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高三导数复习

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导数复习(2)
1.(原创题)函数 f(x)的定义域为开区间(a, b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个 数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 A.从 f′(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依 次为增→减→增→减,∴在(a,b)内只有一个极小值点. 2. (2010 年佛山高中质检)若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函 数,则实数 m 的取值范围是( ) 1 1 A.(3,+∞) B.(-∞,3] 1 1 C.[3,+∞) D.(-∞,3) 解析:选 C.若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,只需 y′ 1 =3x2+2x+m≥0 恒成立,即 ?=4-12m≤0,∴m≥3.故选 C. 3.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 在区间[-1,2]上是减函数,那么 b +c( ) 15 15 A.有最大值 2 B.有最大值- 2 15 15 C.有最小值 2 D.有最小值- 2 解析:选 B.由 f(x)在[-1,2]上是减函数,知 f′(x)=3x2+2bx+c≤0,x∈[-1,2], ?f′(-1)=3-2b+c≤0 ? 则? ? ?f′(2)=12+4b+c≤0 15 ?15+2b+2c≤0?b+c≤- 2 . 4.函数 y=3x2 -6lnx 的单调增区间为________,单调减区间为 ________. 2 6 6x -6 解析:y′=6x-x = x . ∵定义域为(0,+∞),由 y′>0 得 x>1, ∴增区间为(1,+∞); 由 y′<0 得 0<x<1. ∴减区间为(0,1). 答案:(1,+∞) (0,1)
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5.已知函数 f(x)=alnx+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数 a 的取值 范围是________. a 解析:∵f(x)=alnx+x,∴f′(x)=x +1. 又∵f(x)在[2,3]上单调递增, a ∴x+1≥0 在 x∈[2,3]上恒成立, ∴a≥(-x)max=-2,∴a∈[-2,+∞). 答案:[-2,+∞) 6.(2009 年高考北京卷)设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. 解:(1)f′(x)=3x2-3a, 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切, ?f′(2)=0, ?3(4-a)=0, ? ? ? 所以 即? ? ? ?f(2)=8, ?8-6a+b=8. 解得 a=4,b=24. (2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0). 当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;此时函数 f(x)没有极值点. 当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=± a. 当 x∈(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点.

练习

1.已知 f(x)的定义域为 R,f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,则( ) A.f(x)在 x=1 处取得极小值 B.f(x)在 x=1 处取得极大值 C.f(x)是 R 上的增函数 D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞) 上的增函数 解析:选 C.由图象易知 f′(x)≥0 在 R 上 恒成立,所以 f(x)在 R 上是增函数.
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2.函数 f(x)=x3-6b2x+3b 在(0,1)内有极小值,则( ) 1 A.b>0 B.b<2 2 C.0<b< 2 D.b<1 解析:选 C.f′(x)=3x2-6b2,令 f′(x)=0,得 x=± 2b. ∵f(x)在(0,1)内有极小值, ∴0< 2b<1. 2 ∴0<b< 2 . 3.已知函数 f(x)的导数为 f′(x)=4x3-4x,且 f(x)的图象过点(0,- 5),当函数 f(x)取得极大值-5 时,x 的值应为( ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 4 解析:选 B.可以求出 f(x)=x -2x2+c,其中 c 为常数. 由于 f(x)过(0,-5),所以 c=-5,又由 f′(x)=0,得极值点为 x=0 和 x=±1.又 x=0 时,f(x)=-5.故 x 的值为 0. π 1 4.函数 f(x)=2ex(sinx+cosx)在区间[0,2]上的值域为( ) 1 1 π 1 1 π A.[2,2e2] B.(2,2e2) π π D.(1,e2) C.[1,e2] 1 1 解析:选 A.f′(x)=2ex(sinx+cosx)+2ex(cosx-sinx)=excosx, π 当 0≤x≤2时,f′(x)≥0, π ∴f(x)是[0,2]上的增函数. π 1 π ∴f(x)的最大值为 f(2)=2e2, 1 f(x)的最小值为 f(0)=2. 5.已知函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式 xf′(x)<0 的解 集为( )

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1 B.(-∞,0)∪(2,2) 1 D.(-∞,2)∪(2,+∞) 1 解析:选 B.由 f(x)图象单调性可得 f′(x)在(-∞,2)∪(2,+∞)大于 1 1 0,在(2,2)上小于 0,∴xf′(x)<0 的解集为(-∞,0)∪(2,2). 6.设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为 f(x)、g(x) 的导函数,且满足 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( ) A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a) 解析:选 C.令 y=f(x)·g(x), 则 y′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x), 由于 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0, 所以 y 在 R 上单调递减, 又 x<b,故 f(x)g(x)>f(b)g(b). 7.f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为________. 解析:f(x)=x3-2cx2+c2x,f′(x)=3x2-4cx+c2, f′(2)=0?c=2 或 c=6,若 c=2,f′(x)=3x2-8x+4, 2 2 令 f′(x)>0?x<3或 x>2,f′(x)<0?3<x<2, 2 2 故函数在(-∞,3)及(2,+∞)上单调递增,在(3,2)上单调递减,∴x =2 是极小值点,故 c=2 不合题意,所以 c=6. 答案:6 8.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是________. 解析:令 f′(x)=3x2-3=0, 得 x=±1, 可求得 f(x)的极大值为 f(-1)=2, 极小值为 f(1)=-2, 如图所示,-2<a<2 时,恰有三个不同公 共
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1 1 A.(-∞,2)∪(2,2) 1 1 C.(-∞,2∪(2,+∞)

