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2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合直线方程与两直线的位置关系

时间:2012-08-20


2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合 直线方程与两直线的位置关系

?

考 1



考纲解读

直线的倾斜角和斜率 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线 斜率的计算公式.

2 3

两条直线平行或垂直 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 直线方程的几种形式 掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种

形式(点斜式、两点式、截距式及一般式),了解斜截式
与一次函数的关系. 4 5 两条直线的交点 距离公式 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求 两条平行直线间的距离.

?
从近几年高考试题来看,直线方程的考查主要与平行、垂直的

条件以及直线与圆的位置关系相结合进行,两条直线的平行与垂直,
点到直线的距离、两点间的距离等是高考的热点,题型主要是选择 题、填空题,难度为中、低档,突出“小而巧”的特点,主要考查对概

念的理解及运算能力,可以预测2013年高考仍将以两条直线的平行
与垂直,点到直线的距离,两点间的距离为主要考点,重点考查运算能 力与分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结合等思想

方法的灵活运用.

?
一、直线的倾斜角和斜率 1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的 点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方 程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的 直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x轴平行或重 合时,我们规定直线的倾斜角为0°.

3.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 倾斜角不是90°的直线,它 的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,常用k表示. 4.斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:k= ≠x1).

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

(x2

二、直线方程的几种形式
已知条件 点斜式 斜截式 两点式 P1(x1,y1),k k,b P1(x1,y1), 直线方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b 适用范围 k存在 k存在
x ? x1

P2(x2,y2) 截距式 a,b

?
x a

y ? y1

y 2 ? y1

=

x 2 ? x1

?

x1≠x2,y1≠y2

?+?=1
y b

a≠0且b≠0

一般式

A、B、C ∈R

Ax+By+C=0

A2+B2≠0

三、两直线平行与垂直

1.特殊情况下的两直线平行与垂直.

当两条直线中有一条没有斜率时:(1)当另一条的斜率也不存在时,两
直线互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,两直线互相垂直. 2.斜率存在时两直线的平行与垂直: (1)两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等; 反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即l1∥l2?k1=k2且b1≠b2. 若直线l1、l2的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2 C2≠0),则l1∥l2?

? ≠? =? .
A1 B1 A2 B2

C1 C2

(2)两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是k1和k2,则这两

条直线垂直的充要条件是k1k2=-1.
若直线l1和l2的一般式方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2 ?A1A2+B1B2=0. 3.两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
?A ?x ? B y ? C ?
1 1 1

? 0,

? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

是否有唯一解.

四、距离公式
1.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:d=

?

| A x0 ? B y0 ? C | A ? B
2 2

.

2.已知两条平行直线l1和l2的一般式方程为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+
| C1 ? C 2 |

C2=0,则l1与l2的距离为d=

A ? B
2

?.
2

五、对称问题 1.点P(x0,y0)关于定点A(a,b)的对称点为(2a-x0,2b-y0);曲线C:f(x,y)=0关 于点A(a,b)的对称曲线方程为f(2a-x,2b-y)=0. 2.若求点P0(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P(x,y),可应用方程 组

?

x ? x0 y ? y0 ? A? ?B? ? C ? 0, ? 2 2 ? ? y ? y0 B ? ? . A ? x ? x0 ?

3.直线关于点对称和直线关于直线对称,可以转化为点关于点对称 和点关于直线对称来求解.

?
1.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为? ( (A)1. (B)4.
m?2

)

(C)1或3.

(D)1或4.

4 【解析】由于k=?? m =1,∴4-m=m+2,∴m=1.

【答案】A

2.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)可能是
?(

) (B)(3,-1). (D)(-1,3).
? y ? 2 x, ? x ? y ? 3,

(A)(1,-3). (C)(-3,1).

【解析】由? ?

得? ?

? x ? 1, ? y ? 2,

由题意知m+2n+5=0,∴点(m,n)可能是(1,-3). 【答案】A

3.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于? (
(A)?2 . (B)2-?2 .
2 (C)? -1. 2 (D)? +1.

