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南充高中2011年素质技能邀请赛数学试题1

时间:2012-07-25

南充高中 2011 年素质技能邀请赛

数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题(每小题 5 分,共计 30 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番 号填入答题卷的相应位置)
2 2 1.已知 y ? 1 且 2 x ? y ? 1 ,则 2 x ? 1 6 x ? 3 y 的最小值为

A.

19 2

B. 3

C.

27 7

D.13

2. A E , C F 是锐角三角形 A B C 的两条高,如果 A E : C F ? 3 : 2 ,则 sin A : sin C 等于 A. 3:2
2

B. 2:3

C. 9:4

D.4:9

3.关于 x 的方程 a x ? ( a ? 2 ) x ? 9 a ? 0 有两个不等的实数根 x1 , x 2 ,且 x1 ? 1 ? x 2 ,那么
a 的取值范围是

A. ?

2 7

? a ?

2 5

B. a ?

2 5

C. a ? ?

2 7

D. ?

2 11

? a?0

4.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后,得到新的盐水,它的浓度为 20℅,又在新盐 水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后,盐的浓度变为 3 3 水的浓度为 A.23℅
1 3

℅,那么原来盐

B.25℅

C. 30℅
q?n ?

D.32℅
q ? m ,则 p

5.已知是两个连续自然数 ( m ? n ) ,且 q ? m n ,设 p ? A.总是奇数 C.有时是奇数有时是偶数 6. P 为正三角形 A B C 内部一点, P D ? B C 则 A. P A ? P B ? P C 的值不变 C. P D ? P E ? P F 的值不变

B.总是偶数 D.有时是有理数有时是无理数 于 D , PE ? AC 于 E , PF ? AB 于 F , B. P A ? P B ? P C 的值不变 D. P D ? P E ? P F 的值不变

二、填空题(每小题 5 分,共计 50 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处)

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题

第1页 共6页

7.若

1 x

?

2 y

?

3 z

? 5,

3 x

?

2 y

?

1 z

? 7 ,则

1 x

?

1 y

?

1 z

?

8.关于 x , y 的二次式 x ? 7 xy ? m y ? 5 x ? 43 y ? 24 可以分解为两个一次因式的乘积, 则
2 2

m 的值是

A

9.如图△ABC 中,AC>AB,AB=4,AC=x,AD 平分∠BAC, BD⊥AD 于 D,点 E 是 BC 的中点,DE=y,则 y 关于 x 的函数关系式为

D B E C

10.袋中装有 3 个红球,一个白球,它们除了颜色以外都相同,随机从中摸出一球,记下 颜色后放回袋中充分摇匀后,再随机摸出一球,两次都摸到红球的概率为 11. 光 线 如 图 示 的 角 度 照 射 到 平 面 镜 上 , 然 后 在 两 平 面 镜 之 间 来 回 反 射 , 已 知
? ? 6 0 , ? ? 5 0 ,则 ? ?
0 0

? 0 12.在平面直角坐标系中, 已知 P1 的坐标 ? 1, 0 ? , 将其绕着原点按逆时针方向旋转 3 0 得到
P2 ,延长 O P2 到 P3 使 O P3 ? 2 O P2 ,再将 P3 绕原点按逆时针方向旋转 3 0 得到 P4 ,延
0

?

A1

?

?

长 O P4 到 P5 使 O P5 ? 2 O P4 ,如此继续下去,则点 P2 0 1 0 的坐标为 13. 一 圆 周 上 有 三 点 A , B , C , ? A 的 平 分 线 交 边 B C 于 D , 交 圆 于 E , 已 知
B C ? 2 , A C ? 3 , A B? ,则 A D ? D E ? 4

14.在锐角 ? A B C 中,高 B D , C E 交于点 F ,? A ? 4 5 , ? D E F 的面积为 S ,则 ? B F C 的
0

面积为 15.方程 x ? 2 x ? 1 ?
x?2
2

x ? 1 ? x ? 1 的解为
2 0 ? , 则 x ? 2011 ; ② 若 xy ? 0 , 且 1 2 1

0 16. 下 列 命 题 : ① 若 x ? 2 0 1 ?
2

a ? 2 y ? 1 ? ( x ? 1 ) ? 则 a ? ?1 ; ,0 ③若一直角梯形的两条对角线的长分别为 9 和 11,

上、 下两底长都是整数, 则该梯形的高为 6 2 ; ④已知方程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? b ? c ) 的
2

