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高二下学期期末考试数学复习理科(教师版)

时间:2017-09-14


?x 1 ?5 1、求?2+x + 2? (x>0)的展开式经整理后的常数项. ? ? 5 x 1 ? x 1 ?10 + + 2? 在 x>0 时可化为? + ? , 解法一:? ?2 x ? ? 2 x?
10-2r 5 1 ?10-r ? 1 ? =63 2. ( x) ,则 r=5 时为常数项,即 C5 · 10 2 ? 2? ? 2? 解法二:所给的式子为三项式,采用两个计数原理求解.

? 因而 Tr+1=Cr 10

分三类:①5 个式子均取 2,则 C5 5( 2) =4 2; 3 1? 1 x 1 ? ②取一个 ,一个 ,三个 2,则 C1 C ( 2 ) =20 2; 5 2 ? ? 4 2 x 2 x 1 15 2 ?1? 2 ③取两个 ,两个 ,一个 2,则 C2 . 5 2 C3 2= ? ? 2 x 2 15 2 63 2 所以,常数项为 4 2+20 2+ = . 2 2 【评析】三项式的展开式问题,通常可用解法一化为二项式问题,或者用解法二化为计数问题.

5

【巩固】

?|x| 1 ?3 ? + x -2? 展开式中的常数项是______. || ? ?
2

(|x| -2|x|+1)3 (|x|-1)6 解法一:原式= = . 3 3 |x| |x|
3 ∴(1-|x|)6 的展开式中|x| 的系数 C3 6(-1) =-20 就是原式展开式中的常数项.
3

1 ? ? 解法二:将原式化为 ? x ? ? ,利用二项式定理求解. x? ?
1 1 解法三:将原式看成三个|x|+ -2 相乘,常数项只可能由|x|· · (-2)和(-2)3 构成,可利用计数原理分成两类 |x| |x| 再求和.故所求为 C1 C1 (-2)+C3 (-2)3=-20.故填-20. 3· 2· 3·

6

2、已知 f(x)=(1+x)m+(1+2x)n (m,n∈N+)的展开式中 x 的系数为 11. (1)求 x2 的系数取最小值时 n 的值; (2)当 x2 的系数取得最小值时,求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和.

1 (1)由已知得 C1 m+2Cn=11,∴m+2n=11,

m?m-1? m2-m 21 11-m ? ? 351 2 2 m - ? 2+ . x2 的系数为 C2 +2n(n-1)= +(11-m)? m+2 Cn= 4? 2 2 16 ? 2 -1?=? ∵m∈N+,∴m=5 时,x2 的系数取得最小值 22,此时 n=3. (2)由(1)知,当 x2 的系数取得最小值时,m=5,n=3,∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3. 设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+a5x5, 令 x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,令 x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 两式相减得 2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30.

3、已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7. 求:(1)a1+a2+?+a7;(2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|.
解 令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.① 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②

(1)∵a0=C0 7=1,∴a1+a2+a3+?+a7=-2. -1-37 (2)(①-②)÷ 2,得 a1+a3+a5+a7= =-1 094. 2 -1+37 (3)(①+②)÷ 2,得 a0+a2+a4+a6= =1 093. 2 (4)方法一 ∵(1-2x)7 展开式中,a0、a2、a4、a6 大于零,而 a1、a3、a5、a7 小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187. 方法二 |a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|,即(1+2x)7 展开式中各项的系数和,令 x=1, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=37=2 187.

4、 (2013?大连一模)三位男同学和三位女同学站成一排,要求任何两位男同学都不相邻,则不同的 排法总数为( ) A.720? B.144 C.36 D.12?
考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合及简单计数问题. 概率与统计. 对于排列中不相邻的问题,我们经常用插空法来处理. 解:由于要求任何两位男同学都不相邻,
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故需先排三位女同学,则不同的排法有

种, 种,

则此三位男同学需从女同学产生的四个空中选三个依此拍好,共有 故不同的排法共有 故答案为 B. 种.

5、 (2013?成都模拟)将 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全部 放入 3 个不同的盒子中,每个盒子既 要有白球,又要有黑球,且每个盒子中都不能同时只 放入 2 个白球和 2 个黑球,则所有不同的放法 种数为( )
A.3 B.6 C.12 D.18

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,用间接法,首先用挡板法计算全部的每个盒子既有白球,又有黑球的情况,再计算不合题意的 即一个盒子中只放入 2 个白球和 2 个黑球的情况数目,由事件之间的关系计算可得答案. 2 解答: 解:首先把四个白球排列,用 2 块挡板隔开分成 3 份,共有 C3 =3 种结果, 2 再把五个黑球用 2 块挡板分开,共有 C4 =6 种结果, 根据分步计数原理知共有 3×6=18 种结果, 其中同时一个盒子中只放入 2 个白球和 2 个黑球的情况有 3×2=6 种情况; 则满足题意的有 18﹣6=12 种; 故选 C. 点评: 本题考查排列组合的运用,解题的关键是明确同色的小球都相同,在计算全部情况时只要用挡板法分成三 份就可以,这里有两种颜色的小球要分开两次.
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6、 (2013?浙江模拟)假如北京大学给中山市某三所重点中学 7 个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到 一个名额的方法数为( )

A.10

B.15
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C.21

D.30

考点: 排列、组合及简单计数问题.

