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高一数学人教a版必修一 习题 第二章 基本初等函数(ⅰ) 2.3 含答案

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(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 1 C.当幂指数 α 取 1,3, 时,幂函数 y=xα 是增函数 2 D.当幂指数 α=-1 时,幂函数 y=xα 在定义域上是减函数 解析: 不正确; 因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且 y=xα(α∈R),y>0,所以 幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项 B 不正确; 当 α=-1 时,y=x-1 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定 义域上不是减函数,故选项 D 不正确. 答案: C ) 当幂指数 α=-1 时,幂函数 y=x-1 的图象不通过原点,故选项 A 2.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( A.y=x 1 2 B.y=x4 1 3 C.y=x-2 D.y=x 解析: 不正确; 1 函数 y=x 定义域为(0,+∞),既不是奇函数也不是偶函数,故 A 2 函数 y=x4 是过点(0,0),(1,1)的偶函数,故 B 正确; 函数 y=x-2 不过点(0,0),故 C 不正确; 1 函数 y=x 是奇函数,故 D 不正确. 3 答案: B ) ?1?3 ?1?3 ?1?1 ? ? ? ? ? ? 3.设 a=? ? ,b=? ? ,c=? ? ,则( ?2?4 ?5?4 ?2?2 A.a<b<c C.b<c<a 解析: B.c<a<b D.b<a<c 3 由 y=x 是[0,+∞)上的增函数, 4 ?1?3 ?1?3 ? ? ? ? ∴? ? <? ? , ?5?4 ?2?4 ?1? ? ? 由 y=? ?x 是 R 上的减函数, ?2? ?1?3 ?1?1 ? ? ? ? ∴? ? <? ? .∴b<a<c. ?2?4 ?2?2 答案: D 4.已知函数 y=xa,y=xb,y=xc 的图象如图所示,则 a,b,c 的大小关系 为( ) A.c<b<a C.b<c<a 解析: B.a<b<c D.c<a<b 由幂函数的图象特征知,c<0,a>0,b>0. 由幂函数的性质知,当 x>1 时,幂指数大的幂函数的函数值就大,则 a>b. 综上所述,可知 c<b<a. 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.已知幂函数 f(x)=xm2-1(m∈Z)的图象与 x 轴,y 轴都无交点,且关于原点 对称,则函数 f(x)的解析式是________. 解析: ∵函数的图象与 x 轴,y 轴都无交点, ∴m2-1<0,解得-1<m<1; ∵图象关于原点对称,且 m∈Z, ∴m=0,∴f(x)=x-1. 答案: f(x)=x-1 6.已知 2.4α>2.5α,则 α 的取值范围是________. 解析: ∵0<2.4<2.5,而 2.4α>2.5α, ∴y=xα 在(0,+∞)上为减函数,故 α<0. 答案: α<0 7.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: x 1 1 2 2 2 f(x) 1 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是________. ?1? 1 1 ? ? =? ?α,∴α= ,∴f(x)=x , 2 2 2 ?2? 2 解析: 由表中数据知 1 ∴|x| ≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 2 答案: {x|-4≤x≤4} 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 8.已知幂函数 f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上 是单调增函数.求函数 f(x)的解析式. 解析: ∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,∴-m2+2m+3>0,即 m2- 2m-3<0,-1<m<3.又 m∈Z,∴m=0,1,2,而 m=0,2 时,f(x)=x3 不是偶函数, m=1 时,f(x)=x4 是偶函数,∴f(x)=x4. 9.比较下列各组数中两个数的大小. ?1?7 ?1?7 5 5 ? ? ? ? (1)? ? 与? ? ;(2)3- 与 3.1- ; 2 2 ?8?8 ?9?8 ? 2? 2 ? π? 2 ? ? (3)?- ?- 和?-6?- ;(4)0.20.6 与 0.30.4. 3 ? 3 ? ? 3 ? 解析: 7 (1)函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增, 8 ?1?7 ?1?7 1 1 ? ? ? ? 又 > ,∴? ? >? ? . 8 9 ?8?8 ?9?8 5 (2)y=x- 在(0,+∞)上为减函数, 2 5 5 又 3<3.1,∴3- >3.1- . 2 2 2 2 π (3)函数 y=x- 在(0,+∞)上为减函数,又 > , 3 3 6 ?2? 2 ?π? 2 ? ? ∴? ?- <?6?- . ?3? 3 ? ? 3 (4)函数取中间值 0.20.4,函数 y=0.2x 在(0,+∞)上为减函数,所以 0.20.6<0.20.4; 又函数 y=x0.4 在(0,+∞)为增函数,所以 0.20.4<0.30.4. ∴0.20.6<0.30.4.

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