nbhkdz.com冰点文库

汕头市金山中学2011—2012学年度高一下期中考试数学

时间:


汕头市金山中学 2011—2012 学年度第二学期期中考试
时量:120 分钟 总分:150 分 一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A ? x x?3 ? x? ? 0 , B ? x x ? 0 ,则 A ? B 等于( A. 0 B. 0 ? x ? 3 C. ?0? D.

高一数学科试卷
)

?

?

?

?

?x 0 ? x ? 3?

2.函数 y ? cos(

? x) 的一个单调递增区间为( ) 2 ? ? ?? ? ? 3? ? A. ? ? , ? B. ? 0, ? ? C. ? , D. ?? ,2? ? ? ? 2 2? ?2 2 ? 3.若 a ? b ? 1, 则恒有( ) 1 1 1 2 2 ?4 A. ab ? B. ab ? C. D. a ? b ? 1 4 4 ab 1 4.在等差数列 ?an ? 中, a8 ? a11 ? 6 ,则数列 ?an ? 的前 9 项和 S 9 等于( ) 2 A. 24 B. 48 C. 72 D. 108
5.在 ?ABC 中, A, B 是三角形的内角,且 A ? 90? ,若 AB ? (2,?1), AC ? (sin B, 3) ,则角 B 等于( ) A. 30 ? B. 60 ? C. 60 ? 或 120 ? D. 30 ? 或 150 ? 6.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 n?1 ? t , 则常数 t 的取值是( A. 2 B. ? 2 C. 1 D. ? 1 7.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ? 1 ,则通项 an 等于( A. a n ? ? ) D. an ? n 2 ) )

?

n ?1 ? 1, 2 ?n ? 2n ? 1, n ? 2
B.

B. an ? 2n 2 ? 1

C. an ? 2n ? 1

8.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为 30o 和 60o,则塔高为 ( A.

200 200 3 m D. m 3 3 ? 9.若 ? 是第三象限的角,且 tan ? ? 2 ,则 sin(? ? ) ? ( ) 4 3 10 10 10 3 10 A. ? B. C. ? D. 10 10 10 10 10 .设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? 单调递减,若数列 ?an ? 是等差数列,且

400 m 3

400 3 m 3

C.

a3 ? 0 ,则 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? f ? a3 ? ? f ? a4 ? ? f ? a5 ? 的值(

) D.可正可负

A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 0 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.设 x ? 1 ,则 x ?

2 的最小值是 ***** . x ?1 12.在 R 上定义运算@/: x @/ y ? xy ? 2 x ? y ,则满足 a @/ ?a ? 2? ? 0 的 a 的解集是 ***** .
13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a ,最高销售限价 b ?b ? a? 以及常数 x ( 0 ? x ? 1 )确定实际销售价格 c ? a ? x?b ? a ? ,这里, x 被称为乐观系数. 经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得 ?c ? a ? 是 ?b ? c ? 和 ?b ? a ? 的等比中项,据此可得,最佳乐 观系数 x 的值等于__ *****__.

14.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S 4 ? 10, S 5 ? 15 ,则 a5 的最大值是 ***** . 三.解答题(15,16 小题各 12 分,17,18,19,20 小题各 14 分,共 80 分.) 15.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? 1) 求 b 的值; 2) 求 sin C 的值.

1 . 4

16. 已知 f ?x? ? x 2 ? ax ? 6a ,其中 a 是常数. 1)若 f ?x ? ? 0 的解集是 x ? 3 ? x ? 6 ,求 a 的值,并解不等式

?

?

2)若不等式 f ?x ? ? 0 有解,且解区间长度不超过 5 个长度单位,求 a 的取值范围. 17.已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 12 ,且 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列. 1)求 ?an ? 的通项公式 an 和 S n ; 2)记 bn ?