)

【解析】由题意知?
选C.

|a ? 2?3| 2

=1,解之得a=-? 2 -1(舍去)或a=?2 -1.故应

【答案】C

4.若ab>0,且A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 . 【解析】由题意根据A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为?+?=1,又
x

y

a

b

?2 ?2 C(-2,-2)在该直线上,故?+?=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0. a b

根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4?a b ,从而? b ≤0(舍去)或?a b≥4,故ab a ≥16,即ab的最小值为16.

【答案】16

题型1直线的倾斜角和斜率
?例1

直线2xcos α-y-3=0(α∈[ , ])的倾斜角的范围是?(
6 3

? ?

)

(A)[?? , ].
6 3

?

?

(B)[?? , ].
4

?

?
3

(C)[?? , ].
4 2

?

?

(D)[??]. ,
4

?

2? 3

【分析】先求斜率的范围,再求倾斜角的范围.

【解析】 直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α,由于α∈[?,?],因
6 3

?

?

此k=2cos α∈[1,? 3 ].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,? ],由于 3
? ? θ∈[0,π),所以θ∈[?,?],故选B.
4
3

【答案】 B 【点评】直线的倾斜角α和斜率,可以“知一求一”.当α=? 时,斜率k
2

?

不存在;当α=0时,k=0;当0<α<? 时,k>0;当? <α<π时,k<0.
2 2

?

?

变式训练1 已知点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB的倾斜 角的2倍,则直线l的斜率为? ( (A)? .
4 3

)

(B)?.
7

24

(C)? .
13 6

(D)? .
19 8
?2 ? 5 3?1

【解析】∵由于A(-1,-5),B(3,-2),∴kAB=?

=?.
4

3

设直线AB的倾斜角为θ,即tan θ=? ,
直线l的倾斜角为2θ,∴tan 2θ=?

3 4

2 tan θ
2

1 ? tan θ

=?. 即l的斜率为?.
24 7

24 7

【答案】B

题型2直线的方程
? ( ) 例2 (1)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为

(A)x-2y+7=0. (C)x-2y-5=0.

(B)2x+y-1=0. (D)2x+y-5=0.

(2)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线
方程是 .

【分析】结合所给条件选择适当的直线方程形式求解.

【解析】(1)所求直线的斜率为? ,故其方程为y-3=? (x+1),即x-2y+7= 2 2 0.
(2)设直线在x轴上的截距为2a,则其在y轴上的截距为a. 当a=0时,直线的斜率k=-?,此时,直线方程为y=-?x,即2x+5y=0.
2 2 5 5

1

1

当a≠0时,点A(-5,2)在直线?+?=1上,得a=-?,此时,直线方程为x+2y+
x y
1

2a

a

2

1=0. 综上所述,所求直线的方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.

【答案】 (1)A

(2)x+2y+1=0或2x+5y=0

【点评】 求直线方程的方法主要有以下两种:(1)直接法:根据已知 条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程;(2)待定系数法: 先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线 方程.

变式训练2

△ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3).求:

(1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边上的垂直平分线DE的方程.

【解析】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC的 方程为? =?
3 ?1 y ?1
x?2 ?2 ? 2

,即x+2y-4=0.
2?2 2

(2)设BC中点D的坐标为(x,y),则x=?

=0,y=? =2.
2

1? 3

BC边的中线AD过点A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方 程为?+?=1,即2x-3y+6=0.
x
y

?3

2

(3)BC的斜率k1=-?,则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2,又由(2)知BC
1 2

中点D(0,2),由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2.

题型3两直线的平行与垂直
? 例3 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列

条件的a,b的值.

(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);

(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
【分析】两直线的位置关系如何用直线方程的系数来反映,是解题 的切入点.

【解析】(1)由已知可得l2的斜率必存在,∴k2=1-a. 若k2=0,则1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0. 又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0,即b=3a-4=-1≠0(不合题意), ∴k2≠0,则k1、k2都存在,∵k2=1-a,k1=?1⊥l2, ,l
a b

∴k1·2=-1,即? k (1-a)=-1. ①
a b

又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. ② 由①②联立,解得a=2,b=2.