一个根为 1,另一个根的取值范围是 ? 2 ? ? ? ?
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1 2

.
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其中正确的命题的序号为

/ / / / / / / / / / / / / / / 密/ / / / / / / / / / / / / / 封/ / / / / / / / / / / / / / 线/ / / / / / / / / / / / / / / /

第Ⅱ卷(答题卷)
一、选择题答案:(每小题 5 分,共计 30 分) 题号 答案 二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 50 分) 7.______________________ 9.______________________ 11._____________________ 13._____________________ 8.______________________ 10.______________________ 12.______________________ 14.______________________ 1 2 3 4 5 6

考号_________________

初中就读学校___________________________

15._____________________ 16._____________________ 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题 10 分)设 a b c ? 1 ,求
a ab ? a ? 1 ? b bc ? b ? 1 ? c ac ? c ? 1

的值.

18. (本小题 12 分)已知 ? A B C 的两边 A B , A C 的长是关于 x 的一元二次方程
x ? (2 k ? 3) x ? k ? 3 k ? 2 ? 0 的两个实数根,第三边长为 5.
2 2

(1) k 为何值时, ? A B C 是以 B C 为斜边的直角三角形 (2) k 为何值时, ? A B C 是等腰三角形,并求 ? A B C 的周长

姓名________________

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19. (本小题 12 分)在平行四边形 A B C D 中, P 为 C D 边上一点, A P 与 B P 分别为 ? D A B 和 ? C B A 的平分线 (1)判断 ? A P B 是什么三角形,并证明你的结论; (2)比较 D P 与 P C 的大小; (3)以 A B 为直径的⊙ O 交 A D 于点 E ,连接 B E 与 A P 交于 F ,若 AD ? 5, AP ?8 , P C D 求证: ? A E F ∽ ? A P B ,并求 tan ? A F E 的值

A

B

20. (本小题 12 分)已知 ? A B C 是⊙ O 的内接三角形, B T 为⊙ O 的切线, B 为切点, P 为直线 A B 上一点,过点 P 做 B C 的平行线交直线 B T 于点 E ,交直线 A C 于点 F (1)当点 P 在线段 A B 上时求证: P A ? P B ? P E ? P F (2)当点 P 为线段 B A 延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证 明,否则说明理由; (3)若 A B ? 4 2 , cos ? E B A ?
1 3

,求⊙ O 的半径 A P A E B T F

.
O

C

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21. (本小题 12 分)如图所示,已知 A , B 两点的坐标分别为(28,0)和(0,28) ,动点 P 从点
A 开始, 在线段 AO 上以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O 运动, 动直线 E F 从 x 轴开始,

以每秒 1 个长度单位的速度向上移动 (即 E F ∥ x 轴)且分别与 y 轴、 , 线段 A B 交于点 E , F , 连接 F P ,设动点 P 与动直线 E F 同时出发,运动时间为 ts (1)当 t ? 1s 时,求梯形 OPFE 的面积, t 为何值时,梯形 OPFE 的面积最大?最大面积 是多少? (2)当梯形 OPFE 的面积等于三角形 APF 的面积时,求线段 P F 的长; (3)设 t 的值分别取 t1 , t 2 时( t1 ? t 2 ) ,所对应的三角形分别为 ? A F1 P1 和 ? AF2 P2 ,判断这两 个三角形是否相似,请证明你的结论. y B

E P

F x A

O

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22. (本小题 14 分)如图,已知点 B (-2,0) C (-4,0),过点 B , C 的⊙ M 与直线 x ? ? 1 相切 于点 A ( A 在第二象限),点 A 关于 x 轴的对称点是 A1 ,直线 A A1 与 x 轴相交点 P (1)求证:点 A1 在直线 M B 上 (2)求以 M 为顶点且过 A1 的抛物线的解析式; (3)设过点 A1 且平行于 x 轴的直线与(2)中的抛物线的另一交点为 D ,当⊙ D 与⊙ M y 相切时,求⊙ D 的半径和切点坐标

M C D
A1

A B P O

x

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