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2008年湖北鄂州高中素质班自主招生数学试题

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部分试题参考答案 21、 (1)证明:∵ BC 是 O 的直径, BE 是 O 的切线, ∴ EB ? BC . 又∵ AD ? BC ,∴ AD ∥ BE . 易证 △BFC ∽△DGC , △FEC ∽△GAC . E BF CF EF CF ∴ ? , ? . DG CG AG CG BF EF F ∴ ? . DG AG ∵ G 是 AD 的中点, P B ∴ DG ? AG . ∴ BF ? EF . (2)证明:连结 AO,AB . ∵ BC 是 O 的直径,∴ ?BAC ? 90° . 在 Rt△BAE 中,由(1) ,知 F 是斜边 BE 的中点, ∴ AF ? FB ? EF . ∴ ?FBA ? ?FAB . 又∵ OA ? OB ,∴ ?ABO ? ?BAO . ∵ BE 是 O 的切线,∴ ?EBO ? 90° . ∵ ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° , ∴ PA 是 O 的切线. (3)解:过点 F 作 FH ? AD 于点 H . ∵ BD ? AD,FH ? AD ,∴ FH ∥ BC . 由(1) ,知 ?FBA ? ?BAF ,∴ BF ? AF . 由已知,有 BF ? FG ,∴ AF ? FG ,即 △ AFG 是等腰三角形. ∵ FH ? AD ,∴ AH ? GH .∵ DG ? AG , HG 1 ∴ DG ? 2 HG ,即 ? . DG 2 ∵ FH ∥ BD,BF ∥ AD,?FBD ? 90° , ∴ 四边形 BDHF 是矩形, BD ? FH . ∵ FH ∥ BC ,易证 △HFG ∽△DCG . FH FG HG BD FG HG 1 ∴ ? ? ? ? ? . ,即 CD CG DG CD CG DG 2 A G H C D O ∵ O 的半径长为 3 2 ,∴ BC ? 6 2 . ∴ BD BD BD 1 ? ? ? . CD BC ? BD 6 2 ? BD 2 解得 BD ? 2 2 . ∴ BD ? FH ? 2 2 . ∵ FG HG 1 1 ? ? ,∴ FG ? CG .∴CF ? 3FG . CG DG 2 2 在 Rt△FBC 中,∵ CF ? 3FG , BF ? FG , 由勾股定理,得 CF ? BF ? BC .∴(3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 . 2 2 2 解得 FG ? 3 (负值舍去) .∴ FG ? 3 . [或取 CG 的中点 H ,连结 DH ,则 CG ? 2 HG .易证 △ AFC ≌△DHC , ∴ FG ? HG ,故 CG ? 2 FG , CF ? 3FG . 由 GD ∥ FB ,易知 △CDG ∽△CBF ,∴ CD CG 2 FG 2 ? ? ? . CB CF 3FG 3 由 6 2 ? BD 2 ? ,解得 BD ? 2 2 . 3 6 2 又在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 (3FG)2 ? FG2 ? (6 2)2 , ∴ FG ? 3 (舍去负值) . ] 24、解:对游戏 A: 画树状图 开始 2 3 4 2 或用列表法 第 第 一 次 3 4 2 3 4 2 3 4 二 次 2 3 4 2 3 4 (2, 2) (3, 2) (4, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (3, 3) (4, 3) 所有可能出现的结果共有 9 种,其中两数字之和为偶数的有 5 种,所以游戏 A 小华获胜的 5 4 ,而小丽获胜的概率为 .即游戏 A 对小华有利,获胜的可能性大于小丽. 9 9 对游戏 B : 概率为 画树状图 开始 小华 5 6 8 8 小丽 6 或用列表法 8 8 5 8 8 5 6 8 5 6 8 小 小 华 5 6 8 8 丽 5 6 8 8 —? (6, 5) (8, 5) (8, 5) (5, 6) (5, 8) (6, 8) (5, 8) (6, 8) —? (8, 6) (8, 6) —? (8, 8) (8, 8) —? 所有可能出现的结果共有 12 种,其中小华抽出的牌面上的数字比小丽大的有 5 种;根据 游戏 B 的规则, 当小丽抽出的牌面上的数字与小华抽到的数字相同或比小华抽到的数字小 时,则小丽获胜.所以游戏 B 小华获胜的概率为 对小丽有利,获胜的可能性大于小华. 5 7 ,而小丽获胜的概率为 .即游戏 B 12 12

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