(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在, ∴k1=k2,即?=1-a. ③
a b

∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2, ∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即?=b,
4 b



联立③④解得?

? a ? 2, ? ?b ? ?2



?

2 ? ?a ? , 3 ? ?b ? 2. ?

【点评】研究直线的平行与垂直问题,通常需要讨论直线的斜率是 否存在.

变式训练3 值,使:

已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m、n的

(1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.

【解析】(1)∵m2-8+n=0,且2m-m-1=0,∴m=1,n=7.
(2)当m=0时,显然l1不平行于l2;当m≠0时,由?=?≠?得
m 2

8

n

m

?1

?m ?? m ? 8 ? 2 ? 0, ?

? 8 ? ? 1 ? n ? m ? 0,

? ∴? ?

m ? 4,

?n ? ?2

? 或? ?

m ? ? 4,

?n ? 2.

即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2.

(3)当且仅当m· m=0,即m=0时,l1⊥l2. 2+8·
又?=-1,∴n=8.
8 ?n

即m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.

题型4两直线的交点与距离问题
? 例4 (1)求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直

线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. (2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使 |PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2.

【分析】(1)思路一:求交点,定斜率,用点斜式求解.思路二:利用直线 系方程求解.

(2)|PA|=|PB|等价于点P在AB的垂直平分线上. 【解析】
? x ? 2 y ? 4 ? 0, (法一)由方程组 ? ?x ? y ? 2 ? 0

?

? x ? 0, 得? ? y ? 2,

?

即P(0,2). ∵l⊥l3,∴kl=-? ,∴直线l的方程为y-2=-? x,即4x+3y-6=0.
4 3 4 3

(法二)∵直线l过直线l1和l2的交点, ∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. ∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11, ∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.

(2)设点P的坐标为(a,b).∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2).而AB的斜率kAB=? ∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0. ∵点P(a,b)在上述直线上,∴a-b-5=0.① 又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2, ∴?
| 4 a ? 3b ? 2 | 5
?3 ? 1 4?2

=-1,

=2,即4a+3b-2=±10,②

? a ? 1, 由①②联立可得 ? ?b ? ?4

?



?

27 ? a ? , ? 27 8 ? 7 ∴所求点P的坐标为(1,-4)或(?,-?). ? 7 7 ?b ? ? 8 . ? 7 ?

【点评】求与已知两直线的交点有关的问题,有两种方法:(1)先求出 两直线交点,将问题转化为过定点的直线,然后再利用其他条件求解; (2)运用过两直线交点的直线系方程,设出方程后再利用其他条件求 解.

变式训练4 已知点P(2,-1). (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程; (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?

(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不
存在,请说明理由.

【解析】(1)过P点的直线l与原点距离为2,且P点坐标为(2,-1), 若l的斜率不存在,其方程为x=2,满足条件. 若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
由已知得?
| ?2k ? 1 | k ?1
2

=2,解得k=?. 此时l的方程为3x-4y-10=0.
4

3

综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.

(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是 过P点且与PO垂直的 直线,如图. 由l⊥OP,得klkOP=-1, 所以kl=? =2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.
kOP ?1

即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为|OP|
=?5 . (3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过?5 的直线, 因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.

题型5直线方程的综合应用
? 例5 已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于

A、B两点,O为原点.

(1)当△ABO面积最小时,求直线l的方程;

(2)当|MA|· |MB|取得最小值时,求直线l的方程.
【分析】先设出直线l的方程,再求出A,B两点的坐标,表示出△ABO 的面积,然后利用相关的数学知识求最值.

【解析】(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),则A(2-? ,0),B(0,1-2k),
1 k

△AOB的面积S=? (1-2k)(2-? ? )= [4+(-4k)+(-? ? )]≥ (4+4)=4.
1

1 k

1

1 k

1

2

2

2

当且仅当-4k=-? ,即k=-? 时,等号成立,
1 k
1 2

故直线l的方程为y-1=-? (x-2),即x+2y-4=0.
1 2

(2)由(1)得∵|MA|=?
1 k

2

? 1 ,|MB|=?4 ? 4 k

2

,
?2

∴|MA|· |MB|=?
1 k

2

?1

· 4 ? 4k ?

