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高中数学人教版选修2-1教学课件:3.2.1立体几何中的向量方法(一)_图文

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立体几何中的向量方法(一) 立体几何中的向量方法(一) 前面,我们把 推广到 平面向量 空间向量 向量 渐渐成为重要工具 立体几何问题 (研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形) 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用. (课本第 111 页)思考 1: 怎样用向量来表示点、 直线、 平面在空间中的位置? ⑴点 在空间中,我们取一定点 O 作为基点, 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 ??? ? ??? ? OP 来表示,我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量. P ⑵直线 P 空间中任 ? 意一条直线 l a 的位置可以由 l 上一个定点 O A 以及一个定 B 方向确定. A ⑵直线 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定. P ? a 对于直线 l 上的任一点 P , ??? ? ??? ? 存在实数 t 使得 AP ? t AB A 此方程称为直线的向量参数方程 B ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? ta 或 OP ? xOA ? yOB (x ? y ? 1 ) ? b ⑶平面 ? O P ? a ⑶平面 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定. ? n 对于平面 ? 上的任一点 P , ? P b 存在有序实数对 ( x, y) ,使得 ? ??? ? ? ? ? O a OP ? xa ? yb 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置. ? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 ? ,则称这个向量垂直于平 直线垂直于平面 ? ? ? 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. ? n 给定一点 A 和一个向量 , 那么 ? l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 ? n 完全确定的. A 几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行 ? ; 3.向量 ?? n 是平面的法向量,向 量m 是与平面平行或在平面 ? ?? 内,则有 n ? m ? 0 (课本第 113 页)思考 2: ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 平行 垂直 夹角 因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置,所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗?你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗? ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; ? ? ? ? 线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; ? ? ? ? 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv . 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合. 画出图形意会 ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0; 线线垂直 ? ? ? ? l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; 线面垂直 面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0. 画出图形意会 a?b 两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? ; 2 a b ? ? a?u ? 直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), sin ? ? ? ? ; 2 a u ? ? u?v 二面角 ? ─l ─ ? 的大小为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ? ), cos ? ? ? ? . u v ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? 画出图形意会 以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会. 练习 1.已知两点 A( 1 , ? 2,) 3 ,( B 2, 1, ?3 ),求直线 AB 与坐 标平面 yOz 的交点. 2. 已知两点 A , 点 Q 在 OP (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) ??? ??? 上运动,求当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. ???? ? 3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是平 面 ACD1 的一个法向量. 1答案 2答案 3答案 练习 1.已知两点 A( 1 , ? 2,) 3 ,( B 2, 1, ?3 ),, 求直线 AB 与坐标平面 yOz 的交点. 解:设直线 AB 与 yOz 平面的交点为 C (0, y1 , y2 ) ??? ? ??? ? ??? ? 由OC ?( 1 ? t) OA ? tOB得 (0, y1 , z1 )?( 1 ? t) (1, ?2, 3) ? t (2,1, ?3) ? ( 0, y1 , z1 )? (1 ? t, ? 2 ? 3t, 3 ? 6t) ??? ? ? OC ?(0, ? 5, 9 ) 练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP ??? ??? 上运动,求当 QA ? QB 取得最小值时,点

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