f ?x ? ?0. x?a

an 的前 n 项和 Tn ,求 Tn . 2n

? x ?1 ? 1 18.设 x, y 满足约束条件: ? y ? x 的可行域为 M 2 ? ?2 x ? y ? 10 1)在所给的坐标系中画出可行域 M (用阴影表示,并注明边界的交点或直线); 2)求 A ? y ? 2 x 的最大值与 B ? x 2 ? y 2 的最小值; ?x ?? ?x ?? 3)若存在正实数 a ,使函数 y ? 2a sin? ? ? cos? ? ? 的图象经过区域 M 中的点, ?2 4? ?2 4? 求这时 a 的取值范围.
19.某企业投资 1 千万元于一个高科技项目,每年可获利 25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利 润中取出资金 100 万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设经过 n 年 后该项目的资金为 an 万元. 1)写出数列 ?an ? 的前三项 a1 , a2 , a3 ,并猜想写出通项 an . 2)求经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过 2 千万元. 20.已知数列 ?an ?, ?bn ?满足: a1 ?

bn 1 , an ? bn ? 1, bn?1 ? 2 4 1 ? an
? 1 ? ? 是等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? bn ? 1 ?

1)求 b1 , b2 , b3 的值; 2)求证数列 ?

3)设 S n ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 , 若 4aSn ? bn 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高一数学科试题答案
一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 B 7 D 8 A 9 C 10 A

二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11. 1? 2 2 12.

?x ? 2 ? x ? 1?
2 2 2

13.

?1? 5 2

14. 5

三、解答题(15,16 小题各 12 分,17,18,19,20 小题各 14 分,共 80 分.) 15.解: (I)由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B ,………………………………………2 分 得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?
2 2 2

1 ? 10 ,…………………………………………………4 分 4

? b ? 10 .……………………………………………………………………………6 分
(II)方法 1:由余弦定理,得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ,………………………………8 分 2ab

?
C ∵ 是 ?ABC 的内角,

4 ? 10 ? 9 10 ,………………………10 分 ? 8 2 ? 2 ? 10
2

∴ C ? 1 ? cos C ? sin

3 6 .………………………12 分 8

1 15 2 sin ,且 B 是 ?ABC 的内角,∴ B ? 1 ? cos B ? .……8 分 4 4 b c ? 根据正弦定理, ,……………………………………………………10 分 sin B sin C cos 方法 2:∵ B ?

c sin B ? 得 sin C ? b
2

3?

15 4 ? 3 6 . ………………… …………………12 分 8 10

16.解:1) ∵ f ?x? ? x ? ax ? 6a ? 0 的解集是 x ? 3 ? x ? 6 ∴ x ? ax ? 6a ? 0 的两根是 x1 ? ?3, x2 ? 6
2

?

?

∴ x1 ? x2 ? a ? ?3 ? 6, x1 ? x2 ? ?6a ? ?3 ? 6 ∴不等式

∴a ? 3

f ?x ? x 2 ? 3x ? 18 ? ?0 x?a x?3

x 2 ? 3x ? 18 ?x ? 6?( x ? 3) ? ?0 x?3 x?3

∴不

等式

f ?x ? ? 0 的解集是 x ? 3 ? x ? 3或x ? 6 x?a

?

?

2)设 f ?x? ? x 2 ? ax ? 6a ? 0 的解集是 x x1 ? x ? x2 依题意

?

?

? ? ? ?? a ?2 ? 24a ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? a, x1 ? x 2 ? ?6a ? x 2 ? x1 ? 5 ?
2 ∴由 a ? 24a ? 0 得 a ? 0 或 a ? ?24

由 x2 ? x1 ? 5 得 ?x1 ? x2 ? ? 4x1 x2 ? 25
2

∴ a ? 24a ? 25 ? 0
2

? 25 ? a ? 1

∴ ? 25 ? a ? ?24 或 0 ? a ? 1 ⒘解:1) ∵数列 ?an ? 是等差数列

∴所求 a 的取值范围是 ?? 25,?24? ? ?0,1?