点. 答案:(-2,2) 9.将长为 52 cm 的铁丝剪成 2 段,各围成一个长与宽之比为 2∶1 及 3∶2 的矩形,那么面积之和的最小值为________. 解析:设剪成 2 段中其中一段为 x cm,另一段为(52-x) cm,依题意 知: x 2x 3(52-x) 2(52-x) S=6· 6 + 10 · 10 3 1 =18x2+50(52-x)2, 1 3 S′=9x-25(52-x), 令 S′=0,则 x=27. 另一段为 52-27=25. 此时 Smin=78. 答案:78 10.(2010 年合肥质检)设函数 f(x)=lnx-2ax. (1)若函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线 l,且直线 l 与 圆(x+1)2+y2=1 相切,求 a 的值; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调区间. 1 解:(1)依题意有,f′(x)=x -2a. 因此过(1,f(1))点的直线的斜率为 1-2a,又 f(1)=-2a, 所以,过(1,f(1))点的直线方程为 y+2a=(1-2a)(x-1). 即(2a-1)x+y+1=0 又已知圆的圆心为(-1,0),半径为 1, |1-2a+1| 依题意, =1, (2a-1)2+1 1 解得 a=2. (2)依题知 f(x)=lnx-2ax 的定义域为(0,+∞), 1 又知 f′(x)=x-2a 1 因为 a>0,x>0,令x -2a>0,则 1-2ax>0 1 所以在 x∈(0,2a)时,f(x)=lnx-2ax 是增函数; 1 在 x∈(2a,+∞)时,f(x)=lnx-2ax 是减函数. 3 11.已知函数 f(x)=x3-2ax2+b(a,b 为实数,且 a>1)在区间[-1,1]
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上的最大值为 1,最小值为-2. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-mx 在区间[-2,2]上为减函数, 求实数 m 的取值 范围. 解:(1)f′(x)=3x2-3ax, 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=a, ∵a>1, ∴f(x)在[-1,0]上为增函数,在[0,1]上为减函数. ∴f(0)=b=1, 3 3 ∵f(-1)=-2a,f(1)=2-2a,∴f(-1)<f(1), 3 4 ∴f(-1)=-2a=-2,a=3. ∴f(x)=x3-2x2+1. (2)g(x)=x3-2x2-mx+1,g′(x)=3x2-4x-m. 由 g(x)在[-2,2]上为减函数, 知 g′(x)≤0 在 x∈[-2,2]上恒成立. ? ? ?g′(-2)≤0 ?20-m≤0 ∴? ,即? ∴m≥20. ? ? ?g′(2)≤0 ?4-m≤0 ∴实数 m 的取值范围是 m≥20. 12.已知函数 f(x)=ln(x+1)+ax. (1)当 x=0 时,函数 f(x)取得极大值,求实数 a 的值; (2)若存在 x∈[1,2],使不等式 f′(x)≥2x 成立,其中 f′(x)为 f(x)的导 函数,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 f(x)的单调区间. 1 解:(1)f′(x)= +a x+1 1 由 f′(0)=0,得 a=-1,此时 f′(x)= -1. x+1 当 x∈(-1,0)时,f′(x)>0,函数 f(x)在区间(-1,0)上单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减; ∴函数 f(x)在 x=0 处取得极大值,故 a=-1. 1 1 (2)∵f′(x)≥2x,∴ +a≥2x,∴a≥2x- . x+1 x+1 1 令 g(x)=2x- (1≤x≤2), x+1 1 ∴g′(x)=2+ >0,∴g(x)在[1,2]上是增函数, (x+1)2 3 ∴a≥g(1)=2.
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1 (3)f′(x)= +a. x+1 1 ∵ >0, x+1 ∴当 a≥0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-1,+∞)上是增函数. 1 当 a<0 时,令 f′(x)=0,x=-a-1; 1 若 x∈(-1,-a-1)时,f′(x)>0, 1 若 x∈(-a-1,+∞)时,f′(x)<0; 综上,当 a≥0 时,函数 f(x)递增区间是(-1,+∞);
1 1 当 a<0 时,函数 f(x)递增区间是(-1,- -1),递减区间是(- -1,+∞).

a

a

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