nbhkdz.com冰点文库

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第6讲 双曲线

时间:


第 6 讲 双曲线

1.双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a(0<2a< 2c),则点 P 的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0: (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 a>c 时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 - =1 - =1 a2 b 2 a2 b2 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)

图形

性 质

范围 对称 性 顶点 渐近 线 离心 率 实虚 轴

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴,对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y=± x y=± x a b c e= ,e∈(1,+∞) a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴, 它的长|A1A2|=2a; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|=2b; a 叫做双曲线的半 实轴长,b 叫做双曲线的半虚轴长 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

a、b、c 的 关系 [做一做]

x2 y2 1.(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( ) a 3 6 A.2 B. 2 5 C. D.1 2 答案:D 3 2. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3, 0), 离心率等于 , 则 C 的方程是( 2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 4 5 5 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 2 5 2 5 答案:B

)

1.辨明三个易误点 (1)双曲线的定义中易忽视 2a<|F1F2|这一条件.若 2a=|F1F2|,则轨迹是以 F1,F2 为端 点的两条射线,若 2a>|F1F2|,则轨迹不存在. (2)区分双曲线中 a,b,c 的关系与椭圆中 a,b,c 的关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在 双曲线中 c2=a2+b2. (3)双曲线的离心率 e∈(1,+∞),而椭圆的离心率 e∈(0,1). 2.求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法 根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定义,若满足,求出相应的 a,b,c,即可求 得方程. (2)待定系数法 x2 y2 x2 y2 ①与双曲线 2- 2=1 共渐近线的可设为 2- 2=λ(λ≠0); a b a b b x2 y2 ②若渐近线方程为 y=± x,则可设为 2- 2=λ(λ≠0); a a b x2 y2 ③若过两个已知点,则可设为 + =1(mn<0). m n 3.双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质可从以下三点关注: (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点; (2)“四线”:两对称轴(实、虚轴)、两渐近线; (3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形;双曲线上的一点(不包括顶点)与两 焦点构成的三角形. [做一做] x2 y2 3. “k>9”是“方程 + =1 表示双曲线”的( ) 9-k k-4 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.当 k>9 时,9-k<0,k-4>0,方程表示双曲线.当 k<4 时,9-k>0,k -4<0,方程也表示双曲线. x2 y2 ∴“k>9”是“方程 + =1 表示双曲线”的充分不必要条件. 9-k k-4 y2 4.(2014· 高考北京卷)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x2=1 具有相同渐近线,则 C 4 的方程为________;渐近线方程为________. y2 解析:设双曲线 C 的方程为 -x2=λ,将点(2,2)代入上式,得 λ=-3,∴C 的方程为 4 x2 y2 - =1,其渐近线方程为 y=± 2x. 3 12 2 2 x y 答案: - =1 y=± 2x 3 12

考点一__双曲线的定义________________________ (1)(2014· 高考大纲全国卷)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2 ,点 A 在 C 上.若|F1A|=2|F2A|,则 cos∠AF2F1=( )

1 A. 4 C. 2 4

1 B. 3 D. 2 3

x2 y2 (2)P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2 分别为左、右焦点,且焦距为 a b 2c,则△PF1F2 的内切圆圆心 M 的横坐标是( ) A.a B.b C.c D.a+b-c c [解析] (1) 由 e= =2,得 c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a, a 又|F1A|=2|F2A|, 故|F1A|=4a, |F2A|=2a, (4a)2+(2a)2-(4a)2 1 ∴cos∠AF2F1= = . 4 2?4a?2a (2) 如图,内切圆圆心 M 到各边的距离分别为 MA,MB,MC,切点分别为 A,B,C,由 三角形的内切圆的性质则有: |CF1|=|AF1|, |AF2|=|BF2|, |PC|=|PB|, ∴|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a, 又|AF1|+|AF2|=2c, ∴|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a. ∵M 的横坐标和 A 的横坐标相同. y2 本例(1)中双曲线方程变为 x2- =1,若点 A 在 C 上,|F1A|=2|F2A|不变, 3 求 cos∠AF2F1 的值. 解:如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2, 又|F1A|=2|F2A|, 故|F1A|=4, |F2A|=2, 42+22-42 ∴cos∠AF2F1= 2?4?2 1 = . 4 [规律方法] (1)在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线, 还是双曲线的一支.若是双曲线的一支,则需确定是哪一支. (2)在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点.另 外,还经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1||PF2|的联系. x2 y2 1.(1)已知△ABP 的顶点 A,B 分别为双曲线 - =1 的左,右焦点,顶点 16 9 |sin A-sin B| P 在双曲线上,则 的值等于( ) sin P 4 7 A. B. 5 4 5 C. D. 7 4 2 2 (2)已知双曲线 x -y =1, 点 F1, F2 为其两个焦点, 点 P 为双曲线上一点, 若 PF1⊥PF2, 则|PF1|+|PF2|的值为________. [答案] (1)A (2)A

