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黑龙江省哈尔滨市2013届高三数学二轮复习 专题能力提升训练十四 推理与证明 2

时间:2013-05-14


哈尔滨 2013 届高三数学二轮复习专题能力提升训练:推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.如图,有 6 个半径都为 1 的圆,其圆心分别为 O1 (0,0) , O2 (2,0) , O3 (4,0) , O4 (0, 2) , O5 (2, 2) ,

O6 (4, 2) .记集合 M={⊙Oi|i=1,2,3,4,5,6}.若 A,B 为 M 的非空子集,且 A 中的任何一个圆
与 B 中的任何一个圆均无公共点,则称 (A,B) 为一个“有序集合对”(当 A≠B 时,(A,B) 和 (B,A) 为不同的有序集合对),那么 M 中 “有序集合对”(A,B) 的个数是( )

A. 50 B. 54 C. 58 D. 60 【答案】B 2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除 之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出 了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个近似公式 d ? 人们还用过一些类似的近似公式.根据 π =3.14159? 判断,下列近似公式中最精确的一个是( A. d ?
3 3

16 V 。 9

)

16 V 9

B. d ? 3 2V

C. d ?

3

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11

【答案】D 3.用反证法证明: a , b 至少有一个为 0” “ ,应假设( ) A. a , b 没有一个为 0 B. a , b 只有一个为 0 C. a , b 至多有一个为 0 D. a , b 两个都为 0 【答案】A
3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 4.观察下列等式, 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 根据上述规律,

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? (
2 A. 19 2 B. 20

)
2 C. 21 2 D. 22

【答案】C 5.设 n 为 正整数, f ?n ? ? 1 ?

1 1 1 1 3 ? ? ??? , 计算得 f ?2 ? ? , f ?4? ? 2, 2 3 4 n 2 5 7 f ?8? ? , f ?16? ? 3, f ?32 ? ? , 观察上述结果可推测出一般结论( ) 2 2 2n ? 1 n?2 2 , , A. f ?2n ? ? B. f n ? 2 2 n?2 n?2 n , f ?2n ? ? , C. f 2 ? D. 2 2

? ?

? ?

1

【答案】C 6.若函数 f ( x ) ?

x 1? x
2

,记 f ( 2) ( x) ? f ( f ( x)) , f ( 3) ( x) ? f ( f ( f ( x))) ?

f ( n) ( x) ? f ( f (? f ( x)?)) (n ? 2, n ? N ) ,则 f (30) (2) ? (
1 A. 10 2 B. 11 3 C. 10 4 D. 11

)

【答案】B 7.对命题“正三角形的内切圆切与三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切 球切与四面都为正三角 形的什么位置?( ) A.各三角形内的点 B. 各正三角形的中心 C. 各正三角形的某高线上的点 D. 三条棱的中点 【答案】B 8. 已知 f (1,1) ? 1 ,f (m, n) ? N ?( m, n ? N ? ) 且对任意 m, n ? N ? 都有 ① f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ; ② f (m ? 1,1) ? 2 f (m,1) 则 f (2007 2008 的值为( , ) A. 2 C. 2
2006

)

? 2007 ? 4014

B. 2 D. 2

2007

? 2007 ? 4014

2006

2007

【答案】C
2 9.若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是: a ? R ,结论是: a ? 0 ,那么这个演绎推理出错

在( ) A.大前提 【答案】A

B.小前提

C.推理过程

D.没有出错

10.给出命题:若 a , b 是正常数,且 a ? b , x, y ? (0, ??) ,则 成立). 根据上面命题,可以得到函数 f ( x) ? 别为( A.11+6 )

a 2 b 2 (a ? b) 2 a b ? ? (当且仅当 ? 时等号 x y x? y x y

1 2 9 ( x ? (0, ) )的最小值及取最小值时的 x 值分 ? 2 x 1 ? 2x

2,

2 B.11+6 13

2,

1 5

C.5,

2 13

D.25,

1 5

【答 案】D 11.下列说法中正确的是( ) A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 【答案】D 12.已知整数以按如下规律排成一列: ?1 , 1? 、 ?1 , 2 ? 、 ? 2 , 1? 、 ?1 , 3? 、? 2 , 2? , ? 3 , 1? , ?1 , 4 ? , ? 2 , 3? ,

?3 , 2? , ? 4 , 1? ,??,则第 60 个数对是( A. ?10 , 1? B. ? 2 , 10 ? C.
【答案】C

)

?5 , 7?

