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2008年湖北鄂州高中素质班自主招生数学试题

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部分试题参考答案 21、 (1)证明:∵ BC 是 O 的直径, BE 是 O 的切线, ∴ EB ? BC . 又∵ AD ? BC ,∴ AD ∥ BE . 易证 △BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC . E BF CF EF CF ∴ ? , ? . DG CG AG CG BF EF F ∴ ? . DG AG ∵ G 是 AD 的中点, P B ∴ DG ? AG . ∴ BF ? EF . (2)证明:连结 AO,AB . ∵ BC 是 O 的直径,∴ ?BAC ? 90° . 在 Rt△BAE 中,由(1) ,知 F 是斜边 BE 的中点, ∴ AF ? FB ? EF . ∴ ?FBA ? ?FAB . 又∵ OA ? OB ,∴ ?ABO ? ?BAO . ∵ BE 是 O 的切线,∴ ?EBO ? 90° . ∵ ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° , ∴ PA 是 O 的切线. (3)解:过点 F 作 FH ? AD 于点 H . ∵ BD ? AD,FH ? AD ,∴ FH ∥ BC . 由(1) ,知 ?FBA ? ?BAF ,∴ BF ? AF . 由已知,有 BF ? FG ,∴ AF ? FG ,即 △ AFG 是等腰三角形. ∵ FH ? AD ,∴ AH ? GH .∵ DG ? AG , HG 1 ∴ DG ? 2 HG ,即 ? . DG 2 ∵ FH ∥ BD,BF ∥ AD,?FBD ? 90° , ∴ 四边形 BDHF 是矩形, BD ? FH . ∵ FH ∥ BC ,易证 △HFG ∽△DCG . FH FG HG BD FG HG 1 ∴ ? ? ? ? ? . ,即 CD CG DG CD CG DG 2 A G H C D O ∵ O 的半径长为 3 2 ,∴ BC ? 6 2 . ∴ BD BD BD 1 ? ? ? . CD BC ? BD 6 2 ? BD 2 解得 BD ? 2 2 . ∴ BD ? FH ? 2 2 . ∵ FG HG 1 1 ? ? ,∴ FG ? CG .∴CF ? 3FG . CG DG 2 2 在 Rt△FBC 中,∵ CF ? 3FG , BF ? FG , 由勾股定理,得 CF ? BF ? BC .∴(3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 . 2 2 2 解得 FG ? 3 (负值舍去) .∴ FG ? 3 . [或取 CG 的中点 H ,连结 DH ,则 CG ? 2 HG .易证 △ AFC ≌△DHC , ∴ FG ? HG ,故 CG ? 2 FG , CF ? 3FG . 由 GD ∥ FB ,易知 △CDG ∽△CBF ,∴ CD CG 2 FG 2 ? ? ? . CB CF 3FG 3 由 6 2 ? BD 2 ? ,解得 BD ? 2 2 . 3 6 2 又在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 (3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 , ∴ FG ? 3 (舍去负值) . ] 24、解:对游戏 A: 画树状图 开始 2 3 4 2 或用列表法 第 第 一 次 3 4 2 3 4 2 3 4 二 次 2 3 4 2 3 4 (2, 2) (3, 2) (4, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (3, 3) (4, 3) 所有可能出现的结果共有

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