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安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学上学期第三次月考试题(实验班)文

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育才学校 2018-2019 学年度上学期第三次月考卷

高二实验班文科数学

第 I 卷 (60 分)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.命题“若( p),则 q”的逆否命题为( )

A. 若 p,则( q)

B. 若( q),则( p)

C. 若( q),则 p

D. 若 q,则 p

2.已知 p:函数 f(x)=(a-1)x 为增函数,q:? x∈ ,ax-1≤0,则 p 是 q 的( )

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要

3.已知命题 p:“? x∈[1,2],x2-a≥0”;命题 q:“? x0∈R, +2ax0+2-a=0”.若命

题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围为( ) A.a≤-2 或 a=1 C.a≥1

B.a≤-2 或 1≤a≤2 D. -2≤a≤1

4.已知椭圆 + =1,若此椭圆上存在不同的两点 A,B 关于直线 y=4x+m 对称,则实数 m

的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

5.已知双曲线 - =1(a>0,b>0),过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M、N 两点,

O 是坐标原点.若 OM⊥ON,则双曲线的离心率为( )

A.

B.

C.

-1-

D. 6.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,交其准线于点 C, 若|BC|=2|BF|且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )

A.y2=3x

B.y2=9x

C.y2= x

D.y2

=x

7.已知点 A(1,2)是抛物线 C:y2=2px 与直线 l:y=k(x+1)的一个交点,则抛物线 C 的焦点 到直线 l 的距离是( )

A.

B.

C.

D. 23

8.已知双曲线 - =1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,

则此直线斜率的取值范围是( )

A. (- , )

B. (- , )

C. [- , ]

D. [- , ] 9.已知命题 p:存在 a0∈(-∞,0),a-2a0-3>0,那么命题 p 的否定是( ) A. 存在 a0∈(0,+∞),a-2a0-3≤0 B. 存在 a0∈(-∞,0),a-2a0-3≤0 C. 对任意 a∈(0,+∞),a2-2a-3≤0 D. 对任意 a∈(-∞,0),a2-2a-3≤0 10.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为
,则双曲线的方程为( )

A.x2-y2=1

B.x2-y2=2

C.x2-y2=

D.x2-y2=

11.已知 F 是椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的一个焦点,PQ 是过其中心的一条弦,且 c=



则△PQF 面积的最大值是( )

-2-

A . ab

B . ab

C . ac

D.bc

12.设 P 是双曲线 - =1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别

是双曲线的左,右焦点,若|PF1|=5,则|PF2|等于( )

A.1 或 5

B.1 或 9

D.9

第 II 卷 (90 分)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

C.1

13.若命题 p:不等式 ax+b>0 的解集为{x|x>- },命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)

<0 的解集为{x|a<x<b},则“p 且 q”“p 或 q”及“非 p”形式的复合命题中的真命题是 ________. 14.命题“对任意实数 x,都有 x2-2x+2>0”的否定为____________________________.

15.如图所示,F1,F2 分别为椭圆 + =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 的 正三角形,则 b2=________.

16.点 P 在椭圆 x2+ =1 上,点 Q 在直线 y=x+4 上,若|PQ|的最小值为 ,则 m=________. 三、解答题(共 6 小题, ,共 70 分) 17.(10 分)命题 p:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?;命题 q:函数 y=(2a2 -a)x 为增函数.分别求出下列条件的实数 a 的取值范围. (1)p,q 中至少有一个是真命题; (2)“p∨q”是真命题,且“p∧q”是假命题. 18. (12 分)已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 ,求实数 k 的值. 19. (12 分)如图,已知△AOB 的一个顶点为抛物线 y2=2x 的顶点 O,A,B 两点都在抛物线 上,且∠AOB=90°,
-3-

(1)证明:直线 AB 必过一定点; (2)求△AOB 面积的最小值. 20. (12 分)如图,椭圆 C: + =1 的右顶点是 A,上、下两个顶点分别为 B、D,四边形 OAMB 是矩形(O 为坐标原点),点 E、P 分别是线段 OA、AM 的中点. (1) 求证:直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上; (2) 过点 B 的直线 l1、l2 与椭圆 C 分别交于点 R、S(不同于 B),且它们的斜率 k1、k2 满足 k1k2 =- ,求证:直线 RS 过定点,并求出此定点的坐标.
21. (12 分)已知命题 p:对数 loga(-2t2+7t-5)(a>0,且 a≠1)有意义,q:关于实数 t 的不等式 t2-(a+3)t+(a+2)<0. (1)若命题 p 为真,求实数 t 的取值范围; (2)若命题 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 22. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好 在抛物线 x2=8y 的准线上. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)点 P(2, ),Q(2,- )在椭圆上,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点.当 A,B 运 动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.
-4-

