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金版教程2012高考复习考点测试15导数在研究函数中的应用

时间:2014-07-04

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2012 高考复习考点测试 15

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导数在研究函数中的应用
y

基础训练
【基础训练】 一、选择题 1. (2007 年广东)设 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数, f '( x) 的图 象如右图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是( y y y ) y

O

1

2

x

O 1 A

2

x

O

1 2 B

x

O

2 1 C ) x

O

1 2 D

x

2.函数 y ? x sin x ? cos x 在下面哪个区间内是增函数( A. (

? 3? , ) 2 2

B. ( ? ,2 ? )

C. ( ) C.2

3? 5? , ) 2 2

D. (2 ? ,3 ? )

3. f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x 的极值点的个数是( A.0 B.1

D.3

4.已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? m ( m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,则此函数在[-2,2]上的最小 值等于( A.-37 ) B.-29 C.-5 D.以上都不对

5. 已知对任意实数 x , 都有 f (? x) ? ? f ( x) ,g (? x) ? g ( x) , 且 x ? 0 时,f '( x) ? 0 ,g '( x) ? 0 , 则x?0 时( ) B. f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0 D. f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0 ) D. a ? ?

A. f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0 C. f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0
x

6.设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax ( x ? R )有大于零的极值点,则( A. a ? ? 1 答案:CCAABA 二、填空题 7.函数 y ? x sin x ? cos x 在(- ? ,0)上的单调减区间为________ B. a ? ? 1 C. a ? ?

1 e

1 e

8.若 f ( x) ? ax ? 6 x ? (15 ? 3a) x ? 1 有极大值也有极小值,则 a 的取值范围是____________
3 2 3 9 .设函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1( x ? R ) ,若对于任意 x ?[?1,1] ,都有 f ( x ) ? 0 成立,则实数 a 等于

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___________ 答案:7. (-

? ,0) ;8. a ? 1 或 a ? 4 且 a ? 0 ;9.4。 2

9.解: f '( x) ? 3ax 2 ? 3 , 当 a ? 0 时,有 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 x ?[?1,1] 是减函数, ,不符合题意。 f ( x)min ? f (1) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 (与条件 a ? 0 矛盾) 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 , a

当 x ? (?

1 1 1 1 , ) 时,有 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x ? (? , ) 是减函数, a a a a

当 x ? (??, ?

1 1 ) ,( , ??) 时,有 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 是增函数, a a



1 ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时 , f ( x) 在 x ?[?1,1] 是减函数, a
所以 f ( x)min ? f (1) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 (与条件 0 ? a ? 1 矛盾) ,不符合题意。



1 1 1 1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在 x ? [?1, ? ) 上是增函数,在 x ? (? , ) 是减函数, a a a a

? ?a ? 1 ? 1 ? ,1] 是增函数,所以 ? f (?1) ? 4 ? a ? 0 ,解得 a ? 4 。 在( a ? 1 2 ? f ( ) ? 1? ?0 ? a a ?
三、解答题
3 2 10.已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ( a ? 0 )在 x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1 。

(1)试求常数 a 、 b 、 c 的值; (2)试判断 x ? ?1 是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由。 解: (1) a ?

1 3 , b ? 0, c ? ? ; 2 2

(2)当 x ? ?1 时,函数取得极大值 f (?1) ? 1 ;当 x ? 1 时,函数取得极小值 f (1) ? ?1 。 11. 某造船公司年造船量是 20 艘, 已知造船 x 艘的产值函数为 R( x) ? 3700x ? 45x ?10x (单位: 万元) ,
2 3

成本函数为 C ( x) ? 460 x ? 5000 (单位:万元) ,又在经济学中,函数 f ( x ) 的边际函数 Mf ( x) 定义
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为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) 。 (1)求利润函数 P ( x) 及边际利润函数 MP( x) ; (提示:利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP( x) 的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?
* 解: (1) P( x) ? ?10x3 ? 45x2 ? 3240x ? 5000 ( x ? N ,且 1 ? x ? 20 ) ;

。 MP( x) ? ?30 x2 ? 60 x ? 3275 ( x ? N * ,且1 ? x ? 19 ) (2)年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大。 (3) MP( x) ? ?30 x ? 60 x ? 3275 ? ?30( x ?1)2 ? 3305 ,
2

所以当 x ? 1 时, MP( x) 单调递减,所以单调递减区间为[1,19],且 x ? N 。
*

MP( x) 是减函数的实际意义是随着产量的增加,每艘利润与前一艘利润比较,利润在减少。
12.已知函数 f ( x) ? x ln x 。 (1)求 f ( x ) 的最小值; (2)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围。 解: (1)当 x ? (2) a ? 1 。

1 1 时, f ( x ) 的最小值为 ? 。 e e

高考·模拟
【高考专栏】 1. (2009·湖南卷)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上 ... 的图象可能是( )

【解析】因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [ a, b] 上是增函数,即在区间 [ a, b] 上 各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A。 注意 C 中 y? ? k 为常数噢。
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2. (2010·山东卷)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系式 为y??