|sin A-sin B| ||PB|-|PA|| 2a 8 4 解析:(1)在△ABP 中,由正弦定理知 = = = = . sin P |AB| 2c 10 5 (2)设 P 在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因为 PF1⊥PF2,所以(x+2)2 2 +x =(2c)2=8,所以 x= 3-1,x+2= 3+1,所以|PF2|+|PF1|=2 3. 答案:(1)A (2)2 3 考点二__求双曲线的标准方程__________________ y2 x2 (1)(2015· 东北三校联合模拟)与椭圆 C: + =1 共焦点且过点(1, 3)的双 16 12 曲线的标准方程为( ) 2 x2 2 y A.x - =1 B.y2- =1 3 1 2 y2 x2 y2 2 C. - =1 D. -x =1 2 2 3 2 x y2 (2)(2014· 高考江西卷)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近 a b 线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双 曲线 C 的方程为( ) 2 2 x y x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 12 7 9 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 8 8 12 4 y2 x2 [解析] (1)椭圆 + =1 的焦点坐标为(0,-2),(0,2), 16 12 y2 x2 设双曲线的标准方程为 - =1(m>0,n>0), m n 3 1 ? ? - =1 则?m n ,解得 m=n=2. y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 2 x = a , ? ? ? ?x=a, (2)由? ∴A(a,-b). b 得? ?y=-b, ?y=-ax, ? ? 由题意知右焦点到原点的距离为 c=4, ∴ (a-4)2+(-b)2=4,即(a-4)2+b2=16. 而 a2+b2=16,∴a=2,b=2 3. x2 y2 ∴双曲线 C 的方程为 - =1. 4 12 [答案] (1)C (2)A [规律方法] 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体 过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据 a,b,c,e 及渐近 线之间的关系,求出 a,b 的值. 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12). 解:(1)设双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 2- 2=1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a b a b

?m+n=4 ?

c 5 由题意知,2b=12,e= = , a 4 ∴b=6,c=10,a=8. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)∵双曲线经过点 M(0,12), ∴M(0,12)为双曲线的一个顶点, 故焦点在 y 轴上,且 a=12. 又 2c=26,∴c=13. ∴b2=c2-a2=25. y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 144 25 考点三__双曲线的几何性质(高频考点)__________ 双曲线的几何性质及应用,是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题 难度不大,多为容易题或中档题. 高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下四个命题角度: (1)求双曲线的离心率(或范围); (2)求双曲线的渐近线方程; (3)求双曲线方程; (4)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长. x2 y2 x2 (1)(2014· 高考广东卷)若实数 k 满足 0<k<5, 则曲线 - =1 与曲线 - 16 5-k 16-k y2 =1 的( ) 5 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 x2 y2 (2)(2014· 高考重庆卷)设 F1、F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲 a b 2 2 线上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|) =b -3ab,则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 15 C.4 D. 17 x2 y2 x2 (3)(2014· 高考山东卷)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- a b a 2 y 3 =1,C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( ) b2 2 A.x± 2y=0 B. 2x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 扫一扫 进入 91 导学网(www.91daoxue.com) 双曲线及其几何性质 x2 y2 [解析] (1)因为 0<k<5,所以两曲线都表示双曲线,在 - =1 中 a2=16,b2 16 5-k x2 y2 =5-k;在 - =1 中 a2=16-k,b2=5.由 c2=a2+b2 知两双曲线的焦距相等,故选 16-k 5 D. (2)根据双曲线的定义||PF1|-|PF2||=2a, 由(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab, 可得 4a2=b2-3ab, b?2 ?b? a2+b2 b c 2 2 ? 即 b -3ab-4a =0,所以?a? -3?a?-4=0,解得 =4(负值舍去).所以 e= = = a a a2 2 b 1+ 2= 1+16= 17. a

