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3第二章平面向量(含答案)(考试试题)

时间:2017-11-27


平面向量试题(三)
一、填空题(每小题 5 分,共 80 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 已知向量 a=(1,2),b=(-3,2),若向量 ka+b 与 2a-b 共线,则 k=________. 已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 已知向量 a=( ,1),b=(0,-1),c=(k, ).若 a-2b 与 c 共线,则 k=________.

已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为________. 已知 x 轴的正方向与 a 的方向的夹角为 60° ,且|a|=4,则 a 的坐标为________. 已知平面上三点 A,B,C 满足以下条件:| · + · + · 的值为________. |=3,| |=4,| |=5,则

7. 8.

设 e1,e2 是两个单位向量,它们的夹角为 60° ,则(2e1-e2)· (-3e1+2e2)=________. 已知向量 a,b 的夹角为 45° ,且|a|=4, a+b · (2a-3b)=12,则|b|=________;b 在

a 方向上的投影等于________. 9. 向量 a,b 满足|a|=1,|a-b|= ,a 与 b 的夹角为 60° ,则|b|=________. = + ,

10.若等边△ ABC 的边长为 1,△ ABC 所在平面内的一点 M 满足 则 11. 12. 13. 若 · =________. 在△ ABC 中,BC=6,BC 边上的高为 2,则

· 的最小值为________.

已知向量 a,b 满足|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=________. 如右图,在矩形 ABCD 中,AB= · = ,则 ,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,

· 的值是________.

1

14. 15.

已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为________. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 · 的最大值为________. 与 a=(2,3)同向,| |=2 ,则点 B 的坐标是 · 的值为

________; 16.

已知点 A(1,-2),若向量

________. 二、解答题(每小题 10 分,共 70 分) 17. 已知 a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若有两个不同时为零的实数 k,t,使得 a+(t-3)b 与

-ka+tb 垂直,试求 k 的最小值.

18.

已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61.

(1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|; (3)若 =a, =b,求△ ABC 的面积.

2

19.

如下图,P 为线段 AB 的垂直平分线上任意一点,O 为平面内的任意一点,设 =b, =p.求证:p· (a-b)= (|a|2-|b|2).

=a,

20.

在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在△ ABC 三边围 =m +n (m,n∈R).若 m=n= ,求| |.

成的区域(含边界)上,且

3

21. 求

已知

=(2,1),

=(1,7),

=(5,1),点 O 为坐标原点,点 C 是直线 OP 上一点,

· 的最小值及取得最小值时 cos∠ACB 的值.

22.

已知

=(3,1),

=(-1,2),



,



,试求满足

+

=



的坐标

(O 是坐标原点).

23.

已知向量 a=(

,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a· b=

,求 b.

4

平面向量试题(三)
答案:
一、填空题(每小题 5 分,共 80 分)
1.[答案] -2 [解析] ∵a=(1,2),b=(-3,2),∴ka+b=(k-3,2k+2),2a-b=(5,2),又向量 ka+b 与 2a-b 共 线,∴2(k-3)-5(2k+2)=0,解得 k=-2. 2.[答案] -1 [解析] ∵a=(2,-1),b=(-1,m), ∴a+b=(1,m-1). ∵(a+b)∥c,c=(-1,2), ∴2-(-1)· (m-1)=0, ∴m=-1. 3.[答案] 1 [解析] ∵a-2b=( ,3)与 c=(k, )共线,∴3k= × ,故 k=1. 4.[答案] [解析] 2a+b=2(1,0)+(1,1)=(3,1), ∴与 2a+b 同向的单位向量为

,即

.

5.[答案] (2,2 ) [解析] 设 a=(x,y),则 x=4· cos 60° =2,y=4· sin 60° =2 ,∴a=(2,2 ). 6.[答案] -25 [解析] 如下图, · + · + · = · ( + )+ · =- +| |· | |·cos(π-A).

∵△ABC 是直角三角形,∴cos A= , ∴原式=-16+5× 3× 7.[答案] [解析] (2e1-e2)· (-3e1+2e2)=-6 +7e1· e2-2 =-6+7× cos 60° -2=- . 8.[答案] ;1
5

=-25.

[解析]

a+b · (2a-3b)=a2+ a· b-3b2=12,即 3|b|2- |b|-4=0,解得|b|= × =1.