∴ S 3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? 12 ∴ a2 ? 4 ? a1 ? d
2

∵ 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列 ∴ a2 ? 2a1 (a3 ? 1)

∴ 16 ? 2a1 (a1 ? 2d ? 1)

?16 ? 2a1 (a1 ? 2d ? 1) ?a1 ? 1 ? a1 ? 8 解得 ? 或? ? a1 ? d ? 4 ? d ? 3 ?d ? ?4 ? ?a1 ? 1 ?a ?8 不合要求舍去. ∴? 检验满足要求. ? an ? 0 ∴ ? 1 ?d ? 3 ?d ? ?4
∴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 2, S n ? na1 ?

n(n ? 1) 3 n d ? n2 ? 2 2 2

2) ∵ bn ?

a n 3n ? 2 1 4 7 3n ? 2 ? ∴ Tn ? ? 2 ? 3 ? ?? ? n n 2 2 2 2n 2 2 1 1 4 7 3n ? 5 3n ? 2 ? 3 ? 4 ??? ? n ?1 ∴ Tn ? 2 2 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 1 1 3n ? 2 ∴ Tn ? ? 3( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ? ? n 2 1 2 2 ? 3n ? 2 ? 1 ? 6 ? ? 1 ? 1 ? ? 3n ? 2 ? ? 3? 2 ? n ?1 ? n ?1 1 2 2 2 n?1 ?4 2 ? 2 1? 2 3n ? 4 ∴ Tn ? 4 ? 2n

18.解:1)阴影部分如图

? x ?1 ? x ?1 1 ? 1 ,得 ? ? y ? 1 ∴ A(1, ) y? x 2 ? ? 2 2 ? ? ? x ?1 ?x ?1 由? ,得 ? ∴ B(1,8) ?2 x ? y ? 10 ?y ? 8
由?

由?

?2 x ? y ? 10 ?x ? 4 ? ,得 ? ∴ c(4,2) 1 ?y ? 2 ? y? 2x ? 可行域 M 为如图 ?ABC 1 2)∵ k AC ? 2
又∵ A ? y ? 2 x ∴ y ? 2 x ? A, A 是 y 轴的截距, k ? 2 ? k AC ?

1 2

∴过点 B(1,8) 时, A最大 ? 8 ? 2 ?1 ? 6 ∵ B ? x 2 ? y 2 是表示区域 M 上的点 ( x, y ) 到原点 O (0,0) 距离的平方.

1 5 ?1? 如图 A(1, ) 使所求距离的平方最小,∴ B最小 ? 12 ? ? ? ? . 2 4 ? 2? 3)∵ a ? 0 x ? x ? ? y ? 2a sin( ? ) cos( ? ) ? a sin( x ? ) ? a cos x 2 4 2 4 2 过区域 M 中的点,而区域中 1 ? x ? 4
又∵ a ? 0 ,函数 y ? a cos x 图象过点 ( 当 x ??

2

?
2

,0),1 ?

?
2

? 4,

3? ? ? 3? ? ?4 , ? 时, y ? 0, 2 ?2 2 ?
1 ) 有公共点. 2

∴满足 y ? a cos x 过区域 M 中的点,只须图象与射线 x ? 1, ( y ? ∴只须 x ? 1 时, a cos 1 ?

1 1 ?a ? 2 2 cos 1

∴所求 a 的取值范围是 a ? ? 19.解:1)依题意

? 1 ? ,?? ? . ? 2 cos1 ?
2

5 5 ?5? ? 5? a1 ? 103 ? ? 100, a2 ? a1 ? ? 100 ? 103 ? ? ? ? 100? ?1 ? ? 4 4 ? 4? ? 4?
3 ? 5 ? 5 ?2 ? 5 ?5? 3 a3 ? a 2 ? ? 100 ? 10 ? ? ? ? 100? ?1 ? ? ? ? ? 4 ?4? ? 4 ?4? ? ? ?

猜想 a n ? 10 ? ? ? ? 100? ?1 ?
3

?5? ?4?

n

? ? ?

5 ?5? ?5? ? ? ? ??? ? ? 4 ?4? ?4?
n

2

n ?1

? ? ? ?

?5? 1? ? ? n n ?5? ? 4 ? ? 600? ? 5 ? ? 400 3 ? 10 ? ? ? ? 100? ? ? 5 ?4? ?4? 1? 4

2)由 an ? 2000,得 600? ? ? ? 400 ? 2000 ∵ y ? ? ? 在 ?? ?,??? 上单调递增,
x

?5? ? 4?

n

∴? ? ?
4

?5? ?4?

n

8 3
5

8 ?5? 8 ?5? ?5? 估算 ? ? ? , ? ? ? 3 ?4? 3 ? 4? ?4? 答:要经过 5 年,该项目的资金超过 2 千万元. bn bn 1 20.解: (1) bn?1 ? ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∵ a1 ?