c1 c2 (3)由题意知 e1= ,e2= , a a c1 c2 c1c2 3 ∴e1·e2= · = 2 = . a a a 2 2 2 2 2 2 2 又∵a2=b2+c2 1,c2=a +b ,∴c1=a -b , 4 4 2 2 4 b? c1c2 a -b ∴ 4 = 4 =1-? ?a? , a a b?4 3 即 1-? ?a? =4, b 2 解得 =± , a 2 b 2 ∴ = . a 2 x2 y2 令 2- 2=0,解得 bx± ay=0,∴x± 2y=0. a b [答案] (1)D (2)D (3)A [规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略 在研究双曲线的性质时, 实半轴、 虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内 c 容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于 e= 是一个比值,故只需根据条件得到关于 a, a b,c 的一个关系式,利用 b2=c2-a2 消去 b,然后变形求 e,并且需注意 e>1. x2 y2 3.(1)(2015· 忻州市高三联考)已知双曲线 C: - =1 的离心率为 3,则 n 4-n C 的渐近线方程为( ) A.y=± 2x B.y=± 2x 2 3 C.y=± x D.y=± x 2 2 (2)(2015· 唐山模拟)已知双曲线 x2-y2=4 左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离为 2, 则 a+b=( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 x2 y2 (3)(2015· 湖北宜昌调研)已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 a b F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,若△ABF2 是正三角形,那么双曲 线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 n+4-n x2 y2 解析:(1)选 B.由双曲线的方程 - =1 知,双曲线的焦点在 x 轴上,∴ = n 4-n n 4 4 4 8 ( 3)2=3,∴n= ,∴a2= ,b2=4- = ,从而双曲线的渐近线方程是 y=± 2x. 3 3 3 3 |a-b| (2)选 B.利用点到直线的距离公式,得 = 2,即|a-b|=2,又 P(a,b)为双曲线左 2 支上一点,故应在直线 y=x 的上方区域,∴a-b<0,∴a-b=-2.∵P(a,b)在双曲线上, ∴a2-b2=4, ∴(a+b)(a-b)=4,∴a+b=-2. (3)选 B.由△ABF2 是正三角形, 可得∠AF2F1=30°, 在 Rt△AF1F2 中, |F1F2|=2c, ∴|AF1| 2 3 4 3 = c,|AF2|= c. 3 3 2 3 根据双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a= c, 3

c ∴e= = 3.故选 B. a 考点四__与双曲线有关的综合问题______________ x2 y2 (2015· 湖南宁远一中测试)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点 a b 到渐近线的距离等于 3,过右焦点 F2 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点,F1 为左焦点. (1)求双曲线的方程; (2)若△F1AB 的面积等于 6 2,求直线 l 的方程. c [解] (1)依题意知,b= 3, =2?a=1,c=2, a y2 ∴双曲线的方程为 x2- =1. 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)知 F2(2,0). 易验证当直线 l 斜率不存在时不满足题意,故可设直线 l:y=k(x-2), y=k(x-2), ? ? 由? 2 y2 ?x - 3 =1, ? 消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0, ∵直线 l 与双曲线有两个交点,∴k≠± 3, 4k2+3 4k2 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k -3 k -3 y1-y2=k(x1-x2), △F1AB 的面积 S=c|y1-y2|=2|k|· |x1-x2| 4 16k -4(k2-3)(4k2+3) =2|k|· |k2-3| k2+1 =12|k|· 2 =6 2. |k -3| 得 k4+8k2-9=0, 则 k=± 1. 所以直线 l 的方程为 y=x-2 或 y=-x+2. [规律方法] 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系.解决这类问题的常用 方法是设出直线方程或双曲线方程, 然后把直线方程和双曲线方程组成方程组, 消元后转化 成关于 x(或 y)的一元二次方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题. x2 4.(2015· 铜陵模拟)若双曲线 E: 2-y2=1(a>0)的离心率等于 2,直线 y= a kx-1 与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若|AB|=6 3,求 k 的值. c ? ?a2=1, ?a= 2 ? 解:(1)由? ,得? 2 ?c =2, ? ? ?a2=c2-1 故双曲线 E 的方程为 x2-y2=1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=kx-1, ? 由? 2 2 ? ?x -y =1, 得(1-k2)x2+2kx-2=0.① ∵直线与双曲线右支交于 A,B 两点,

