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对一道习题的探究_论文

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对 一道 习题 的探 究  ■ 刘 兆 成  例 题  已知 数 列 { n   } 中a 1 —5 , Ⅱ 2 —2 , a   一2 a  l +3 口  2   (  ≥ 3 ) , 对 于这 个 数 列 的 通 项 公 式 作 一研 究 , 能 否 写 出它 的 通  项公式 ?   …   . … 一   +  笔 者 除 按 照 教 材 配 套 的教 师 用 书 解 答 该 题 外 , 在 课 堂 上 不  a  2一   & 1   失 时 机 地 践行 课 标 对 能 力 考 查 的要 求 , 以多元化 、 多 途径 、 开 放  式的设问 , 客观地 、 全 面 地 引 导学 生 积 极 思 维 , 激 发 学 生 的 探 索  e( r m— - k) ‘   “ ‘   — 精神 , 培 养 求 异 创新 能力 . 通过深 入探讨 , 发 现 很 多 求 通 项 的数  列 题 有 其 共 同特 性 并 可 化 归 为 此 类 型 . 现 给 出利 用 一 元 二 次 方  程( 特征方程) 解答此题型 , 并 说 明 这 种 方 法 的优 势 .   一 令 A一   , B一  所以a   =Ak  +B m  .   ( 2 ) 看 方 程 组 (* ) 无 实 数 解 , 即 m、 k 为 一 兀 二 次 方 程  、 问 题  问题 : 已知 数 列 { Ⅱ  } 中a 1 , a   2且 p a  2 +q a   + 1 +r a  一 0   z +  D  + 二 一0的两 虚 数 根 。 也即一元二次方程 P  z +  +  a  (  , q, r是 不 为 零 的 常 数 ) , 求通项 a   .   解析: 通过 递推式变形 , 应 用待定系数法入 门 , 找 出通 解 .   r =O满 足 条 件 : △一q   一4 p r  ̄O . 根 据 一 元 n次 实 系 数 方 程 的  虚根成对定理知 : m、 k互 为 共 同 虚 数 , 此 时 显 然 m ≠k, 如 前  递 推式变形为 : n   +   +÷ n   一   + ÷。  一0 , 存 在不 为零 的   P  P  2  ̄ 所述也有 a   n 一是 a I n a 数 m, 最使 得 ( n   + 2 一ma   n + 1 ) 一 ( 口   + l —ma  ) .   化 简得 口   + 2 一( m+ k ) n   + 1 +mk a  一0 .   矗一 m ( )?   +  ?m .   设 m— r ( c o s  + i s i n  ) ,  一 r ( c o s   0 一i s i n  ) ( r >O ) .   令 A一  a   2 -   m  a l   一   竺   !   !  ±   一   r( C O S   0一 i s i n  ) r r ( c 0 s   0一 i s i n口 ) 一 r( c 0 s   0+ i s i n口 ) ]   一   ! 二! 竺  !   二  r  ( 一1 +C O S   2 0 一i s i n   2 0 ) ‘   同理 B一  .   根 据 复 数 的 性 质 “ (   ) 一   ( z ≠ 。 ) , , 易 知 A 的 共 轭 复 数   为 B.   再 令 A— r l ( c o s   —i s i n  ) , B— r l ( c o s   +i s i n  ) ( r l >  所 以  一  一  .   O ) , 贝 Ⅱ 有a  。 二r l ( c o s   9 -i s i n  )‘ k  +r l ( c o s +i s i n  )? m  一r l   r   [ ( c 0 s ( 一  — n O ) +/ s i n ( 一  一  口 ) ] +r 1 r   [ c o s ( 9   所 以 数 列  ) 是 首 项 为   , 公 差 为   数 列.   所以   a   n一   +(  一 1 ).   .   的 等 差   +  ) +i s i n ( 9 +  ) ] 一2 r 1   r   c o s ( n O +9 ) .   故a  一2 r l r   c o s ( n O + ) (  ∈ N+, r 1 >0 , r >0 , O ≤ ≤  丁 c ) .   二、 模 型  由上 可 知 “ 已知数 列 { 。  } 中 a  , a   z且  +   +q a   +  一   所 以 一、 (    m +   ?  m  ) ,   令 A一   , B一  二  .  r a  一O ( p、 g 、 r是不 为 零 的 常 数 且 P> 0 ) , 求 通项 a   ” 的 解 题  方法是 :   中掌生数理亿 . 掌研版   设 特 征 方 程 的两 根 为 志, m, 判 别 式 A—q   一4 p r .   ① 当 A一 0 , 即 m一  时 , 数 列{ a   } 通项 口  =A m  +B k   .   ② 当 △> O , 即 m≠ k时 , 数列 { n  } 通项 .   所以 Ⅱ  一 ( A+ Bn) m .   ②当 △ >O , 即 m≠  时 , 易得数列 { n   +   一ma  ) 是 公 比 为  k, 首项 为 n  一mn  的 等 比数 列 , 因此有 :   ③当 △ <O , 时, m, k互 为 共 轭 复 数 , 数列 { a   } 的通 项 公 式  为 n   一2 r l   r   c o s ( n O + ) .   n   +   一 彻  一( n   z

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