∴n ? 5

5 b3 ? , ……………3 分 6 2 ? bn 1 1 1 (2)∵ bn?1 ? 1 ? ?1 ∴ ? ? ?1 ? 2 ? bn bn?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1
∴ b2 ? ∴数列{ ∴

1 3 , b1 ? 4 4

4 , 5

1 }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列。 bn ? 1
∴ bn ? 1 ?

……………5 分 ……………7 分 ……………8 分 ∴

1 ? ?4 ? (n ? 1) ? ?n ? 3 bn ? 1
1 n?3

1 n?2 ? n?3 n?3

(3) an ? 1 ? bn ?

Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? ? 1 1 n ? ? 4 n ? 4 4(n ? 4)

1 1 1 ? ? ??? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4)
……………9 分

∴ 4aSn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)

……………10 分

由条件可知 (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件 设

f (n) ? (a ?1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8
a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, ∴ a ? 1 可取;
a ? 1 时,由二次函数的性质知不可能成立;∴ a ? 1 不可取;

……………11 分

a ? 1 时,对称轴 ? 3 ?a ? 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? 0
2 a ?1 2 a ?1

f (n) 在 ?1, ?? ? 为单调递减函数. 故只要 f (1) ? 0 即可,
由 f (1) ? (a ?1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ?1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ?15 ? 0
2



a?

15 4

∴ a ? 1 时 4aSn ? b 恒成立

……………13 分 ……………14 分

综上知:实数 a 的取值范围为 ? ??,1? .


赞助商链接

汕头市金山中学2011-2012学年高一下学期期中考试(语文)

汕头市金山中学2011-2012学年高一下学期期中考试(语文)_高一语文_语文_高中教育_教育专区。汕头市金山中学2011-2012学年高一下学期期中考试2011...

广东省汕头市金山中学2011-2012学年高二下学期期中试题...

广东省汕头市金山中学2011-2012学年高二下学期期中试题生物_理化生_高中教育_教育专区。2011-2012 学年第二学期高二期中考试 理科生物范围:选修 3 2012.4 本试卷...

汕头市金山中学2011~2012学年高二期中考试

汕头市金山中学 20112012 学年高二期中考试 文 科政治试题考试说明:本试卷共 8 页,50 小题,满分 100 分。考试用时 90 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生...

汕头市金山中学2011~2012学年高二期中考试

汕头市金山中学 20112012 学年高二期中考试 文 科政治试题考试说明:本试卷共 8 页,50 小题,满分 100 分。考试用时 90 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生...

汕头市金山中学2011~2012学年高一上学期期中考试(英语)

汕头市金山中学 20112012 学年高一上学期期中考试 英语科试题温馨提示:①涂卡时,请务必按照题号在答题卡涂上选择题的答案(请空出 13-15 题)。②非 选择题...

汕头市金山中学2011~2012学年高二上学期期中考试(政治文)

汕头市金山中学20112012学年高二上学期期中考试(政治文)_数学_高中教育_教育专区。汕头市金山中学 20112012 学年高二上学期期中考试 文科政治试 题考试说明:本...

汕头市金山中学2011-2012学年高二下学期期中考试(政治)

汕头市金山中学2011-2012学年高二下学期期中考试(政治)_数学_高中教育_教育专区。2011-2012 学年第二学期高二期中考试 文科政治考试说明:本试卷共 8 页,48 小题...

精品解析:广东省汕头市金山中学2017-2018学年高一下学...

精品解析:广东省汕头市金山中学2017-2018学年高一下学期期中考试化学试题(原卷版) - 初中数学数学试卷、初中数学试题数学学案、数学初中教案、初中数学练习题、...

汕头市金山中学2011~2012学年高二上学期期中考试(政治理)

汕头市金山中学20112012学年高二上学期期中考试(政治理)_数学_高中教育_教育专区。汕头市金山中学 20112012 学年高二上学期期中考试 理科政治试 题本试卷共 ...

广东省汕头市金山中学2011~2012学年高二期中考试(历史理)

广东省汕头市金山中学20112012学年高二期中考试(历史理)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。汕头市金山中学 20112012 学年高二期中考试 理科历史试题命题:...