答案解析 1. C 2. A 【解析】 p:函数 f(x)=(a-1)x 为增函数, 则 a-1>1,解得 a>2.

q:? x∈

,ax-1≤0,a≤ min=1.

q:a>1,则 p 是 q 的充分不必要条件. 3. A 【解析】由已知可知 p 和 q 均为真命题,由命题 p 为真,得 a≤1,由命题 q 为真得 a≤-2 或 a≥1,所以 a≤-2 或 a=1. 4. B

【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x,y),kAB= =- ,x1+x2=2x,y1

+y2=2y, 3x+4y=12,① 3x+4y=12,② ②-①,得 3(x-x)+4(y-y)=0, 即 y1+y2=3(x1+x2), 即 y=3x,与 y=4x+m 联立得 x=-m,y=-3m,

而 M(x,y)在椭圆的内部,则 + <1,

即- <m< . 5. C 【解析】设右焦点为 F(c,0),则 M(c, ),N(c,- ).又 OM⊥ON,

-5-

故 c2- =0,即 b2=ac,从而 c2-a2=ac,即 e2-e-1=0,

解得 e=

(负值舍去),故选 C.

6. A 【解析】 作 AM,BN 分别垂直准线于点 M,N, 则|BN|=|BF|,|AM|=|AF|. 又|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BN|, ∴∠NCB=30°,∴|AC|=2|AM|=2|AF|=6. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),|BF|=x, 则 2x+x+3=6,得 x=1,而 x1+ =3,x2+ =1,

且 x1x2= ,



= ,∴p= ,

得抛物线方程为 y2=3x. 7. B 【解析】 将点(1,2)代入 y2=2px 中,可得 p=2,即得抛物线 y2=4x,其焦点坐标为(1,0). 将点(1,2)代入 y=k(x+1)中,可得 k=1, 即得直线 x-y+1=0,

∴抛物线 C 的焦点到直线 l 的距离 d=

=.

8. C

【解析】双曲线 - =1 的渐近线方程是 y=± x,

右焦点 F(4,0), 过右焦点 F(4,0)分别作两条渐近线的平行线 l1 和 l2,

由图形可知,符合条件的直线的斜率的范围是[- , ].

故选 C.

-6-

9. D 【解析】 依题意得 p:对任意 a∈(-∞,0),a2-2a-3≤0,故选 D. 10. B 【解析】由题意,设双曲线的方程为 - =1(a>0),

则 c= a,渐近线方程为 y=x,∴ = ,∴a2=2.

∴双曲线方程为 x2-y2=2. 故选 B 11. D 【解析】设它的另一个焦点为 F′,则|F′O|=|FO|,|PO|=|QO|,∴四边形 FPF′Q 为平行 四边形.

S△PQF=

S = ,则当 SFPF′Q

△PFF′

P

为椭圆短轴端点时,P



FF′距离最大,此时

S△PFF′最大为

bc.

即(S△PQF)max=bc. 12. D

【解析】由条件知 = ,∴a2=4.∴||PF1|-|PF2||=2a=4,

∵|PF1|=5,解得|PF2|=9 或|PF2|=1(舍). 13. 非 p 【解析】因为命题 p 是假命题,命题 q 是假命题.所以命题“p 且 q”是假命题,命题“p 或 q”是假命题,命题“非 p”是真命题.故只有“非 p”是真命题.

14. 存在实数 x0,使得 -2x0+2≤0

15. 2

【解析】 由题意知 c2= ,则 c=2,

∴P(1, )代入椭圆方程 + =1,

-7-

得 + =1,得 b2=2 . 16. 3 【解析】根据题意,与直线 y=x+4 平行且距离为 的直线方程为 y=x+2 或 y=x+6(舍去),

联立

得(m+1)x2+4x+4-m=0, 令 Δ =16-4(m+1)(4-m)=0, 解得 m=0 或 m=3,∵m>0,∴m=3. 17. p 为真命题时,Δ =(a-1)2-4a2<0,解得 a> 或 a<-1.①

q 为真命题时,2a2-a>1,解得 a>1 或 a<- .②

(1)若 p,q 中至少有一个是真命题,则实数 a 的取值范围是(-∞,- )∪( ,+∞).