1 3 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( 3
B. 11 万件 C.9 万件

) D. 7 万件

A.13 万件 【解析】选择 C。

令导数 y ' ? ? x2 ? 81 ? 0 ,解得 0 ? x ? 9 ;令导数 y ' ? ? x2 ? 81 ? 0 ,解得 x ? 9 。 所以函数 y ? ?

1 3 x ? 81x ? 234 在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+∞)上是减函数, 3

所以在 x ? 9 处取极大值,也是最大值,故选 C。 3. (2009·广东卷)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0, 3) C.(1, 4) D. (2,??)
x

【解】 f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) e x

? ?? ? ( x ? 2)e

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D。

4. (2009·江苏卷)函数 f ( x) ? x3 ?15x2 ? 33x ? 6 的单调减区间为 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。

f ?( x) ? 3x2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,
由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 5. (2010·北京卷)设 函数 f ( x) ? 1,4。 (Ⅰ)当 a ? 3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。 【解析】由 f ( x) ?

a 3 ' x ? bx 2 ? cx ? d ( a ? 0 ) ,且方程 f ( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 3

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d ,得 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? c , 3
2 2

因为 f '( x) ? 9 x ? ax ? 2bx ? c ? 9 x ? ax ? (2b ? 9) x ? c ? 0 的两个根分别为 1,4。

? 2b ? 9 ? ?5 ? ? a 所以 ? (*) ?c ? 4 ? ?a
(1)当 a ? 3 时,又由(*)式得 ?

?b ? ?3 , ?c ? 12

又因为曲线 y ? f ( x) 过原点,所以 d ? 0 ,

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故 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 12 x 。 (2)由于 a ? 0 ,所以“ f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点”等价于 “ f '( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 在 (??, ??) 内恒成立” 。 由(*)式得, 2b ? 9 ? 5a , c ? 4a 。 又 ? ? (2b)2 ? 4ac ? 9(a ? 1)(a ? 9) , 所以 ?

?a ? 0 ,解得 1 ? a ? 9 ,即 a 的取值范围为[1,9]。 ?? ? 9(a ? 1)(a ? 9) ? 0
?x

6. (2010·全国 II)设函数 f ? x ? ? 1 ? e 。 (Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ? 【参考答案】

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围。 ax ? 1

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【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本 技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题, 主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点 之所在. 【模拟专栏】
( x)? ax2 ? bx ? c 的图象如右图, 7. (2010·深圳一模)已知函数 f ( x)的导函数 f ?

则 f ( x)的图象可能是(



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8. (2010·广东茂名一模)函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ,若 ( x ? 1) · f '( x) ? 0 ,则下列结论中正确的是 ( ) A. x ? ?1 一定是函数 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ?1 不是函数 f ( x ) 的极值点 B. x ? ?1 一定是函数 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ?1 不一定是函数 f ( x ) 的极值点 )

9. (2010·广东茂名一模)对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f '( x) ? 0 ,则有( A. f (0) ? f (?2) ? 2 f (?1) C. f (0) ? f (?2) ? 2 f (?1) 答案:DDD B. f (0) ? f (?2) ? 2 f (?1) D. f (0) ? f (?2) ? 2 f (?1)

10. (2010·抚顺六校二模)点 P 是曲线 x2 ? y ? 2ln x ? 0 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最短 距离为______ 解: 2 。 11. (2010·北京东城区期末)已知函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x 在 x ? 1 处有极值 (1)求 a , b 的值; (2)判断函数 y ? f ( x) 的单调性并求出单调区间。 解: (1) a ?

1 。 2

1 , b ? ?1 ; 2 p ? 2 ln x 。 x

(2)单调递减区间是(0,1) ,单调递增区是(1,+∞) 。 12. (2010·浙江五校联考)已知函数 f ( x) ? px ?

(1)若 f ( x ) 在其定义域内为单调递增函数,求实数 p 的取值范围; (2)设 g ( x ) ?

2e ,且 p ? 0 ,若在[1, e ]上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p x

的取值范围。 解: (1) p ? 1 ;

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(2) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? px ?

p 2e ? 2 ln x ? 。 x x

F '( x) ? p ?

p 2 2e px 2 ? 2 x ? p ? 2e px 2 ? p ? 2(e ? x) ? ? ? ? ?0, x2 x x2 x2 x2

所以 F ( x) 在[1, e ]上是增函数, 所以 F ( x)max ? F (e) ? 0 ,解得 p ?

4e 4e ,所以实数 p 的取值范围是 p ? 2 。 e ?1 e ?1
2

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