D. ? 7 , 5?

2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.观察下列等式, 2 2 2 2 1=1 , 2+3+4=3 , 3+4+5+6+7=5 , 4+5+6+7+8+9+10=7 , ?从中归纳出的一般性法则是____________ 【答案】 n ? (n ? 1) ? ? ? 3n ? 2 ? (2n ? 1) 2 14. ? y ? x 3是奇函数? y ? x 3的 像 于 点 称 “ 图关原对 .”以上推理的大前提是____________

【答案】奇函数的图像关于原点对称 15.把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行的偶数,得到如图乙的 三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列 {an } ,若 an ? 2011, 则 n= 。

. 【答案】1028 16.对于各数互不相等的整数数组 (i1 , i2 , i3 ,?, in ) ( n 是不小于 2 的正整数),对于任意

p, q ?{1, 2,3,?, n} ,当 p ? q 时有 i p ? iq ,则称 i p ,i q 是该数组的一个“逆序” ,一个数组中所有“逆
序”的个数称为该数组的“逆序数” ,则数组(2,4,3,1)中的逆序数等于 . 【答案】4 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的 后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”“四边形数列”? ,将构图边数增加到 、 ,记它的第 r 项为 P(n, r ) , n 可得到“ n 边形数列”

1,3,6,10 (1) (2)

1,4,9,16

1,5,12,22

1,6,15,28

求使得 P(3, r ) ? 36 的最小 r 的取值; 试推导 P(n, r ) 关于 n 、 r 的解析式;

( 3) 是否存在这样的“ n 边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条 件的数列并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
3

【答案】 (1) P (3, r ) ?

r (r ? 1) r ( r ? 1) ,由题意得 ? 36 ,所以,最小的 r ? 9 . 2 2

(2)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 ar ,则 P(n, r ) ? a1 ? a2 ? ??? ? ar 从图中可以得出:后一层的点在 n ? 2 条 边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以 ar ?1 ? ar ? n ? 2 , a1 ? 1 所以 {ar } 是首项为 1 公差为 n ? 2 的等差数列, 所以 P(n, r ) ?

r (n ? 2)r (r ? 1) [2 ? (r ? 1)(n ? 2)] .(或 r ? 等) 2 2

(3) P(n, r ? 1) ? P(n, r ) ? (n ? 2)r 2 ? 2r ? 1 显然 n ? 3 满足题意, ] 而结论要对于任意的正整数 r 都成 立,则 (n ? 2)r 2 ? 2r ? 1 的判别式必须为零, 所以, 4 ? 4(n ? 2) ? 0 , n ? 3 18.已知 a ? 0, b ? 0且a ? b ? 2, 求证: 【答案】假设 所以,满足题意的数列为“三角形数列”.

1? b 1? a 中至少有一个小于 2. , a b

1? b 1? a 1? b 1? a , ? 2, ?2 都不小于 2,则 a b a b

因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 1 ? b ? 2a,1 ? a ? 2b , 1 ? 1 ? a ? b ? 2(a ? b) 即 2 ? a ? b ,这与已知 a ? b ? 2 相矛盾,故假设不成立 综上

1? b 1? a , 中至少有一个小于 2. a b
2 1 n n-1

19.设 f(x)=x +a. 记 f (x)=f(x),f (x)=f(f

(x)),n=1,2,3,?,

1 n M={a∈R|对所有正整数 n,|f (0)|≤2}.证明,M=[-2, ]. 4 【答案】⑴ 如果 a<-2,则|f (0)|=|a|>2,a∈M. /
1