? ?k>1, 故? 2 2 ? ?Δ=(2k) -4(1-k )?(-2)>0, ?k>1, 即? ?- 2<k< 2, 所以 1<k< 2. 2k 2 (2)由①得 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k -1 k -1

∴|AB|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2 (1+k2)(2-k2) =2 =6 3, (k2-1)2 整理得 28k4-55k2+25=0, 5 5 ∴k2= 或 k2= . 7 4 又 1<k< 2, 5 ∴k= . 2

方法思想——方程思想在求离心率中的应用 设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲 线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 3+1 5+1 C. D. 2 2 2 2 x y [解析] 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),不妨设一个焦点为 F(c,0),虚轴端点 a b b b b b b 为 B(0,b),则 kFB=- .又渐近线的斜率为± ,所以由直线垂直关系得(- )· =-1(- 显 c a c a a 2 2 2 2 2 2 2 2 然不符合),即 b =ac,又 c -a =b ,所以 c -a =ac,两边同除以 a ,整理得 e -e-1 5+1 1- 5 =0,解得 e= 或 e= (舍去). 2 2 [答案] D [名师点评] (1)本题利用方程思想,将已知条件转化为关于 a,c 的方程,然后求出离 心率 e. (2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于 a, c 的齐次方程或不等式,然后再转化成关于 e 的方程或不等式求解. x2 y2 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的 a b 右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该 双曲线的离心率 e 的取值范围是________. π 解析:根据对称性,只要∠AEF< 即可.由题意,知 F(-c,0),直线 AB 的方程为 x 4 b4 b2 b2 =-c,将 x=-c 代入双曲线方程,得 y2= 2,取点 A(-c, ),则|AF|= ,|EF|=a+c, a a a π b2 只要|AF|<|EF|就能使∠AEF< ,即 <a+c?b2<a2+ac?c2-ac-2a2<0?e2-e-2<0,解得 4 a -1<e<2,又 e>1,故 1<e<2.故离心率 e 的取值范围是(1,2). 答案:(1,2)

π x2 y2 y2 x2 1.已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 =1 的( ) 4 sin θ cos θ cos θ sin θ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 2 2 解析:选 D.由双曲线 C1 知:a =sin θ,b2=cos2θ?c2=1,由双曲线 C2 知:a2=cos2 θ,b2=sin2θ?c2=1. x2 y2 x2 y2 2.(2015· 福建宁德模拟)已知椭圆 2+ =1(a>0)与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a a 9 4 3 的值为( ) A. 2 B. 10 C.4 D. 34 x2 y2 x2 y2 解析:选 C.因为椭圆 2+ =1(a>0)与双曲线 - =1 有相同的焦点(± 7,0), a 9 4 3 2 则有 a -9=7,∴a=4. 3.(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C. 3m D.3m x2 y2 3 解析:选 A.双曲线 C 的标准方程为 - =1(m>0),其渐近线方程为 y=± x= 3m 3 3m m ± x,即 my=± x,不妨选取右焦点 F( 3m+3,0)到其中一条渐近线 x- my=0 的距离 m 3m+3 求解,得 d= = 3. 1+m x2 y2 4. (2015· 河南开封模拟)设 F1, F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左, 右焦点. 若 a b 在双曲线右支上存在点 P, 满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的离心率为( ) 4 5 A. B. 3 3 5 41 C. D. 4 4 解析:选 B.易知|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为 F2 到直 线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即 3c2-2ac-5a2=0,两边 5 同除以 a2,得 3e2-2e-5=0,解得 e= 或 e=-1(舍去). 3 x2 y2 5.(2015· 兰州市、张掖市高三联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分 a b 别为 F1、F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程 为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 16 9 3 4 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 9 16 4 3 b 解析:选 C.由题意知,圆的半径为 5,又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线 y= x a