2

=2?

k ?
2

1 k
2

≥2×2=4,

当且仅当k2=?,即k=-1时取等号,故直方程为x+y-3=0.
1 k
2

【点评】利用直线方程解决问题时,为简化运算要灵活选用直线方 程的形式. 一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式 或点斜式;已知截距选择截距式.

变式训练5 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于 A、B两点,求l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程. 【解析】(法一)依题意,直线l的斜率k存在且k<0, 设l的方程为y=k(x-3)+2,则A(3-? ,0),B(0,2-3k),
2 k

∴l在两轴上的截距之和为2-3k+3-?=5+[(-3k)+(-?)]≥5+2?6.
2 2 k k

∴k=-?时,l在两轴上截距之和最小,此时l的方程为?6 x+3y-3
6 3

6 ?

-6=0.

(法二)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0), 则直线l的方程为? ? + =1.
x

y

a

b

∵l过点P(3,2),∴?+?=1,∴a+b=(a+b)(?+?)=5+?+?≥5+2
3
2

3

2

3b a

2a b

a

b

a

b

6 ?.

故当且仅当?=?且?+?=1,即a=3+?6 ,b=2+?6 时截距之和最小,此时
3b a

2a b

3

2

a

b

6 l的方程为?6 x+3y-3? -6=0.

题型6对称问题
? 例6 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求:

(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程. 【分析】两点关于直线l对称等价于两点连线段被直线l垂直平分;直 线关于直线对称转化为点关于直线对称.

【解析】(1)设A'(x,y),由已知得

?

?y?2 2 ? ? ? 1, ? x ?1 3 ? ? ?2 ? x ? 1 ? 3 ? y ? 2 ? 1 ? 0. ? 2 2 ?

解得

?

33 ? x?? , ? ? 13 ? ?y ? 4 . ? 13 ?

∴A'(-?,? ).
33

4

13 13

(2)在直线m上取一点如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m‘
a?2 b?0 ? 2? ? 3? ? 1 ? 0, ? ? 2 上,设对称点为M’(a,b),则 2 ? ? b ? 0 ? 2 ? ? 1, ?a ? 2 3 ?

?

6 ? a ? , ? ? 解得 1 3 ? ?b ? 30 . ? 13 ?

?

∴M'(?,?).
6
30

13 13

? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0, 设m与l的交点为N,由 ? ? 3 x ? 2 y ? 6 ? 0,

?

得N(4,3).

又∵m'经过点N(4,3),

∴直线m'的方程为9x-46y+102=0.

【点评】两直线l1、l2关于直线l的对称问题也可先在所求直线l1上 任取一动点P(x,y),P关于直线l的对称点设为Q(x0,y0),则Q在直线l2上, 利用PQ被直线l垂直平分,将Q点坐标用P点坐标表示,再利用Q点坐 标满足直线l2的方程求出P点坐标满足的方程即所求的直线l1的方 程,这种方法叫做坐标转移法(或代入法).

变式训练6 (1)求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程. (2)求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程. 【解析】(1)(法一)设直线l上任一点为(x,y),它关于点P(2,-1)的对称 点(4-x,-2-y)在直线3x-y-4=0上, ∴3(4-x)-(-2-y)-4=0, ∴3x-y-10=0, ∴所求直线l的方程为3x-y-10=0. (法二)由于直线l与3x-y-4=0平行,故设直线l的方程为3x-y+b=0.
则由点P到两直线的距离相等,得?
|6 ?1? 4 | 3 ?1
2

=?

|6 ?1? b | 3 ?1
2

,

解得:b=-10或b=-4(舍去).∴所求直线l的方程为3x-y-10=0.
(2)设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0).
4 ? y0 ? y ? , ?x ?x 3 ? 则有 ? 0 ? 3 ? x ? x0 ? 4 ? y ? y0 ? 1 ? 0 . ? 2 2 ?

?

解得x0=?