1 1 n n-1 2 ⑵ 如果-2≤a≤ ,由题意,f (0)=a,f (0)=(f (0)) +a,n=2,3,??.则 4 1 1 n ① 当 0≤a≤ 时,|f (0)|≤ ,(?n≥1). 4 2 1 1 事实上,当 n=1 时,|f (0)|=|a|≤ ,设 n=k-1 时成立(k≥2 为某整数) , 2 则对 n=k,|f (0)|≤|f
k n k-1

1 2 1 1 2 (0)| +a≤( ) + = . 2 4 2

② 当-2≤a<0 时,|f (0)|≤|a|,(?n≥1). 1 事实上,当 n=1 时,|f (0)|≤|a|,设 n=k-1 时成立(k≥2 为某整数),则对 n=k,有 -|a|=a≤(f
k-1

2 2 (0)) +a≤a +a
2 2 k

注意到当-2≤a<0 时,总有 a ≤-2a,即 a +a≤-a=|a|.从而有|f (0)|≤|a|.由归纳法,推出[-2,

4

1 ]?M. 4 1 n ⑶ 当 a> 时,记 an=f (0), 4 2 1 n+1 n 则对 于任意 n≥1,an>a> 且 an+1=f (0)=f(f (0))=f(an)=an+a. 4 2 1 2 1 1 1 对于任意 n≥1,an+1-an=an-an+a=(an- ) +a- ≥a- .则 an+1-an≥a- . 2 4 4 4 1 2-a 1 所以,an+ 1-a=an+1-a1≥n(a- ).当 n> 时,an+1>n(a- )+a>2-a+a=2, 4 1 4 a- 4 即f
n+1

1 (0)>2.因此 a∈M.综合⑴,⑵,⑶,我们有 M=[-2, ] / 4 与 的边 分别相切于 和 ,与 外接圆相切于 , 是 的中

20.已知⊙

点(如图). 求证: .

【答案】已知⊙ O 与 ?ABC 的边 AB、AC 分别相切于 P 和 Q ,与 ?ABC 外接圆相切于 D , M

∴ AP ? AQ

5

∵ OP 和 OQ 都是⊙ O 的半径,

?APO ? ?AQO ? 90?
∴ 由对称性知 ?POQ ? 2?AOQ , 且 OA ? PQ 于 M . ∴ OD2 ? OQ2 ? OM ? OA ,

OD OA ? OM OD 又∵ ?DOM ? ?AOD ,∴ ?DOM ∽ ?AOD ∴ ?ODM ? ?OAD 过 D 作两圆的公切线 DE ,则 ?CDE ? ?CAD

? 又∵ OD ? DE ,即 ?ODE ? 90 ? ? ∴ ?MDC ? 90 ? ?ODM ? ?COE ? 90 ? ?OAD ? ?DAC

? 90? ? ?OAQ ? ?AOQ
故 ?POQ ? 2?MDC . 21.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数。 求证: f ( x) ? 0 无整数根。 【答案】假设 f ( x) ? 0 有整数根 n ,则 an2 ? bn ? c ? 0,(n ? Z ) 而 f (0), f (1) 均为奇数,即 c 为奇数, a ? b 为偶数,则 a, b, c 同时为奇数‘
2 2 或 a , b 同时为偶数, c 为奇数,当 n 为奇数时, an ? bn 为偶数;当 n 为偶数时, an ? bn 也

2 2 为偶数,即 an ? bn ? c 为奇数,与 an ? bn ? c ? 0 矛盾。

? f ( x) ? 0 无整数根。
22.求证:

6? 5 > 2 2? 7 6 ? 5 >2 2 ? 7

【答案】要证:

只需: 6 ? 7 >2 2 ? 5 成立, 即证:

? 6 ? 7 ? ?2
2

>

2? 5

?

2

6

只需证:13+2 42 > 13+2 40 即证: 42>40

∵42>40 显然成立, ∴

6 ? 5 >2 2 ? 7 证毕。

7


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