a +b =25 ? ? 上,因此有? b , ?4=3?a ?
?a=3 ? x2 y2 解得? ,所以此双曲线的方程为 - =1. 9 16 ? ?b=4 x2 y2 6 . 已知双曲线 - = 1 的右焦点的坐标为 ( 13 , 0) ,则该双曲线的渐近线方程为 9 a ________. 解析:依题意知( 13)2=9+a,所以 a=4, x2 y2 故双曲线方程为 - =1, 9 4 x y 则渐近线方程为 ± =0. 3 2 即 2x± 3y=0. 答案:2x+3y=0 或 2x-3y=0 7.(2015· 浙江六市六校联盟模拟)如图所示,已知双曲线以长方 形 ABCD 的顶点 A,B 为左、右焦点,且双曲线过 C,D 两顶点.若 AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.

2

2

x2 y2 解析:设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0).由题意得 a b B(2,0),C(2,3), 4=a2+b2, ? ?a2=1, ? ? ∴? 4 9 解得? 2 ?b =3, ? ? ?a2-b2=1, y2 ∴双曲线的标准方程为 x2- =1. 3 2 y 答案:x2- =1 3 x2 y2 8.(2015· 武汉模拟)已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P a b |PF1|2 为双曲线右支上的任意一点.若 =8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是________. |PF2| c 解析:设|PF2|=y,则(y+2a)2=8ay?(y-2a)2=0?y=2a≥c-a?e= ≤3. a 答案:(1,3] 9.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1),若此圆过 点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程. 解:切点为 P(3,-1)的圆 x2+y2=10 的切线方程是 3x-y=10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称, ∴两渐近线方程为 3x± y=0. 设所求双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0). ∵点 P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得 λ=80, x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 - =1. 80 80 9 4 10.已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴, 5 短轴为虚轴,且焦距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A、B,在第二象限内取双曲线上一点 P,连结 BP 交椭

→ → 圆于点 M,连结 PA 并延长交椭圆于点 N,若BM=MP,求四边形 ANBM 的面积. 2 2 x y x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则根据题意知双曲线的方程为 2- 2=1 且满 a b a b 足 a2-b2 4 ? ? ?a2=25, = , ? a 5 ? 解方程组得? 2 ?b =9. ? 2 2 ? ?2 a +b =2 34, x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程为 - =1. 25 9 25 9 → → (2)由(1)得 A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,设 M(x0,y0),则由BM=MP,得 M 为 BP 的中点,所以 P 点坐标为(2x0-5,2y0). 将 M、P 坐标代入椭圆和双曲线方程, 2 2 x0 y0 + =1, 25 9 得 (2x0-5)2 4y2 0 - =1, 25 9 2 消去 y0,得 2x0 -5x0-25=0. 5 解得 x0=- 或 x0=5(舍去). 2 3 3 5 3 3 ∴y0= .由此可得 M(- , ), 2 2 2 ∴P(-10,3 3). 3 3 则直线 PA 的方程是 y=- (x+5), 5 2 2 x y 代入 + =1,得 2x2+15x+25=0. 25 9 5 解得 x=- 或 x=-5(舍去), 2 5 ∴xN=- ,则 xN=xM,所以 MN⊥x 轴. 2 1 3 3 ∴S 四边形 ANBM=2S△AMB=2? ?10? =15 3. 2 2

? ? ?

x2 y2 1.(2015· 唐山市高三年级统考)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点为 F1,F2, a b → → → → 且 C 上点 P 满足PF1?PF2=0,|PF1|=3,|PF2|=4,则双曲线 C 的离心率为( ) 10 A. B. 5 2 5 C. D.5 2 解析:选 D.依题意得,2a=|PF2|-|PF1|=1,|F1F2|= |PF2|2+|PF1|2=5,因此该双曲线 |F1F2| 的离心率 e= =5. |PF2|-|PF1| 2.(2015· 山西阳泉高三第一次诊断)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦 点,点 P 在双曲线 C 上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|?|PF2|等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:选 B.由题意知 a=1,b=1,c= 2, ∴|F1F2|=2 2, 在△PF1F2 中,由余弦定理得