(舍负),b 在 a 方向上的

投影是|b|cos 45° = 9.[答案] [解析] 由|a-b|= 10.[答案] [解析] · =(

得:a2-2a· b+b2= ,1-2|b|cos 60° +|b|2= ,解得|b|= .

-

)· ( -

)=

·

=

· - · - · =- .

11.[答案] -5 [解析] 设 BC 边上的高为 AD,令 =λ = + = +λ , = + = + + 所以 · =( +λ )· [ +(λ+1)· ]. 因为 AD⊥BC,所以 λ=- 时, · =0,所以 · =

(λ∈R),则 = +(λ+1) ,

+λ(λ+1)

=36λ2+36λ+4=36

-5,所以当

· 有最小值-5.

12.[答案] [解析] 如下图,∵|a|=|b|=|a-b|=1,

∴△AOB 是正三角形,∠AOB=60° , ∴|a-b|2=a2-2a· b+b2=2-2a· b=1,∴a· b= ,∴|a+b|2=a2+2a· b+b2=1+2× +1=3,∴|a+b|= .

13.[答案] [解析] 以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B( ,0),C( ,2),D(0,2),设 F(x,2),则 =(x,2),又 =( ,0),∴ · = x= ,∴x=1,∴F(1,2),∴ =(1- ,2).∵E 为 BC 的中 点,∴E( ,1),∴ =( ,1),∴ · = . 14.[答案] [解析] 由(a+2b)· (a-b)=-6,得 a2-2b2+a· b=-6,又|a|=1,|b|=2,得 a· b=1,设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= = ,又 0≤θ≤π,故 θ= . =(x,1),又

15.[答案] 1;1 [解析] ①如下图建立直角坐标系,则 D(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0).设 E(x,1),那么 =(0,1), ∴ · =1.

6

②∵ =(1,0),∴ · =x.∵正方形的边长为 1,∴x 的最大值为 1,故 16.[答案] (5,4) [解析] 由题意可设 =λa(λ>0), ∴ =(2λ,3λ),又| |=2 , ∴(2λ)2+(3λ)2=(2 )2, 解得 λ=2(λ=-2 舍去). ∴ =(4,6),又 A(1,-2),∴B(5,4).

· 的最大值为 1.

二、解答题(每小题 10 分,共 70 分)
17. [解析] ∵a⊥b,∴a· b=0. 又由已知得[a+(t-3)b]· (-ka+tb)=0, 2 2 ∴-ka +t(t-3)b =0, ∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t(t-3)=0, ∴k= (t2-3t)= t2

-

(t≠0).故当 t= 时,k 取得最小值2 2

.

18. [解析] (1)由(2a-3b)· (2a+b)=61,得 4|a| -4a· b-3|b| =61. 将|a|=4,|b|=3 代入上式求得 a· b=-6,∴cos θ= 又 θ∈[0,π],∴θ= . . = =- .

(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2=42+2× (-6)+32=13,∴|a+b|= (3)由(1)知 sin θ= =

.S△ ABC= |a||b|sin θ= × 4× 3× =3 . =c,于是有 c-a=b-c,得 c= , .

19. [解析] 记 AB 的中点为 C,设 ∵PC 是 AB 的垂直平分线,∴ ⊥ ∴ · =0. 又 =c-p, =b-a,∴(c-p)· (b-a)=0, ∴p· (b-a)=c· (b-a)= = (b2-a2)= (|b|2-|a|2), (|a|2-|b|2). · (b-a)

∴p· (a-b)=

20. [解析] ∵m=n= , ∴ = (1,2)+

=(1,2),

=(2,1),

(2,1)=(2,2),

7

∴| |= =2 . 21. [解析] 由于点 C 是直线 OP 上一点,故设点 C(2m,m),所以 所以 · =5(m-2)2-8, 所以 m=2 时, · 取最小值-8. 当 m=2 时, =(-3,5), =(1,-1), 所以 cos∠ACB= = .

=(1-2m,7-m),

=(5-2m,1-m),

22. [解析] 设 D(x,y), = + =(3+x,y+1), = - =(4+x,y-1), 因为 ⊥ ,所以 x-2y+1=0.① 因为 ∥ ,所以 x-3y+7=0.② 由①②得 x=11,y=6.即 =(11,6). 23. [解析] 设 b=(x,y). 由题意得 且 y≠0,



故 b=

,

.

8


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