1PF2=2×16×10×5=48.

答案:48 9.解析:将圆的方程化成标准式: F1:(x+5)2+y2=1,圆心 F1(-5,0),半径 r1=1, F2:(x-5)2+y2=72,圆心 F2(5,0),半径 r2=7. 由于动圆 M 与定圆 F1,F2 都外切, 所以|MF1|=r+1,|MF2|=r+7, ∴|MF2|-|MF1|=6, ∴点 M 的轨迹是双曲线的左支,且焦点 F1(-5,0),F2(5,0), ∴c=5,且 a=3,∴b2=c2-a2=52-32=16. x2 y2 ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 9 -16=1(x<0). 10.解析:(1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13. 设|MF1|=r1, |MF2|=r2(r1>r2). 由双曲线定义, 有 r1-r2=2a=4,
2 两边平方得 r2 r2=16, 1+r2-2r1·

即|F1F2|2-4S△F1MF2=16,
3

也即 52-16=4S△F1MF2, 求得 S△F1MF2=9. (2)若∠F1MF2=60° .在△MF1F2 中,由余弦定理得
2 |F1F2|2=r2 , 1+r2-2r1r2cos 60°

|F1F2|2=(r1-r2)2+r1r2, 解得 r1r2=36. 1 求得 S△F1MF2=2r1r2sin 60° =9 3. [B 组 能力提升]

1.解析:由 mn<0?m<0,n>0 或 m>0,n<0, 所以 mx2+ny2=1 表示焦点可能在 x 轴上也可能在 y 轴上的双曲线; 而 mx2+ny2=1 表示焦点在 x 轴的双曲线则有 m>0,n<0, 故 mn<0. 故应选 B. 答案:B 2.解析:由题意结合双曲线定义得|AF2|=2a+|AF1|,|BF2|=2a+|BF1|. 又|AF1|+|BF1|=|AB|=5,2a=8, ∴△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AB|+4a+|AB|=16+2|AB|=26. 答案:D 3.解析:如图,由椭圆定义知, |PF1|+|PF2|=2 m, ∴(|PF1|+|PF2|)2=4m. 由双曲线定义知, |PF1|-|PF2|=2 a, ∴(|PF1|-|PF2|)2=4a, ①-②得,|PF1|· |PF2|=m-a. 答案:m-a →· → 4.解析:(1)不妨设 M 在双曲线的右支上,M 点到 x 轴的距离为 h,MF 1 MF2= 0, 则 MF1⊥MF2,
4





设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线定义知,m-n=2a=8, 又 m2+n2=(2c)2=80, 由①②得 m· n=8, 1 1 ∵2mn=4=2|F1F2|· h, 2 5 ∴h= 5 . (2)设所求双曲线 C 的方程为 x2 y2 - =1(-4<λ<16), 16-λ 4+λ 由于双曲线 C 过点(3 2,2), 18 4 ∴ - =1, 16-λ 4+λ 解得 λ=4 或 λ=-14(舍去). x2 y2 ∴所求双曲线 C 的方程为12- 8 =1. 5.解析:∵△MPN 的周长为 48,且 tan∠PMN ∴设|PN|=3k,|PM|=4k, 则|MN|=5k. 由 3k+4k+5k=48 得 k=4. ∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20. 以 MN 所在直线为 x 轴,以 MN 的中点为原点建立直角坐标系,如图所示. 设所求双曲线方程为 x2 y2 - =1(a>0,b>0). a2 b2 由|PM|-|PN|=4 得 2a=4,a=2,a2=4. 由|MN|=20 得 2c=20,c=10,∴b2=c2-a2=96. x2 y2 ∴所求双曲线方程为 4 -96=1(x≠± 2). 3 = , 4 ① ②

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