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° =|F1F2|2=8, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,① 由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,两边平方得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,② ①-②得|PF1||PF2|=4. x2 y2 3.(2015· 浙江杭州调研)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1 和 F2,左、 a b → → 右顶点分别为 A1 和 A2, 过焦点 F2 与 x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为 P, 若|PA1|是|F1F2 → |和|A1F2|的等比中项,则该双曲线的离心率为________. b2?2 → → → 2 2 2 解析:由题意可知|PA1|2=|F1F2|?|A1F2|,即? ? a ? +(a+c) =2c(a+c),化简可得 a =b , a2+b2 c c2 则 e= = = = 2. a a2 a2 答案: 2 b- c x2 y2 4.已知 c 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的半焦距,则 的取值范围是________. a b a b-c c2-a2-c 1 解析: = = e2-1 - e =- 2 ,由于 e > 1 ,且函数 f(e) =- a a e -1+e b-c 1 在(1,+∞)上是增函数,那么 的取值范围是(-1,0). a e -1+e 答案:(-1,0) x2 y2 5.(2015· 湛江模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0). a b (1)若双曲线的一条渐近线方程为 y=x 且 c=2,求双曲线的方程; (2)以原点 O 为圆心,c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A,过 A 作圆 的切线,斜率为- 3,求双曲线的离心率. b 解:(1)∵双曲线的渐近线方程为 y=± x,∴a=b, a 2 2 2 2 ∴c =a +b =2a =4, ∴a2=b2=2, x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 2 2 (2)设点 A 的坐标为(x0,y0), y0 ∴直线 AO 的斜率满足 ·(- 3)=-1, x0 ∴x0= 3y0,① 依题意,圆的方程为 x2+y2=c2, 1 2 2 将①代入圆的方程得 3y2 0+y0=c ,即 y0= c, 2 3 ∴x0= c, 2 3 1 ∴点 A 的坐标为( c, c), 2 2 3 2 1 2 c c 4 4 代入双曲线方程得 2 - 2 =1, a b 3 1 即 b2c2- a2c2=a2b2,② 4 4 又∵a2+b2=c2,
2

x2 y2 6.(选做题)直线 l:y= 3(x-2)和双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)交于 A,B 两点,且 a b b |AB|= 3,又 l 关于直线 l1:y= x 对称的直线 l2 与 x 轴平行. a (1)求双曲线 C 的离心率 e; (2)求双曲线 C 的方程. x2 y2 x y 解:(1)设双曲线 C: 2- 2=1 过一、三象限的渐近线 l1: - =0 的倾斜角为 α. a b a b 因为 l 和 l2 关于 l1 对称,记它们的交点为 P,l 与 x 轴的交点为 M. 而 l2 与 x 轴平行,记 l2 与 y 轴的交点为 Q. 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α. 又 l:y= 3(x-2)的倾斜角为 60°,则 2α=60°, b 3 所以 tan 30°= = . a 3 c2 b2 1 4 于是 e2= 2=1+ 2=1+ = , a a 3 3 2 3 所以 e= . 3 b 3 x2 y2 (2)由于 = ,于是设双曲线方程为 2- 2=1(k≠0), a 3 3k k 即 x2-3y2=3k2. 将 y= 3(x-2)代入 x2-3y2=3k2 中, 得 x2-3?3(x-2)2=3k2. 化简得到 8x2-36x+36+3k2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+3|x1-x2|=2 (x1+x2)2-4x1x2 362-4?8?(36+3k2) =2? = 9-6k2= 3, 8 解得 k2=1. x2 故所求双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3

∴将 b2=c2-a2 代入②式,整理得 3 4 c -2a2c2+a4=0, 4 c c ∴3( )4-8( )2+4=0, a a ∴(3e2-2)(e2-2)=0, ∵e>1,∴e= 2, ∴双曲线的离心率为 2.


【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精....ppt

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第八章 解析几何 第六双曲线 - 第六双曲线 基础盘查一 双曲线的定义及标准方程 ()循...