专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得,原问题可以转化为将 7 个名额排成一排,在排除两端的 6 个空位中,插入挡板,将 其分为 3 组,对应 3 个学校的组合问题,由组合数公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,要求将 7 个名额分给 3 给学校,且每个学校至少分到一个名额, 可以转化为将 7 个名额排成一排,在排除两端的 6 个空位中,插入挡板,将其分为 3 组,对应 3 个学校的 组合问题; 则不同的分法有 C6 =15 种; 故选 B. 点评: 本题考查组合数公式的应用,关键是将原问题转化为组合问题,用插空法解题.
2

7、在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生.如果 2 位男生 不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为( A.24 B.36 C.48 ) D.60

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 若第一个出场的是男生,方法有
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?

?

=36 种.若第一个出场的是女生(不是女生甲) ,用插空法求

得方法有

?

?

=24 种,把这两种情况的方法数相加,即得所求. ? ? ? =36 种. ? =24

解答: 解:①若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,方法有

②若第一个出场的是女生 (不是女生甲) , 则将剩余的 2 个女生排列好, 2 个男生插空, 方法有

种. 故所有的出场顺序的排法种数为 36+24=60, 故选 D. 点评: 本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用,注意特殊位置优先排,不相邻问题用插空法,体现了分类 讨论的数学思想,属于中档题.

8、现有 1 位老师、2 位男学生、3 位女学生共 6 人站成一排照相,若男学生站两端,3 位女学生中有 且只有两位相邻,则不同排法的种数是( ) A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.72 种
考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合及简单计数问题. 概率与统计. 知道解决相邻问题用“捆绑法”,不相邻问题用“插空法”,特殊元素优先安排的原则方法即可得出.
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解: 两名男生排在两头可有

方法, 把老师安排在两位男生之间只有一种方法, 从 3 位女生中任选 2 位有 种方法,把选出的两位女生捆绑看成一个元素与剩下的一位女生共 插法,如图所示:

方法而这两位女生又可以交换顺序有

两个元素插入已经排好的位置的两个空隙中并且可以交换顺序共有 利用分步乘法原理可得不同排法的种数= 故选 B. =24.

9、 (聊城市 2017 届高三高考模拟(一) )以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的《中

国诗词大会》,是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目,每季赛事共分为 10 场,每场分 个人追逐赛与擂主争霸赛两部分, 其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场的擂主之间进 行,一共备有 9 道抢答题,选手抢到并答对获得 1 分,答错对方得 1 分,当有一个选手累计得分达到 5 分时比赛结束,该选手就是本场的擂主.在某场比赛中,甲、乙两人进行擂主争霸赛,设每个题目 甲答对的概率都为 , 乙答对的概率都为 各题答题情况互不影响. (Ⅰ)求抢答一道题目,甲得 1 分的概率; (Ⅱ)现在前 5 道已经抢答完毕,甲得 2 分,乙得 3 分,在接下来的比赛中,设甲的得分为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .
解: (Ⅰ)设“抢答一道题目,甲得 1 分”为事件 A ,则事件 A 发生的当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题 权后答错,所以 P ? A? ?
1 3 1 ? 5? 2 ? ? ? ?1 ? ? ? . 2 4 2 ? 12 ? 3

3 4

5 1 , 每道题目都有人抢答, 且每人抢到答题权的概率均为 , 12 2

(Ⅱ)在接下来的比赛中,甲的得分 ? 可能的取值为 0,1,2,3.
2? ? 2? 4 1 2 ? ? 2? 1 所以 ? 的概率分布列为: P ?? ? 0 ? ? ?1 ? ? ? , P ?? ? 1? ? C 3 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? , 3 3 9 ? 3 ? ? 3 ? 27 ? ?
2? 2 ? P ?? ? 2 ? ? C 3 ? ? ?3? 2 2

1 4 4 16 ? 2 ? ? 2 ? 12 4 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? , P ?? ? 3? ? 1 ? ? , ? ? 9 27 27 27 ? 3 ? ? 3 ? 81 27

所以 ? 的概率分布列为:

1 4 4 16 20 所以 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 9 27 27 27 9

10、在某次问卷调查中,有 a,b 两题为选做题,规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题,其中 包括甲乙在内的 4 名调查者选做 a 题的概率均为 ,选做 b 题的概率均为 (1)求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率; (2)设这 4 名受访者中选做 b 题的人数为 ,求 的概率分布和数学期望.

