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2013届高三数学一轮复习课件第八章椭圆双曲线直线与圆锥曲线的位置关系

时间:2012-08-20


2013届高三数学一轮复习课件第八章椭圆直线 与圆锥曲线的位置关系

考 1



考纲解读

直线与圆锥曲 能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究 线的位置关系 方程组的解的问题.会利用直线与圆锥曲线方程所组成的 方程组消去一个量后,将交点问题(包括公共点个数、与 交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题,结 合根与系数的关系及判别式解决问题.能够运用数形结合, 迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系,但要注意曲线 上的点的纯粹性.

?
从近两年的高考试题来看,直线与圆锥曲线的位置关系、弦长 、中点弦的问题等是高考的热点问题,题型既有选择题、填空题,又 有解答题,难度属中等偏高.客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置 关系、弧长问题,解答题考查得较为全面,在考查上述问题的同时,注 重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想方法. 预测2013年高考仍将以直线与圆锥曲线的位置关系为主要考点,重

点考查运算能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力.

?
1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线相交、相切 、相离,解题的方法是将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成 的方程组解的个数,进而转化为一元(一次或二次)方程解的情况去 研究.

(1)若a=0,直线与圆锥曲线有一个公共点,但并不相切.此时,圆锥曲线 不会是椭圆.当圆锥曲线为双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或

重合.当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行或重合. (2)若a≠0,设Δ=b2-4ac ①Δ>0时,直线与圆锥曲线相交于两个点; ②Δ=0时,直线与圆锥曲线相切; ③Δ<0时,直线与圆锥曲线相离. 另外,还能利用数形结合的方法,迅速判断某些直线和圆锥曲线的位 置关系. 2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算

(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间的 距离公式求弦长. (2)解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的 一元二次方程,设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线斜率 为k,则弦长公式为
|AB|= ?(1 ? k
2

)[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]
2

或 |AB|=

(1 ?

1 k
2

)[( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ]
2

?(k≠0).

1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有? ( ) (B)1条. (C)2条. (D)3条.

(A)0条.

【解析】因为点(2,4)在抛物线y2=8x上,所以过点(2,4)与抛物线只有

一个公共点的直线有切线一条,平行于抛物线对称轴的直线一条,共
2条. 【答案】C

?
1.直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系 (1)对于椭圆来说,直线与椭圆有一个公共点,直线与椭圆必相切;反 之,直线与椭圆相切,则直线与椭圆必有一个公共点. (2)对于双曲线来说,当直线与双曲线有一个公共点时,除了直线与双 曲线相切外,还有直线与双曲线相交,此时直线与双曲线的渐近线平

行.

(3)对于抛物线来说,当直线与抛物线有一个公共点时,除了直线与抛 物线相切外,还有直线与抛物线相交,此时直线与抛物线的对称轴平 行或重合.

(4)联立直线方程与双曲线方程消去x(或y)后,判别式Δ>0则直线与双
曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有Δ>0;当直线与双曲线的渐 近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点.所以Δ>0是直线与

双曲线相交的充分条件,但不是必要条件.

(5) 联立直线方程与抛物线方程消去x(或y)后,判别式Δ>0则直线与 抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有Δ>0,当直线与抛物线的 对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点.所以Δ>0是直线 与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件. 2.数形结合思想的应用. 要注意数形结合思想的运用.在做题时,最好先画出草图,注意观察、 分析图形的特征,将形与数结合起来.特别地: (1)过双曲线 ?? - =1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点
x
2

y

2

a

2

b

2

的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有

两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共 四条;②P点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐 近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在 两条渐近线上但非原点,只有两条即一条是与另一渐近线平行的直 线,一条是切线;④P为原点时,不存在这样的直线. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,即 两条切线和一条平行于对称轴的直线. 3.直线与圆锥曲线相交的问题 (1)直线与圆锥曲线相交问题是解析几何中一类重要问题,注意应用

根与系数间的关系、“设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线 的综合问题.

(2)运用“点差法”解决弦的中点问题
涉及弦的中点问题,可以利用判别式和韦达定理的方法加以解决,也 可利用“点差法”的方法解决此类问题.若知道中点,则利用“点差 法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率.比较两种方法,用“点差

法”的方法的计算量较少,此法在解决有关存在性问题时,要结合图
形和判别式Δ加以检验.

(1 (3) 弦长公式 |AB|= ? ? k

2

)[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]
2

或 |AB|=

(1 ?

1 k
2

)[( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ]
2

?(k≠0)中,k指的是直线AB的斜率.在计算弦长时
要特别注意一些特殊情况:①直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直 的情况,一般要首先验证;②直线过圆锥曲线的焦点,在出现这些情况 时可以直接计算或利用曲线的定义把弦长进行转化.

4.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程 (1)AB是椭圆? ? + =1(a>b>0)的一条弦,M(x0,y0)是AB的中点,则kAB=x
2

y

2

a

2

b

2

? ,k
b x0
2 2

AB

·OM=-? k .点差法求弦的斜率的步骤是:
b
2

a y0

a

2

(ⅰ)将端点坐标代入方程:? ? ? ? + =1, + =1;
x1

2

y1

2

a

2

b

2

x2

2

y2

2

a

2

b

2

(ⅱ)两等式对应相减:?? ? ? - + - =0;
x1 x2 a
2

2

2

a

2

y1

2

y2

2

b

2

b

2

(ⅲ)分解因式整理: kAB=?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

=-

b ( x1 ? x 2 )
2 2

a ( y1 ? y 2 )

b x ?=-?.
2 0

a y0

2

(2)运用类比的方法可以推出:已知AB是双曲线? ? - =1(a>0,b>0)的
x

2

y

2

a

2

b

2

弦,弦AB的中点为M(x0,y0),则kAB=? ;已知抛物线y2=2px(p>0)的弦AB
b x0
2

2

a y0

p 的中点为M(x0,y0),则kAB=? . y0


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