数学导航2016届高考数学大一轮复习 第八章 6双曲线课件....ppt

数学导航2016届高考数学大一轮复习 第八章 6双曲线课件 文. - 温馨提示:

...高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件:第8章-第6节....ppt

2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件:第8章-第6双曲线 - 必考部分 第八章 平面解析几何 第六双曲线 [考纲考情 ] 1. 了解双曲线的定义、...

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第八章第6讲(精)....ppt

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第八章第6讲(精) - 第八章 平面解析几何 第 6讲 双曲线 1.双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2...

...复习配套课件:第八章 平面解析几何 第6讲 双曲线_图....ppt

【优化方案】2016高考数学(文)(新课标)一轮复习配套课件:第八章 平面解析几何 第6讲 双曲线_高中教育_教育专区。第八章 平面解析几何 第6讲 双曲线 第八章 ...

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第1讲 直线....doc

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线...掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质. 双曲线 了解双曲线的定义...

高考数学一轮复习第八章几何第讲双曲线习题讲义.doc

高考数学一轮复习第八章几何第讲双曲线习题讲义 - 2017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 6 讲 双曲线习题 A 组 基础巩固 一、选择题 1.(2015福建)...

...(新课标)高考数学大一轮复习 第8章 第6节 双曲线课....ppt

【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第8章 第6双曲线课件 理 - 第八章 平面解析几何 第六双曲线 [考情展望] 题目. 1.考查双曲线的定义及...

2016年高考人教B版数学(理)一轮复习课件:第九章 平面解....ppt

2016年高考人教B版数学(理)一轮复习课件:第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 6 讲 ? 夯基释疑 双曲线 考点一 考点二 ...

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第八章第6讲知能....doc

【优化方案】 (新课标)2016 高考数学一轮复习 第八章 第 6 讲知 能训练轻松闯关 π x y y x 1. 已知 0<θ<, 则双曲线 C1: 2 -=1 与 C2: 2 -...

...人教版数学(理)一轮复习课件:第8章 第6节 双曲线_图....ppt

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第8章 第6双曲线 - 第六双曲线 [主干知识梳理] 一、双曲线的定义 平面内与定点F1、F2的距离的 ...

高考(新课标)数学(理)大一轮复习配套课件第八章 平面解....ppt

高考(新课标)数学(理)大一轮复习配套课件第八章 平面解析几何8-6 - 第八章 平面解析几何 第 6讲 双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方 程,知道它...

...(新课标)高考数学大一轮复习 第8章 第6节 双曲线课....doc

【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第8章 第6双曲线课时作业 理 - 课时作业(五十三) 一、选择题 2 2 双曲线 1.(2014新课标全国Ⅰ)已知 ...

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 双曲....doc

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8双曲线学案 理 - 第五十三课时 双曲线 课前预习案 考纲要求 掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质. 基础...

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精....ppt

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第八章 解析几何 第八节 曲线与方程 - 第八节 曲线与方程 基础盘查 曲线与方程 ()循纲忆知...

...理科数学大一轮总复习课件:第10章 第6讲 双曲线_图....ppt

2016高考理科数学大一轮总复习课件:第10章 第6讲 双曲线_高中教育_教育专区。高中新课标总复习 理数 1 高中新课标总复习 理数 第 6讲 双曲线 2 高中新课标...

2019届高考数学(文)大一轮复习讲义课件:第八章 平面解....ppt

2019高考数学(文)大一轮复习讲义课件:第八章 平面解析几何 8-6 - 第八章 平面解析几何 第六双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方 程,知道它...

【最新资源】2019届高考数学(文)大一轮复习讲义课件:第....ppt

【最新资源】2019高考数学(文)大一轮复习讲义课件:第八章 平面解析几何 8-6-精品PPT课件 - 第八章 平面解析几何 第六双曲线 1.了解双曲线的定义、几何...

2016届高考数学一轮复习7.8双曲线(二)练习理.doc

2016届高考数学一轮复习7.8双曲线(二)练习理 - 第八双曲线(二) 基础自 测 3 x y 1.已知 m>0,直线 y= x 是双曲线 - 2=1 的渐近线,则 m ...

...(新课标版)(数学理)第九篇 解析几何 第6讲 双曲线.doc

2013高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第九篇 解析几何 第6讲 双曲线_数学_高中教育_教育专区。taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 第6讲【...