7 x ? 24 y ? 6 25

,y0=?

?24 x ? 7 y ? 8 25

.

由于Q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上,则 2×?
方程.
7 x ? 24 y ? 6 25

+?

?24 x ? 7 y ? 8 25

-4=0,化简得2x+11y+16=0即为所求直线b的

?
1. 解决有关直线方程的综合题,要根据题目给出的条件灵活选用直 线方程的形式,且要注意题目中的隐含条件. 2.求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用

待定系数法求直线的基本量.
3.研究最值问题时,可以从几何图形入手,找到最值时的情形,也可以 从代数角度考虑,构建目标函数,进而转化为研究函数的最值问题.

4.不重合的两条直线,当两直线的斜率均不存在时,两直线平行;当一 条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两直线垂直;当一条 直线的斜率不存在,另一条直线的斜率是非零实数时,则两直线相交 但不垂直. 5.中心对称和轴对称 (1)中心对称: ①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点为P'(x',y')满足? ?
? x ' ? 2a ? x, ? y ' ? 2b ? y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

(2)轴对称: ①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为A'(m,n),则有

?

A ? n?b ? ( ? ) ? ? 1, ?m ? a ? B ? ? A ? a ? m ? B ? b ? n ? C ? 0. ? 2 2 ?

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

1.(2010年山东卷)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线
2 l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2?,则过圆心且与直线l垂直的直线的

方程为

.

【解析】由题意,设所求的直线方程为x+y+m=0,圆心坐标为(a,0)(a>0), 则由题意知(?
| a ?1| 2

)2+2=(a-1)2,解得a=3或a=-1(舍).故圆心坐标为(3,0).

因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有3+0+m=0,即m=-3,故所求的直 线方程为x+y-3=0. 【答案】x+y-3=0

2.(2011年安徽卷)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x, y)为整点,下列命题中正确的是 编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点; ③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点; ④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理 数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. (写出所有正确命题的

3 2 【解析】①正确,比如直线y=? x+? ,当x取整数时,y始终是一个无理

数;②错,直线y=?2 x-?2 中k与b都是无理数,但直线经过整点(1,0);③

正确,当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点;④错误,当k=0,b=

?时,直线y=?不通过任何整点;⑤正确,比如直线y=?2 x-? 2只经过一 2 2
个整点(1,0).

1

1

【答案】①③⑤

?

例1

已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB有交 )

点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是?(

(A)k≥? 或k≤-4.
3 4

(B)-4≤k≤? .
3 4

(C)k≥? 或k≤-? .
3 4 1 4

(D)-? ≤k≤4.
4

3

【解析】如图所示,过点B(-3,-2),P(1,1)的直线斜率

为k1=?
=?
1? 2

1 ? (?2)

1 ? ( ? 3) 1? 3

=?,过点A(2,-3),P(1,1)的直线斜率为k2
4

3

=-4.使过点P的直线l与线段AB有交点,则直
4

3 线l的斜率应满足k≥?或k≤-4.

【答案】A

?

例2

在直线l:3x-y-1=0上求两点P、Q,使得:

(1)P与A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小. 【解析】(1)如图所示, 设点B关于l的对称点B'的坐标为(a,b),则过A、B'的直线与直线l的交

点P即为所求.
∴kBB‘·l=-1,即3· k ? =-1,∴a+3b-12=0. ①
a b?4

又由于BB‘的中点(?,? )在直线l上,∴3× -?
a a 2

b?4 2

b?4 2

2

-1=0,即3a-b-6

=0. ②

解①②得a=3,b=3,∴B'(3,3).
于是直线AB‘的方程为? =? ,即2x+y-9=0.解由l与AB'的方程组成
3 ?1
3?4

y ?1

x?4

的方程组得x=2,y=5,即l与AB'的交点坐标为(2,5),所以P(2,5).

(2)如图所示,设C关于l的对称点C',则过A、C'两点的直线与直线l的 交点Q即为所求.

可求出C'的坐标为(?,?).
3
24 5

5

∴AC'所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC'和l交点坐标为Q(?,?).
11 7
26 7


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