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均值不等式求最值的常用技巧

时间:2018-06-30


利用基本不等式求最值的常用技巧 一.基本不等式的常用变形 1.若 x > 0 ,则 x +

1 1 ≥ 2 (当且仅当 x = 1 时取“=” );若 x < 0 ,则 x + ≤ ?2 (当且仅当 x x

_____________时取“=” ) 若 x ≠ 0 ,则 x + 1 ≥ 2即x + 1 ≥ 2或x + 1 ≤ -2 x x x 2.若 ab > 0 ,则 a + b ≥ 2 b a 若 ab ≠ 0 ,则

(当且仅当____________时取“=” )

(当且仅当____________时取“=” )

a b a b a b + ≥ 2即 + ≥ 2或 + ≤ -2 b a b a b a

(当且仅当_________时取“=” )

注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时,可 以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 利用基本不等式求最值的技巧 的技巧: 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 技巧一:直接求:
+ 例 1 已知 x, y ∈ R ,且满足

x y + = 1 ,则 xy 的最大值为 ________。 3 4
x y xy (当且仅当 = ,即 x=6,y=8 时取等号), 3 4 3

解:因为 x>0,y>0,所以

x y x y + ≥2 = 3 4 3 4

于是

xy ≤ 1 ,∴ xy ≤ 3. ,故 xy 的最大值 3. 3

变式:若 log 4 x + log 4 y = 2 ,求 解:∵ log 4 x + log 4 y = 2

1 1 + 的最小值.并求 x,y 的值 x y
∴ log 4 xy = 2
即 xy=16

1 1 11 2 1 ∴ + ≥2 = = x y x y xy 2
技巧二 技巧二:配凑项求 凑项求 例 2:已知 x < 解:Q x <

当且仅当 x=y 时等号成立

5 ,求函数 y = 4 x ? 2 + 1 的最大值。 4 4x ? 5

5 1 1 ? ? ,∴ 5 ? 4 x > 0 ,∴ y = 4 x ? 2 + = ? ? 5 ? 4x + ? + 3 ≤ ?2 + 3 = 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

当且仅当 5 ? 4 x = 例 3. 当

1 ,即 x = 1 时,上式等号成立,故当 x = 1 时, ymax = 1 。 5 ? 4x 时,求 y = x (8 ? 2 x ) 的最大值。

解: 当

,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y = x (8 ? 2 x ) 的最大值为 8。

1

变式:设 0 < x < 解:∵ 0 < x <

3 ,求函数 y = 4 x (3 ? 2 x ) 的最大值。 2

2 3 9 ? 2x + 3 ? 2x ? ∴ 3 ? 2 x > 0 ∴ y = 4 x(3 ? 2 x ) = 2 ? 2 x (3 ? 2 x ) ≤ 2? ? = 2 2 2 ? ?

当且仅当 2 x = 3 ? 2 x, 即 x =

3 ? 3? ∈ ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

x 2 + 7 x + 10 例 4. 求 y = ( x > ?1) 的值域。 x +1

解: 当 ,即 时, y ≥ 2 (x + 1) ×

4 + 5 = 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x +1

练习:1、已知 0 < x < 1 ,求函数 y = 2、 0 < x <

x(1? x) 的最大值.;

2 ,求函数 y = x(2 ? 3x) 3
1 9 ?1 9? 9 + =1 , ∴ x + y = ? + ?( x + y) ≥ 2 2 xy = 12 x y xy ?x y?

技巧三: “1”的巧妙利用 错 解 : Q x > 0, y > 0 , 且 .. 故

( x + y )min = 12



错 因 : 解 法 中 两 次 连 用 基 本 不 等 式 , 在 x + y ≥ 2 xy 等 号 成 立 条 件 是 x = y , 在
1 9 9 等号成立条件是 1 + ≥2 x x y xy

=

9 即 y = 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此, y

在利用基本不等式处理问题时, 列出等号成立条件是解题的必要步骤, 而且是检验转换是否 有误的一种方法。

? 1 9 ? y 9x 1 9 正解: 正解 Q x > 0, y > 0, + = 1 ,∴ x + y = ( x + y ) ? + ? = + + 10 ≥ 6 + 10 = 16 x y ? x y? x y

当且仅当

1 9 y 9x = 时, 上式等号成立, 又 + = 1, 可得 x = 4, y = 12 时, x + y )min = 16 。 ( x y x y
+

变式: (1)若 x, y ∈ R 且 2 x

+ y = 1 ,求 1 + 1 的最小值
x y

+ (2)已知 a, b, x, y ∈ R 且 a + b = 1 ,求 x + x y

y 的最小值
2

2:已知 x > 0, y > 0 ,且

1 9 + = 1 ,求 x + y 的最小值。 x y
a b

(3) 设 a > 0, b > 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 A .8
a

1 1 + 的最小值为( a b

) .