【答案】 (1) (2)见解析 【解析】 (1)设事件 表示“甲选做第 题”,事件 表示“乙选做第 题”,则甲、乙 2 名受访者选做同

一道题的事件为“

”,且事件 、 相互独立.

所以

=

答:甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率

(2)随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 ~

.

所以 所以变量 的分布表为: 0 1 2



3

4

所以

(或



11.已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序,第一道审核、第二道审核、 第三道审核通过的概率分别为
25 4 4 , , ,每道程序是相互独立的,且一旦审核不通过就停止审 32 5 5

核,每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售. (1)求审核过程中只通过两道程序的概率; (2)现有 3 部该智能手机进入审核,记这 3 部手机可以出厂销售的部数为 X ,求 X 的分布列及数学 期望.
【答案】 (1)

1 (2)详见解析 8

试题解析: (1)设“审核过程中只通过两道程序” 为事件 A ,则 P ? A? ? (2)每部该智能手机可以出厂销售的概率为

25 4 ? 4 ? 1 ? ? ?1 ? ? ? . 32 5 ? 5 ? 8

25 4 4 1 ? ? ? . 32 5 5 2
3 2

1 ? 1? 3 ? 1? 1 1 由 题 意 可 得 X 可 取 0 , 1 , , 2 ,则 3 有 P ? X ? 0? ? ?1 ? ? ? , P ? X ? 1? ? C3 ? ? ?1 ? ? ? , 2 ? 2? 8 ? 2? 8 ? 1? 3 ?1? 1 2 ?1? P ? X ? 2? ? C3 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? , P ? X ? 3? ? ? ? ? . ?2? ? 2? 8 ? 2? 8
2 3

所以 X 的分布列为:

X
P

0
1 8

1

2

3
1 8

3 8

3 8

故 E ? X ? ? 0?

1 3 3 1 3 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? (或 ? 3 ? ). 8 8 8 8 2 2 2

12、某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染,提供了批号分别为 1, 2,3, 4,5 的五批疫苗,供全市所辖的 A, B, C 三个区市民注射,每个区均能从中任选其中一个批号的疫苗接种. (1)求三个区注射的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率; (2)记 A, B, C 三个区选择的疫苗批号的中位数为 X ,求 X 的分布列及期望. 【答案】 (1)

12 ; (2)详见解析. 25
2 C52 ? C32 ? A2 12 ? . 3 5 25

(1) P ( 三个区注射的疫苗批号恰好两个区相同)=

(2) 设三个区选择的疫苗批号的中位数为 X 所有可能取值为 1, 2,3, 4,5 .

P ? X ? 1? ? P ? X ? 3? ? P ? X ? 5? ?

1 3 1 ? C32 ? 4 13 1 ? C32 ? 4 ? C3 ? A3 31 ? , P X ? 2 ? ? ? ? 3 3 5 125 5 125 1 1 3 1 3 1 ? C32 ? 4 ? C2 ? C2 ? A3 1 ? C32 ? 4 ? C3 ? A3 37 31 ? , P X ? 4 ? ? , ? ? 3 3 5 125 5 125



1 ? C32 ? 4 13 ? . 53 125

所以 X 的分布列:

X
P

1

2

3
37 125

4

5
13 125

13 125

31 125

31 125

即 X 的期望: EX ? 1?

13 31 37 31 13 ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ?3. 125 125 125 125 125

13、几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解 决了最后一公里的出行难题.然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共 享单车占为“私有”等. 为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了 50 人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人 数统计如下表:

年龄 受访人数 支持发展 共享单车人数 5 6 15 9 10 5

4

5

12

9

7

3

(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的 支持发展共享单车有关系; 年龄低于 35 岁 支持 不支持 合计

列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为年龄与是否

年龄不低于 35 岁

合计

(Ⅱ)若对年龄在



的被调查人中各随机选取两人进行调查,记选中的 4 人中支持发展共享单车的人

数为 ,求随机变量 的分布列及数学期望. 参考数据: 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

参考公式:

,其中



【答案】 (Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析: (1)由题意可知 a=30,b=10,c=5,d=5,代入: 年龄在 的 5 个受访人中,有 4 人支持发展共享单车;年龄在

。 ( 2) 的 6 个受访人中,有 5 人支持发展共享单

车.随机变量 的所有可能取值为 2,3,4.所以 试题解析: (Ⅰ)根据所给数据得到如下 年龄低于 35 岁 支持 不支持 30 5 列联表: 年龄不低于 35 岁 10 5





.

