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导数公式及导数的四则运算法则导学案

时间:2015-04-24


导数公式及导数的四则运算法则导学案
【学习目标】 : 1、掌握基本初等函数的导数公式,并能利用公式求简单函数的导数; 2、掌握导数的四则运算法则,并能利用公式求简单函数的导数; 3、能运用公式处理某些实际问题。 【教学重点】基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 【教学难点】 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 【教学过程】 一、知识回顾: 公式 1、 (C )' ? 0 公式 2、 ( x n )' ? nxn?1 (C 为常数) (n 为有理数)

二、自学提升 (一)基本初等函数的导数公式表

函数

导数

y?c

y' ? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

y' ? ex
f ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a f ' ( x) ? 1 x

(二)公式的应用

例1、求下列函数的导数 (1) y ? x 5 (4) y ? ln x (2) y ? 5 (5) 1 x y ? log2 x (6) y ? cos x (3) y ?

(三)基础训练

1、求下列函数的导数: (1) y ? x 1 (2) y ? 5 x (3) y ? 5 x (4) y ? e5
(六)导数的运算法则 (1)导数的四则运算法则:
导数运算法则
5

? f ( x) ? g ( x) ? ? f ' ( x) ? g ' ( x) ' ' ' 2、 ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x )
1、
'

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ( g ( x) ? 0) 3、 ? ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?

'

' (2)推论: ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) '

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 三、典例分析 例 3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x3 ? 2 x ? 3 (2) y ?

1 1 ? ; 1? x 1? x

(3) y ? x ? sin x ? ln x ;

x ; 4x 1 ? ln x (5) y ? . 1 ? ln x
(4) y ? (6) y ? (2 x ? 5x ? 1) ? e ;
2 x

(7) y ?

sin x ? x cos x cos x ? x sin x

解: (1) y' ? ( x3 ? 2x ? 3)' ? ( x3 )' ? (2 x)' ? (3)' ? 3x2 ? 2 ,

y ' ? 3x 2 ? 2 。
(2) y ? (
'

1 ' 1 ' (1 ? x )' (1 ? x )' ) ?( ) ? ? 1? x 1? x (1 ? x )2 (1 ? x )2
? 1

1 ?

2 x ? 2 x (1 ? x ) 2 (1 ? x ) 2

?

1

2 x (1 ? x )

[

1
2

?

1 (1 ? x )2

]

?

(1 ? x )2 ? (1 ? x )2 (1 ? x)2 2 x 1 ? (1 ? x) x x(1 ? x)2 (1 ? x) x x(1 ? x)2
' ' '

?

y' ?

(3) y ? ( x ? sin x ? ln x) ? [( x ? ln x) ? sin x]

? ( x ? ln x)' ? sin x ? ( x ? ln x) ? (sin x)'
1 ? (1? ln x ? x ? ) ? sin x ? ( x ? ln x) ? cos x x ? sin x ? ln x ? sin x ? x ? ln x ? cos x

y' ? sin x ? ln x ? sin x ? x ? ln x ? cos x
(4) y ? (
'

x ' x' ? 4x ? x ? (4 x )' 1? 4 x ? x ? 4 x ln 4 1 ? x ln 4 , ) ? ? ? 4x (4 x )2 (4 x )2 4x

y' ?

1 ? x ln 4 。 4x

1 1 ? ln x 2 1 2 x (5) y ' ? ( )' ? (?1 ? )' ? 2( )' ? 2 ? ? 2 1 ? ln x 1 ? ln x 1 ? ln x (1 ? ln x) x(1 ? ln x) 2

y' ?

2 x(1 ? ln x) 2
' 2 ' x 2 x '

(6) y ? (2 x ? 5x ? 1) ? e ? (2 x ? 5x ? 1) ? (e )

? (4x ? 5) ? ex ? (2x2 ? 5x ? 1) ? e x ? (2x2 ? x ? 4) ? e x , y' ? (2x2 ? x ? 4) ? ex 。
(7) y ? (
'

sin x ? x cos x ' ) cos x ? x sin x

(sin x ? x cos x)' ? (cos x ? x sin x) ? (sin x ? x cos x) ? (cos x ? x sin x)' ? (cos x ? x sin x)2
? (cos x ? cos x ? x sin x) ? (cos x ? x sin x) ? (sin x ? x cos x) ? (? sin x ? sin x ? xco s x) (cos x ? x sin x) 2

?

x sin x ? (cos x ? x sin x) ? (sin x ? x cos x) ? xco s x (cos x ? x sin x)2

x2 。 ? (cos x ? x sin x)2 y' ? x2 (cos x ? x sin x)2

【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的. ② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.


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