B .4
b

C. 1

D.

1 4

解析: 解析:因为 3 ? 3 = 3 ,所以 a + b = 1 。 又 a > 0, b > 0, 所以 当

1 1 1 1 b a b a + = (a + b)( + ) = 2 + + ≥ 2 + 2 ? = 4 ,当且仅 a b a b a b a b

b a 1 = 即 a = b = 时取“=” 。故选(B) . a b 2 a x

技巧五: 技巧五: 注意: 注意: 在应用最值定理求最值时, 在应用最值定理求最值时, 若遇等号取不到的情况, 若遇等号取不到的情况, 应结合函数 f ( x ) = x + 的单调性。 的单调性。例:求函数 y =

x2 + 5 x2 + 4
的值域。

2 解:令 x 2 + 4 = t (t ≥ 2) ,则 y = x + 5 = x2 + 4

x2 + 4 +

1 = t + (t ≥ 2) t x +4
2

1

因 t > 0, t ? = 1 ,但 t = 解得 t = ±1 不在区间 [ 2, +∞ ) ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y = t + 在区间 [1, +∞ ) 单调递增, 所以在其子区间 [ 2, +∞ ) 为单调递增函数, y ≥ 故 所以,所求函数的值域为 ? , +∞ ? 。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?



1



y=

x 2 + 3x + 1 , ( x > 0) x



2



y = 2x +

1 ,x >3 x?3

(3)

y = 2 sin x +

1 , x ∈ (0, π ) sin x

的最大值. y2 技巧六 的最大值. 技巧六、已知 x,y 为正实数,且 x 2+ 2 =1,求 x 1+y 2 的最大值 , 为正实数, , + a 2+b 2 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 。 2 同时还应化简 1+y 2 中 y2 前面的系数为 x· 1 y2 + 2 2 1 , 2 x 1+y 2 =x 1+y 2 2· 2 = 2

3

下面将 x,

1 y2 + 分别看成两个因式: 2 2
2



1 y + 2 2

x 2+( ≤ 3 4 2

1 y2 + 2 2 2

)2

y2 1 x 2+ + 2 2 = 2



3 4

即 x

1+y 2 = 2 ·x

1 y2 + 2 2



1 技巧七 技巧七:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=ab 的最小值 , 为正实数, + + = , = 的最小值. 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数 一是通过消元, 一是通过消元 问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本 二是直接用基本不 问题 二是直接用基本 等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值, 考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1 30-2b -2 b 2+30b ab= ·b= b+1 b+1 16 t

由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1, 1<t<16, ab= =-2 t+ ) ( +34∵t+ ≥2 t t t =8 ∴ ab≤18 ∴ y≥ 1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18 t·

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ab 2 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 令 u= ab 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 点评:①本题考查不等式

a+b ≥ ab(a, b ∈ R +) 的应用、不等式的解法及运算能力;② 2

如 何 由 已 知 不 等 式 ab = a + 2b + 30(a, b ∈ R +) 发 求 得 ab 的 范 围 , 关 键 是 寻 找 到 出

a + b与ab 之间的关系,由此想到不等式

a+b ≥ ab(a, b ∈ R +) ,这样将已知条件转换 2

为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧八、取平方 技巧八 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. a+b a 2+b 2 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, ≤ ,本题很简单 2 2 3x + 2y ≤ 2 ( 3x )2+( 2y )2 = 2 3x+2y =2 5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形 式,再向“和为定值”条件靠拢。 W>0,W2=3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x+2y) =20 ∴ W≤ 20 =2 5
4

变式: 求函数 y = 2 x ? 1 + 5 ? 2 x ( 1 < x < 5 ) 的最大值。 2 2 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2x 的和为定值。

y 2 = ( 2 x ? 1 + 5 ? 2 x ) 2 = 4 + 2 (2 x ? 1)(5 ? 2 x ) ≤ 4 + (2 x ? 1) + (5 ? 2 x ) = 8
又 y > 0 ,所以 0 < y ≤ 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2x ,即 x =

3 时取等号。 2

故 ymax = 2 2 。

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些 变形技巧,积极创造条件利用基本不等式。

5


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