合计 40 10

合计

35

15

50

根据

列联表中的数据,得到

的观测值为

. ∴不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系. (Ⅱ)由题意,年龄在 支持发展共享单车. ∴随机变量 的所有可能取值为 2,3,4. 的 5 个受访人中,有 4 人支持发展共享单车;年龄在 的 6 个受访人中,有 5 人









∴随机变量 的分布列为 2 3 4

∴随机变量 的数学期望



直线的参数方程 标准式 过点 Po(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l(如图)的参数方程是? (t 为参数)

? x ? x0 ? t cosa ? ? y ? y 0 ? t sin a

在一般式②中,参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义,若 a2+b2=1,②即为标准式, 此时, | t|表示直线上动点 P 到定点 P0 的距离;若 a2+b2≠1,则动点 P 到定点 P0 的距离是 a 2 ? b 2 |t|.

圆 圆心在(a,b),半径为 r 的圆的参数方程是 ?

? x ? a ? r cos? (φ 是参数)? y ? b ? r sin ? ?

φ 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角,φ ∈[0,2π ](见图)

?x=cos α, 1.(2016· 重庆巴蜀中学模拟)已知曲线 C 的参数方程是? (α 为参数),直线 l 的参数方程为 ?y=m+sin α

5 ? ?x=1+ 5 t, ? 2 5 ?y=4+ 5 t ?

(t 为参数),

(1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P,Q 两点,且|PQ|=
? ? ① ?x=cos α, ?x=cos α, 解:(1)由? 得? ?y=m+sin α, ?y-m=sin α, ② ? ?

4 5 ,求实数 m 的值. 5

①的平方加②的平方得曲线 C 的普通方程为:x2+(y-m)2=1. 由 x=1+ 5 5 2 5 t 得 t=x-1,代入 y=4+ t 得 y=4+2(x-1), 5 5 5

所以直线 l 的普通方程为 y=2x+2. (2)圆心(0,m)到直线 l 的距离为 d= 解得 m=3 或 m=1. |-m+2| ?|-m+2|?2 ?2 5?2 ,所以由勾股定理得? =1, ?+ 5 ? ? 5 ? ? 5

?x=1+4cos θ 2、(2015· 哈师大附中模拟)已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),直 ?y=2+4sin θ
π 线 l 经过定点 P(3,5),倾斜角为3. (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|PA|· |PB|的值.

?x=3+2t, 解:(1)曲线 C:(x-1) +(y-2) =16,直线 l:? 3 ?y=5+ 2 t
2 2

1

(t 为参数).

(2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程可得 t2+(2+3 3)t-3=0, 设 t1,t2 是方程的两个根,则 t1t2=-3, 所以|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3.

3、已知直线 l:x+y-1=0 与抛物线 y=x2 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长度和点 M(-1,2)到 A,B 两 点的距离之积.
3π 解:因为直线 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 , 4

?x=-1+tcos 4 , 所以它的参数方程为? 3π ?y=2+tsin 4



?x=-1- 22t, (t 为参数),即? 2 ?y=2+ 2 t

(t 为参数),

把它代入抛物线的方程,得 t2+ 2t-2=0, 由根与系数的关系得 t1+t2=- 2,t1· t2=-2, 由参数 t 的几何意义可知|AB|=|t1-t2|= 10,|MA|· |MB|=|t1t2|=2.

1 π 4、(2016· 大庆模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 经过点 P?2,1?,倾斜角 α=6.在极坐标系(与直

?

?

角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 2 π cos?θ-4 ?.

?

?

(1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值.

?x=2+tcos6, 解:(1)直线 l 的参数方程为? π ?y=1+tsin6
π ? 由 ρ=2 2cos? ?θ-4 ?得:ρ=2cos θ+2sin θ, ∴ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,∴x2+y2=2x+2y, 故圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 3 + t, ?x=1 2 2 (2)把? 1 ?y=1+2t

1

π

3 + t, ?x=1 2 2 (t 为参数),即? 1 ?y=1+2t

(t 为参数).

(t 为参数)代入(x-1)2+(y-1)2=2 得 t2-

3 7 t- =0, 2 4

设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2= 3 7 ,t1t2=- , 2 4 31 . 2

∴|PA|+|PB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2=


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高二数学下学期期末复习试题(2)理 苏教版.doc

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高二下学期期末数学理科复习试题8含答案 2013.6.28.doc

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高二数学下学期期末考试理科试卷分析.doc

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长郡中学2013下学期高二(理科)期末考试(教师版).doc

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2014届高三理科数学一轮复习试题选编20:直线与圆(教师版)_数学_高中教育_教育...选择题 1 .(北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题)已知圆 C :...