(2)“p∨q”是真命题,且“p∧q”是假命题,有两种情况:p 为真命题,q 为假命题时, <

a≤1;p 为假命题,q 为真命题时,-1≤a<- .

故“p∨q”是真命题,且“p∧q”是假命题时,a 的取徝范围为( ,1]∪[-1,- ).

18. 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,

则方程组

有两个不同的实数根,

整理得(1-k2)x2+2kx-2=0,



解得- <k< 且 k≠±1. ∴当双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时, k 的取值范围是(- ,-1)∪(-1,1)∪(1, ). (2)设交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 l 与 y 轴交于点 D(0,-1). 由(1)知,C 与 l 联立的方程为(1-k2)x2+2kx-2=0,



当 A,B 在双曲线上的一支上且|x1|>|x2|时,
-8-

S S S = - △OAB

△OAD

△OBD

= (|x1|-|x2|)

= |x1-x2|;

当 A,B 在双曲线的两支上且 x1>x2 时,

S S S = + △OAB

△ODA

△OBD

= (|x1|+|x2|)

= |x1-x2|.

∴S△OAB= |x1-x2|= ,

∴(x1-x2)2=(2 )2,



2+ =8,

解得 k=0 或 k=± . 又∵- <k< 且 k≠±1, ∴当 k=0 或 k=± 时,△AOB 的面积为 .

19. (1)证明 设 OA 所在直线的方程为 y=kx(k≠0),则直线 OB 的方程为 y=- x,



解得 或

即 A 点的坐标为

.

同样由

解得 B 点的坐标为(2k2,-2k).

所以 AB 所在直线的方程为 y+2k=

(x-2k2),

化简并整理,得 y=x-2. 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数,当 x=2 时,恒有 y=0. 故直线过定点 P(2,0). (2)解 由于 AB 所在直线过定点 P(2,0), 所以可设 AB 所在直线的方程为 x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
-9-



消去 x 并整理,

得 y2-2my-4=0,Δ =4m2+16>0.

所以 y1+y2=2m,y1y2=-4. 于是|y1-y2|=





=2

.

S△AOB= ×|OP|×(|y1|+|y2|)

= |OP|·|y1-y2|

= ×2×2

=2

.

所以当 m=0 时,△AOB 的面积取得最小值为 4. 20. (1) 由题意,得 A(4,0),B(0,2),D(0,-2),E(2,0),P(4,1).所以直线 DE 的方程为

y=x-2,直线 BP 的方程为 y=- x+2.解方程组



所以直线 DE 与直

线 BP 的交点坐标为( , ).又 + =1,所以点( , )在椭圆 + =1 上.即直线
DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上. (2) 直线 BR 的方程为 y=k1x+2.

解方程组





所以点 R 的坐标为(-



).

因为 k1k2=- ,所以直线 BS 的斜率 k2=- . 直线 BS 的方程为 y=- x+2.

- 10 -

解方程组





所以点 S 的坐标为(



).

所以 R、S 关于坐标原点 O 对称,故 R、O、S 三点共线,即直线 RS 过定点 O,O 点坐标为(0,0). 21. 解 (1)因为命题 p 为真,则-2t2+7t-5>0, 解得 1<t< ,
所以实数 t 的取值范围是(1, ). (2)因为命题 p 是 q 的充分条件, 所以{t|1<t< }是不等式 t2-(a+3)t+(a+2)<0 的解集的子集, 因为方程 t2-(a+3)t+(a+2)=0 的两根为 1 和 a+2, 所以只需 a+2≥ ,解得 a≥ ,
即实数 a 的取值范围为[ ,+∞).
22. (1)设椭圆 C 的标准方程为 + =1(a>b>0), ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x2=8y 的准线 y=-2 上, ∴-b=-2,解得 b=2. 又 = ,a2=b2+c2, ∴a=4,c=2 , 可得椭圆 C 的标准方程为 + =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵∠APQ=∠BPQ,则 PA,PB 的斜率互为相互数, 可设直线 PA 的斜率为 k,则 PB 的斜率为-k, 直线 PA 的方程为 y- =k(x-2), 联立 化为(1+4k2)x2+8k( -2k)x+4( -2k)2-16=0,

- 11 -

∴x1+2=



同理可得 x2+2=





∴x1+x2=

,x1-x2=



设直线 AB 的斜率为 , kAB

则 = kAB



=,

∴直线 AB 的斜率为定值 .

- 12 -


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